2.1 认识有理数（第1课时 有理数）（含动画导入视频）（教学课件)-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版2024）

北师大版（2024） 七年级数学上册 第二章 有理数及其运算 第一课时 有理数 2.1 认识有理数 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解正数和负数的意义,会判断一个数是正数还是负数； 2.能用正数、负数表示生活中具有相反意义的量．(难点) 3.掌握有理数的概念.（重点） 4.会对有理数按一定的标准进行分类,培养分类能力. (难点） 情景导入 世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰， 其海拔大约是8848.86 m， 吐鲁番盆地最低处的海拔大约是-154.31 m。 你能说出-154.31 m的含义吗？ 怎样计算珠穆朗玛峰的海拔和吐鲁番盆地 最低处的海拔相差多少呢？ 珠穆朗玛峰 8848.86 m 吐鲁番盆地 ﹣154.31 m 海平面 为什么要引入负数？请看下面动画视频！ 新知探究 1.用正数负数表示具有相反意义的量 某班举行知识竞赛，评分标准是： 答对1题加1分，答错1题扣1分，不回答得0分； 每个参赛队的基本分均为0分。 下表是用下图所示的表情表示的两个参赛队的答题情况。 参赛队 答题情况 第一队 第二队 （2）如果用“+1”表示答对1 题的得分，用“-1”表示答错1 题的得分，那么你如何填写这个表？ 参赛队 答对题的得分 答错题的得分 不回答题的得分 第一队 第二队 6 7 -3 -2 0 0 尝试与交流 （1）下表是2023年1月1日四个城市的气温情况。 你能说出表中各数的实际意义吗？ 城市 北京 昆明 西安 哈尔滨 气温 -7℃~5℃ 7℃~13℃ -2℃~2℃ -19℃~14℃ 答：该表表示为2023年1月1日北京的气温为零下7℃到零上5℃； 2023年1月1日昆明的气温为零上7℃到零上13℃； 2023年1月1日西安的气温为零下2℃到零上2℃； 2023年1月1日哈尔滨的气温为零下19℃到零上14℃. （2）珠穆朗玛峰的海拔大约是 8848.86 m，吐鲁番盆地最低处的海拔大约是-154.31 m。 8848.86m，-154.31 m 两数的实际意义分别是什么？ 珠穆朗玛峰 +8848.86 m 吐鲁番盆地 ﹣154.31 m 海平面 将海平面的高度看做0，低于海平面的为负记作-154.31m，高于海平面的为正记作+8848.86m. （3）右图展示了2021年7月我国居民消费价格分类别同比涨跌情况。 说说-1.8%，0.4%等数的实际意义，并与同伴进行交流。 答：-1.8%表示2021年7月我国居民在食品烟酒消费价格上减少了1.8%； 0.4%表示2021年7月我国居民在衣着消费价格上涨0.4%. 同比涨幅/% 系列 1 食品烟酒 衣着 居住 生活用品及服务 交通和通信 教育文化和娱乐 医疗保健 其他用品和服务 -1.8 0.4 1.1 0.3 6.9 2.7 0.4 -1.3 列1 食品烟酒 衣着 居住 生活用品及服务 交通和通信 教育文化和娱乐 医疗保健 其他用品和服务 列2 食品烟酒 衣着 居住 生活用品及服务 交通和通信 教育文化和娱乐 医疗保健 其他用品和服务 概念归纳 “加分与扣分”“零上温度与零下温度”“高于海平面与低于海平面”“上涨量与下跌量”等都是具有相反意义的量。 为了表示具有相反意义的量，我们可以把其中一个量规定为正的，把与这个量意义相反的量规定为负的，并分别用 “+”“-”来表示。 例如，“加 3 分”记为+3分，“扣2分”就记为-2分。 像 +3，+15，+6.9%，…都是正数， 正数前面的“+”可以省略不写. 像-2，-8，-1.8%，···都是负数. 负数与对应的正数在数量上相等，表示的意义相反。 课本例题 例 1（1）某人转动转盘，如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？ （2）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球的质量高于标准质量 0.02 g记作 +0.02g，那么-0.03 g 表示什么？ 解：（1）沿顺时针方向转了 12 圈记作-12 圈； 解：（2）-0.03g表示乒乓球的质量低于标准质量0.03g； 课本例题 （3）某大米包装袋上标注着“净含量：10 kg ±50 g”，这里的“10 kg±50g”表示什么？ （3）每袋大米的标准质量应为10kg，但实际每袋大米可能有50g的误差，即每袋大米的净含量最多10kg+50g，最少是10kg-50g。 （1）选定一个身体高度作为标准，用正负数和0表示你们班每名同学的身高与选定的身高标准的差。 你是怎样表示的？从你的表示能看出谁最高吗？ 思考探究 你能将所学的数进行分类吗？与同伴进行交流。 新知探究 2.有理数的分类 我们以前学过的数， 像1，2，3，…称为正整数； ，…称为正分数. 形如－1，－2，－3，…称为负整数； ，…称为负分数. 那么小数和0呢？我们该怎么分类将它们包含进去？ 概念归纳 正整数、零和负整数统称整数. 整数和分数统称有理数. 正分数和负分数统称分数. 目前我们所学的小数都可以化成分数，所以把小数划分到分数一类. 概念归纳 1.有理数的分类 (1)按有理数的定义分类 (2) 按性质分类 有理数 正整数 负整数 负分数 正有理数 负有理数 正分数 零 正整数 负整数 零 正分数 负分数 整数 分数 有理数 随堂练习 1.（1）如果零上 5℃ 记作 +5℃，那么零下 3℃ 记作什么？ （2）东、西为两个相反方向，如果-4m表示一个物体向西运动 4m，那么+2m表示什么？物体原地不动记作什么？ （3）某仓库运进面粉 7.5t 记作+7.5t，那么运出面粉 3.8t 记作什么？ 解：(1)零下3℃记作﹣3℃. 解：(2)﹢2m表示物体向东运动2m，物体原地不动记作0m. 解：(3)运出面粉 3.8 t 应记作﹣3.8 t. 2.所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，所有的整数组成整数集合，所有的分数组成分数集合。请把下列各数填入相应的集合中： 3，-7，，，0，-8，15，。 正数集合：{ } 负数集合：{ } 整数集合：{ } 分数集合：{ } 随堂练习 分层练习-基础 知识点1　具有相反意义的量 1.相反意义的量必须包含两层含义： 第一是具有相反意义； 第二是具有一定的数量，但不要求数量一定 ⁠. 相等　 2.下列各组量中，不具有相反意义的是(　B　) A. 前进5 m和后退3 m C. 支出3元和收入10元 B. 身高增加2 cm和体重减少2 kg D. 运进3 t货物和运出1 t货物 B 分层练习-基础 3. 【新考向·数学文化2023永州】我国古代数学名著《九章 算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正 负以名之”.如：粮库把运进30吨粮食记为“＋30”，则 “－30”表示(　A　) A. 运出30吨粮食 B. 亏损30吨粮食 C. 卖掉30吨粮食 D. 吃掉30吨粮食 A 分层练习-基础 4. 【真实情境题·科技创新】我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10 907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9 050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录.若把海平面以上9 050米记作“＋9 050米”，则海平面以下10 907米记作“ 米”. －10 907　 分层练习-基础 知识点2　正数与负数 5.大于 的数叫作正数；正数是通过与 ⁠比较大小来 定义的.在正数前面加上符号“－”(负号)的数叫作 ⁠ .负数是相对于 来定义的. 0　 0　 负 数　 正数　 6.[2024佛山南海区期末]下列各数中，负数是(　A　) A. －1 B. 0 C. 2 D. 3 A 7.下列各组数中都是正数或都是负数的是(　B　) A. 4，2，－3 B. 3.6，7， C. －6，－0.5，0 D. 0，4，8 B 分层练习-基础 8.[2024天津和平区月考]据史料记载，早在两千多年前，中 国就有了正负数的概念，关于负数有下列4种说法： ①在某个数的前面加上符号“－”得到的数； ②不大于0的数； ③除去正数的其他数； ④在正数的前面加上符号“－”得到的数. 其中正确的是 (填序号). ④　 分层练习-基础 分层练习-基础 知识点3　有理数的概念及其分类 9. 、 、 统称为整数， ⁠ 与 统称为分数， 与 ⁠统称 为有理数. 正整数　 零　 负整数　 正分数 负分数　 整数　 分数　 10. 在π， ，－3， 这四个数中，整数是(　C　) A. π B. C. －3 D. C 分层练习-基础 11.下列关于0的说法错误的是(　A　) A. 任何情况下，0的实际意义就是什么都没有 B. 0是偶数不是奇数 C. 0既不是正数也不是负数 D. 0是整数也是有理数 A 12.把下列各数填入相应的集 合中：－ ，0.618，－3.14，26，－2， ，0， 70％，－π. 正分数集合：{0.618， ，70％，…}； 整数集合：{26，－2，0，…}； 非负数集合：{0.618，26， ，0，70％，…}； 负有理数集合：{－ ，－3.14，－2，…}. 0.618， ，70％， 26，－2，0， 0.618，26， ，0，70％， － ，－3.14，－2， 分层练习-基础 13.[2024南昌高新区月考]对于有理数：－ ，1，8.6，－ 7，0， ，－4 ，＋101，－0.05，－9，下列说法正确 的是(　D　) D A. 只有1，－7，＋101，－9是整数 B. 其中有三个数是正整数 C. 非负数有1，8.6，0，＋101 D. 只有－ ，－4 ，－0.05是负分数 分层练习-巩固 分层练习-巩固 14.规定45分钟为1个单位时间，并以每天上午9时记为0，9时以前的时间记为负数，9时以后的时间记为正数，例如：8：15记为－1；9：45记为＋1，依此类推，则上午7：30应记为 ⁠. －2　 分层练习-巩固 15.[2024潮洲潮安区月考] 将下列各数填在相应的圆圈里： －8，＋6，75，－0.4，25％，0，－2 024，－2.8， 16.某饮料公司生产的一种瓶装饮料的外包装上印有“(600±20) mL”字样. (1)请问“±20 mL”是什么含义？ 解：(1)“＋20 mL”表示比600 mL多装20 mL， “－20 mL”表示比600 mL少装20 mL. 分层练习-巩固 (2)质监局对该产品随机抽查了5瓶，瓶中饮料的体积分别是603 mL，611 mL，589 mL，573 mL，627 mL，则抽查的产品是否都合格？ 解：(2)600＋20＝620(mL)，600－20＝580(mL)，所以合格产品瓶中饮料的体积为580 mL～620 mL，所以随机抽查的5瓶产品中573 mL，627 mL两瓶不合格，其他3瓶是合格的. 分层练习-巩固 (3)如果以瓶中饮料的标准体积为标准，超过标准记为 “＋”，低于标准记为“－”，那么该种产品瓶中饮 料的体积的浮动范围又可以怎样表示？ 解：(3)该种产品瓶中饮料的体积的浮动范围又可以表 示为－20 mL～＋20 mL . 分层练习-拓展 17. 【新视角·规律探究题】将一串有理数按如图所示的规律 排列，回答下列问题： (1)A位置的数是正数还是负数？ 解：(1)A位置的数是正数. (2)A，B，C，D中哪些位置的数是负数？ 解：(2)B和D位置的数是负数. (3)第2 027个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C， D中的哪个位置？ 分层练习-拓展 解：(3)第2 027个数是负数，排在对应于D的位置. 点拨：通过观察可知，题目中每4个数为一组，用2 027除以4，根据余数解答.若能整除，则在A的位置；若余数为1，则在B的位置；若余数为2，则在C的位置；若余数为3，则在D的位置. 课堂反馈 课堂反馈 用正负数表示具有相反意义的量. 2.(1)如果零上5度记作＋5℃，那么零下5度记作 ； (2)比海平面高50米的地方，它的高度记作海拔 ； 比海平面低30米的地方，它的高度记作海拔 ； (3)如果－5元表示支出5元，那么＋10元表示 ． －5℃ ＋50米 －30米 收入10元 课堂反馈 课堂反馈 有理数的分类 【思路分析】(1)中重合部分应填负整数，所以只在负数集圈内的应填其它负数，即负分数，只在整数集圈内的应填除负整数外的整数，即0和正整数；(2)中重合部分应填正整数，所以只在整数集圈内的填0和负整数，只在正数集圈内的填正分数． 4.将下面一组数据填入下图中相应的圈内： － 、－7、＋2.8、－90、－3.5、9、0、4. 课堂反馈 【方法归纳】填数时一定要注意一个圈内不能让同一个数出现两次，一定要分清重合部分和其余部分所应填的数． 【规范解答】如图所示： 课堂反馈 课堂小结 2.(1)相反意义的量是指意义相反的两个量,相反意义的量是成对出现的． (2)判断相反意义的量的标准:①两个同类量;②意义相反． (3)具有相反意义的量的正负性是相对的,且是可以互换的. 1.正数是比零大的数，正数前面加“-”号的数叫做负数. 课堂小结 有理数的分类: 有理数 整数 分数 负整数 负分数 正分数 正整数 0 正有理数 负有理数 正分数 负分数 负整数 正整数 0 有理数 注意0的特殊性：0既不是正数，也不是负数. 在人类生活中，早就存在着收入与支出、赢利与亏本等具有相反意义的现象． 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家． 有关正负数的概念和运算法则的系统论述，记载于我国古代数学名著《 九章算术》一书中，书中明确提出“正负术”，这是世界上至今发现的最早最详细的记载． 负数小史 阅读·欣赏 阅读·欣赏 公元3世纪，我国数学家刘徽在“正负术”的注文中指出：“今两算得失相反， 要令正、负以名之．正算（筹）赤，负算（筹）黑，否则以邪正为异．” 就是说，对两个得失相反的量，要以正、负加以区别．用红筹表示正，黑筹表示负， 也可将算筹正放、斜放来区别． 古代象牙算筹 阅读·欣赏 在国外，负数概念的建立和使用，经历了一个曲折的过程． 印度在公元 7 世纪出现了负数概念，并有了负数的运算，不过他们总把负数解释为负债． 欧洲的数学家迟迟不承认负数，认为零是最小的数，而比零还小的数是不可思议的．欧洲最早承认负数的是 17 世纪法国数学家笛卡儿（ René Descartes， 1596-1650），他承认解方程中出现的负根，不过他称之为“假根”．直到 19 世纪，负数在欧洲才获得普遍承认． 正数和负数的概念． 1.下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ ＋9、－22、50、0、eq \f(23,7)、－3.14、0.001、－2015. 【思路分析】根据正数和负数的概念进行解答． 【规范解答】正数有＋9、50、eq \f(23,7)、0.001；负数有－22、－3.14、－2015. 【思路分析】对于一些具有相反意义的量，如果把一种意义的量规定为正，那么它的相反意义的量就是负． 正负数的实际应用． 3.体育课上，对七年级(2)班的男生进行了引体向上的测试，以能做7个为标准(即为达标)，超出的次数用正数表示，不足的次数用负数表示，其中8名男生的成绩如下表： 2 －1 0 3 －2 －3 1 0 (1)这8名男生有几人达标？ (2)达标的百分率是多少？ (3)这8名同学共做了多少个引体向上？ 【规范解答】(1)这8名男生中有5个达标；　 (2)达标率为：eq \f(5,8)×100%＝62.5%；　 (3)这8名男生做引体向上的总个数为：(7＋2)＋(7－1)＋7＋(7＋3)＋(7－2)＋(7－3)＋(7＋1)＋7＝56(个)． 【思路分析】本题以能做7个为标准，超出的次数用正数表示，不足的次数用负数表示，故可求出8名男生做引体向上的个数．由此既能看出具体达标的人数，又能求出达标率及这8名男生做引体向上的总个数． $$null