精品解析：江苏省扬州市第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题

扬州市第一中学2023-2024学年第二学期3月教学质量调研评估 高一数学 （满分：150分 时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. =（ ） A. B. C. D. 2. 在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 不确定 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知、为单位向量，且，则、的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正方形的边长为，点满足，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 6. 若角，均为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平行四边形中，点是的中点，点分别满足，设，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知为△ABC内任意一点，若满足则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 已知均为非零向量，则 存在唯一的实数，使得 B. 若向量共线，则点必在同一直线上 C. 若且，则 D. 若点为的重心，则 10. 在平面直角坐标系中，已知点，，，则（ ） A. B. 与的夹角为 C. 在方向上的投影向量的坐标为 D. 与垂直的单位向量的坐标为或 11. 蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成，巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量，，若与所成的角为锐角，则实数的取值范围为________. 13. 已知，，，则＝______． 14. 如图，单位向量，的夹角为，点在以为圆心，1为半径的弧上运动，则的最小值为______． 四、解答题：本小题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量和，且，求： （1）的值 （2）的值 （3）的夹角的余弦值. 16. 已知. （1）求的值； （2）若，求的值. 17. 在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，. （1）若，试用，和实数表示； （2）试用，表示； （3）在边上有点，使得，求证：，，三点共线. 18. 已知半圆圆心为O点，直径，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示． （1）求点A、B、C的坐标； （2）若，求与夹角的大小； （3）试求点P的坐标，使取得最小值，并求此最小值． 19. 设O为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”. （1）设函数，求的“相伴向量”； （2）记的“相伴函数”为，若函数，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围； （3）已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值.当点M运动时，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市第一中学2023-2024学年第二学期3月教学质量调研评估 高一数学 （满分：150分 时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. =（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角差的余弦公式，化简求值. 【详解】 . 故选：A 2. 在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】由相等向量，向量的减法运算求解即可. 【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形， 又因为，即， 所以平行四边形ABCD是矩形. 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两角差的正切公式求解. 【详解】，解得. 故选：B 4. 已知、为单位向量，且，则、的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设、的夹角为，则，利用平面向量数量积的运算性质可得出的值，即可得出角的值. 【详解】设、的夹角为，则，由已知可得，， 所以，，即， 即，即， 解得，故， 故选：B. 5. 已知正方形的边长为，点满足，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系并写出各点坐标，根据题意求相应向量的坐标，再根据数量积的坐标运算进行求解即可. 【详解】建立坐标系如图，正方形的边长为2， 则，，，可得， 点满足，所以． 故选：C. 6. 若角，均为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用同角公式及差角的正弦公式计算作答. 【详解】角，均为锐角，即，而，则，又，则， 所以，. 故选：B 7. 在平行四边形中，点是的中点，点分别满足，设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用平面向量基底法用表示，再利用向量垂直的性质与数量积的运算法则即可得解. 【详解】因为点是的中点，， 所以， ； 因为， 所以 ， 则，故A正确. 故选：A. 8. 已知为△ABC内任意一点，若满足则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据向量的几何意义去求解的值 【详解】分别取AC、BC的中点E、F，连接PF，PE，FE. 则， 则，即点P为线段EF靠近F的一个三等分点 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 已知均为非零向量，则 存在唯一的实数，使得 B. 若向量共线，则点必在同一直线上 C. 若且，则 D. 若点为的重心，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平行向量基本定理可判断A，根据平面向量共线的含义可判断B，根据平面向量的数量积可判断C，根据平面向量的运算与三角形重心的性质可判断D． 【详解】由平行向量的基本定理可知，选项A是正确的； 向量共线的意思是向量所在的基线平行或共线， 只有当向量，所在的直线线共线时，点，，，才在同一直线上，故B不正确； 由平面向量的数量积可知，若，则， 所以，无法得到，故C不正确； 设线段的中点为，若点为的重心， 则，而，所以，即D正确. 故选：BC． 10. 在平面直角坐标系中，已知点，，，则（ ） A. B. 与的夹角为 C. 在方向上的投影向量的坐标为 D. 与垂直的单位向量的坐标为或 【答案】BD 【解析】 【分析】求出即可判断A选项，设与的夹角为，求出即可判断B选项，设与同向的单位向量为，求出，根据在方向上的投影向量的坐标为即可判断C选项，设与垂直的单位向量为，解即可判断D选项． 【详解】因为点，，， 所以，，所以， 所以，故A选项错误； 设与的夹角为，所以， 所以与的夹角为，故B选项正确； 设与同向的单位向量为，， 所以在方向上的投影向量的坐标为，故C选项错误； 因为，设与垂直的单位向量为， 则，解得或， 所以与垂直的单位向量的坐标为或. 故D选项正确. 故选：BD. 11. 蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成，巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，可得与为相反向量；对于B，证明即得解；对于C，求出即得解；对于D，证明即得解. 【详解】对于A，，由图可得与为相反向量，故A错误； 对于B，由图易得，直线平分，且为正三角形， 根据平行四边形法则有与共线且同方向， 易知均为直角三角形，， 故， 则，而，故， 故，故B错误； 对于C，， ，则，又， ， ，，故C正确； 对于D，由C知，则在上的投影向量为，故D正确. 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量，，若与所成的角为锐角，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积为正可求参数的取值范围，注意与不共线同向. 【详解】因为与所成的角为锐角，故且不共线同向. 故即. 若共线，则即， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知，，，则＝______． 【答案】 【解析】 【分析】化切为弦，由正弦和角公式得到方程组，求出，利用正弦差角公式求出答案. 【详解】由得，，则①， 由得，②， 联立①②解得， ∴． 故答案为： 14. 如图，单位向量，的夹角为，点在以为圆心，1为半径的弧上运动，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设出，，利用平面向量数量积公式，结合辅助角公式得到，结合，求出最小值. 【详解】以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，， 故 ， 因为，所以， 故当，时，取得最小值，最小值为. 故答案为： 四、解答题：本小题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量和，且，求： （1）的值 （2）的值 （3）的夹角的余弦值. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的定义即可求解； （2）由即可求解； （3）由向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 ， 16. 已知. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数之间的基本关系式求得，再利用两角和的余弦公式即可求出结果；（2）根据平方关系可求得再进行角的转化即，之后利用两角差的余弦公式进行求解可得出. 【小问1详解】 由，可得； 所以； 即 【小问2详解】 由可得， 又，所以 由可得. 即的值为 17. 在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，. （1）若，试用，和实数表示； （2）试用，表示； （3）在边上有点，使得，求证：，，三点共线. 【答案】（1） （2） （3） 由，得，所以， 所以，因为与有公共点，所以，，三点共线. 【解析】 【分析】(1)根据向量加减法运算即可; (2)根据向量的数量关系及向量加减法表示; (3)应用向量共线且有公共点证明即可. 【小问1详解】 由题意，所以， ① 【小问2详解】 设，由，， ② 由①、②得，， 所以，解得，所以； 【小问3详解】 略 18. 已知半圆圆心为O点，直径，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示． （1）求点A、B、C的坐标； （2）若，求与夹角的大小； （3）试求点P的坐标，使取得最小值，并求此最小值． 【答案】（1），， （2） （3），最小值 【解析】 【分析】（1）利用任意角三角函数的定义易求、、的坐标； （2）利用平面向量的夹角公式求解即可； （3）设，用表示点坐标，代数量积的坐标计算公式即可求解 【小问1详解】 因为半圆的直径，由题易知：又，. 又，，则，，即. 【小问2详解】 由（1）知，，， 所以. 设与夹角为，则， 又因为，所以，即与的夹角为. 【小问3详解】 设，由（1）知，，，， 所以， 又因为，所以当时，有最小值为， 此时点的坐标为. 19. 设O为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”. （1）设函数，求的“相伴向量”； （2）记的“相伴函数”为，若函数，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围； （3）已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值.当点M运动时，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意，将可化为进而根据题意得答案； （2）去绝对值得函数的单调性及最值，利用交点个数求得k的范围 （3）由可求得时，f(x)取得最大值，其中，换元求得的范围，再利用二倍角的正切可求得的范围． 【小问1详解】 解： ∴的“相伴向量”为. 【小问2详解】 解：由题知：. 可求得在单调递增，单调递减，单调递增，单调递减且 ∵图像与有且仅有四个不同的交点　　　　 所以，实数k的取值范围为 【小问3详解】 解： 其中 ∴当即时，取得最大值. 此时 令，则由知：，解之得 ， 因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 从而 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $