专项训练：基本不等式实际应用大题精练30题-2024-2025学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第一册）

专题训练：基本不等式实际应用大题精练30题 1．（23-24高一上·浙江宁波·月考）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制的矩形菜园，设菜园的长为，宽为． (1)若菜园面积为，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长度为，求的最小值． 2．（23-24高一上·新疆·期末）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设单个矩形栏目的宽度为，矩形广告的总面积为. (1)将y表示为关于x的表达式，并写出x的取值范围； (2)当x取何值时，矩形广告的总面积最小?并求出总面积最小值. 3．（23-24高一上·江苏徐州·月考）如图为传统节日玩具之一走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等节日灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力造成气流，令轮轴转动．轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影投射在屏上，图像便不断走动，因剪纸图像为古代武将骑马的图画，在转动时看起来好像几个人你追我赶一样，故名走马灯，现打算做一个体积为96000的如图长方体状的走马灯（题中不考虑木料的厚薄粗细）． (1)若底面大矩形的周长为160cm，当底面边长为多少时，底面面积最大？（设大矩形的长为，宽为） (2)若灯笼高为40cm，现只考虑灯笼的主要框架，当底面边长为多少时，框架用料最少？ 4．（23-24高一上·河北邯郸·期中）如图，某物业需要在一块矩形空地（记为矩形ABCD）上修建两个绿化带，矩形ABCD的面积为800m2，这两个绿化带是两个形状、大小完全相同的直角梯形，这两个梯形上下对齐，且中心对称放置，梯形与空地的顶部、底部和两边都留有宽度为5m的人行道，且这两个梯形之间也留有5m的人行道.设m. (1)用x表示绿化带的面积； (2)求绿化带面积的最大值. 5．（23-24高一上·北京丰台·期中）计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两个养殖池之间保留2米宽的通道.设温室的一边长度为米，两个养殖池的总面积为平方米，如图所示：    (1)将表示为的函数，并写出定义域； (2)当取何值时，取最大值？最大值是多少？ (3)若养殖池的面积不小于1015平方米，求温室一边长度的取值范围. 6．（23-24高一上·辽宁·月考）已知某园林部门计划对公园内一块如图所示的空地进行绿化，用栅栏围4个面积相同的小矩形花池，一面可利用公园内原有绿化带，四个花池内种植不同颜色的花，呈现“爱我中华”字样． (1)若用48米长的栅栏围成小矩形花池（不考虑用料损耗），则每个小矩形花池的长、宽各为多少米时，才能使得每个小矩形花池的面积最大？ (2)若每个小矩形的面积为平方米，则当每个小矩形花池的长、宽各为多少米时，才能使得围成4个小矩形花池所用栅栏总长度最小？ 7．（23-24高一上·广东广州·月考）动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼. (1)现有36 m长的钢筋网材料；x，y的值分别为多少时，每间虎笼的面积最大，最大值为多少？ (2)若每间虎笼的面积为，x，y的值分别为多少时，围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值是多少？ 8．（23-24高一上·河南·月考）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求草坪怎样设计才能使整个绿化面积最小，最小值是多少？ 9．（23-24高一上·河北石家庄·月考）桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式．某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围（阴影部分所示）种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中． (1)试用x，y表示S； (2)若要使S最大，则x，y的值各为多少? 10．（23-24高一上·广东深圳·月考）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为，宽为． (1)若菜园面积S为，则，为何值时，可使所用篱笆总长最小? (2)若使用的篱笆总长为，求的最小值． 11．（23-24高一上·广东东莞·月考）杭州第19届亚运会（The 19th Asian Games）又称“2022年杭州亚运会”，是继1990年北京亚运会､2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.2022年7月19日，亚洲奥林匹克理事会宣布原定于2022年9月10日至25日举行的杭州2022年第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，赛事名称和标志保持不变.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，设.    (1)当时，求海报纸的面积； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 12．（23-24高一上·重庆·月考）为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为的矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形），为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，设． (1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围； (2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸（和分别为多少时），可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积． 13．（23-24高一上·河南周口·月考）某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4200元/米2，在四个相同的矩形上（图中的阴影部分）铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.    (1)设的长为米，试写出总造价（单位：元）关于的函数解析式； (2)问：当取何值时，总造价最少？求出这个最小值． 14．（22-23高一上·安徽淮南·月考）初一（2）班的郭同学参加了折纸社团，某次社团课上，指导教师老胡展示了如图2所示的图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成．已知矩形的周长为，其中较长边为，将沿向折叠，折过去后交于点E． (1)用x表示图1中的面积； (2)郭爸爸看到孩子的折纸成果后，非常高兴，决定做一颗相同形状和大小的纽扣作为奖励其中纽扣的六个直角（如图2阴影部分）利用镀金工艺双面上色（厚度忽略不计）．已知镀金工艺是2元/，试求一颗纽扣的镀金部分所需的最大费用． 15．（22-23高一上·四川凉山·期末）为迎接四川省第十六届少数民族传统运动会，州民族体育场进行了改造翻新，在改造州民族体育场时需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限为15年，已知每千套座椅建造成本是8万元，设每年的管理费用为万元与总座椅数千套，两者满足关系式：．15年的总维修费用为80万元，记为15年的总费用．（总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用）．请问当设置多少套座椅时，15年的总费用最小，并求出最小值． 16．（23-24高一上·河北石家庄·月考）第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之前，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一万台需另投入80万元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完．每万台的年销售收入t（万元）与年产量x（万台）满足关系式：，年利润为y（万元），求年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大?并求最大利润． 17．（23-24高一上·河北唐山·月考）某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层，每层建筑面积为4000平方米的楼房.经初步估计得知，若将楼房建为x（，）层，则每平方米的平均建筑费用（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用W（单位：元）最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用的最小值是多少？ 注意：每平方米的平均综合费用每平方米的平均建筑费用每平方米平均购地费用，每平方米平均购地费用，（计算时注意统一单位） 18．（23-24高一上·湖北武汉·月考）党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计.而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑.2018年张家口市成功入围国家清洁能源取暖试点城市，到2021年，全市全面建成清洁能源取暖试点城市，并通过示范城市的建设大力推动清洁能源规模化、普及化及科学化发展.沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效.通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果.为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 19．（23-24高一上·江苏苏州·月考）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高. (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ (2)在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？ 20．（23-24高一上·北京·期中）某公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资金额x的函数关系为，B产品的利润与投资金额x的函数关系为（注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中且均有投，其中x万元资金投入A产品． (1)请把A，B两种产品利润总和y表示为x的函数，并直接写出定义域； (2)在（1）的条件下，当x取何值时才能使公司获得最大利润？ 21．（23-24高一上·云南·期末）甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100（km/h），若货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度的平方的倍，固定成本为元. (1)将全程运输成本（元）表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶? 22．（23-24高一上·江苏苏州·月考）因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的．因此室的后背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰．现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价共计12000元．设隔离室的左右两侧面的底边长度均为米． (1)记为甲工程队整体报价，求关于的关系式； (2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为元，问是否存在实数，使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功（注：整体报价小者竞标成功），若存在，求出满足的条件；若不存在，请说明理由． 23．（22-23高一上·江苏南京·期末）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为.将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. (1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； (2)设备占地面积为多少时，的值最小？ 24．（23-24高一上·广东广州·期中）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低? (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 25．（23-24高一上·湖北十堰·月考）某企业研发部原有名技术人员，年人均投入万元，现将这名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元 (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前的名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多为多少人? (2)若技术人员在已知范围内调整后，必须研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求出正整数的最大值. 26．（23-24高一上·河南郑州·月考）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡.最后将两次称得的黄金交给顾客. (1)试分析顾客购得的黄金是小于，等于，还是大于？为什么？ (2)如果售货员又将的砝码放在天平左盘中，然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，请问要使得三次黄金质量总和最小，商家应该将左臂长和右臂长之比设置为多少？请说明理由. 27．（23-24高一上·广东深圳·月考）某公司决定在公司仓库外借助一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的应急室，由于此应急室后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：应急室正面墙体每平方米的报价400元，侧面墙体每平方米的报价均为300元，屋顶和地面及其他报价共计7200元，设应急室的左右两侧的长度均为米. (1)甲工程队应如何设计应急室正面和两侧的长度，可以使公司的建造费用最低； (2)现有乙工程队也参与此应急室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 28．（23-24高一上·江苏南京·月考）地铁使我们日常出行更加便利.某地在修建地铁线路中的某一站点时，车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此某工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元，设屋子的左、右两面墙的长度均为米. (1)设该工程队的总报价为元，请用表示； (2)当左右两面墙的长度为多少米时，该工程队的报价最低？最小值为多少？ 29．（23-24高一上·四川成都·月考）某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关､若建造宿舍的所有费用（万元）和宿舍与工厂的距离的关系为：，若距离为时，测算宿舍建造费用为100万元.为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设为建造宿舍与修路费用之和. (1)求关于的表达式； (2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值. 30．（23-24高一上·山东青岛·月考）（1）一家商店使用一架两臂不等长的天平（左臂长acm大于右臂长bcm）称黄金．一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克的砝码放在天平左盘，取出一些黄金（m克）放在天平右盘使天平平衡；再将5克的砝码放在天平右盘，取出一些黄金（n克）放在天平左盘使天平平衡；最后将两次称量的黄金交给顾客，请比较m+n与10的大小； （2）某驾驶员给爱车加油有两种不同的办法：第一种是不考虑价格变化，每次都加满油箱（大约40升）；第二种是不考虑价格变化，每次都加300元（油箱能装下）；当前油价在不断的变化中，请从数学角度比较哪种方法更经济实惠． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题训练：基本不等式实际应用大题精练30题 1．（23-24高一上·浙江宁波·月考）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制的矩形菜园，设菜园的长为，宽为． (1)若菜园面积为，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长度为，求的最小值． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）由已知可得，篱笆总长为． 又因为，当且仅当，即时等号成立． 所以当时，可使所用篱笆总长最小． （2）由已知得， 又因为， 所以，当且仅当，即时等号成立． 所以的最小值是． 2．（23-24高一上·新疆·期末）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设单个矩形栏目的宽度为，矩形广告的总面积为. (1)将y表示为关于x的表达式，并写出x的取值范围； (2)当x取何值时，矩形广告的总面积最小?并求出总面积最小值. 【答案】(1)，；(2)当cm时，矩形广告的总面积最小，最小面积为. 【解析】（1）单个矩形栏目的长度为， ， （2）由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当cm时，矩形广告的总面积最小，最小面积为. 3．（23-24高一上·江苏徐州·月考）如图为传统节日玩具之一走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等节日灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力造成气流，令轮轴转动．轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影投射在屏上，图像便不断走动，因剪纸图像为古代武将骑马的图画，在转动时看起来好像几个人你追我赶一样，故名走马灯，现打算做一个体积为96000的如图长方体状的走马灯（题中不考虑木料的厚薄粗细）． (1)若底面大矩形的周长为160cm，当底面边长为多少时，底面面积最大？（设大矩形的长为，宽为） (2)若灯笼高为40cm，现只考虑灯笼的主要框架，当底面边长为多少时，框架用料最少？ 【答案】(1)长宽均为；；(2)长为，宽为 【解析】（1）由题意得底面大矩形周长为，且大矩形的长设为，宽设为， 所以，得，所以， 当且仅当时取等号，此时， 所以底面面积最大为. （2）由题意知走马灯的体积为，高为，所以底面积为， 框架用料最少等价于底面用料为最小即可， ，当，即取等号， 故当长为、宽为时，用料最少. 4．（23-24高一上·河北邯郸·期中）如图，某物业需要在一块矩形空地（记为矩形ABCD）上修建两个绿化带，矩形ABCD的面积为800m2，这两个绿化带是两个形状、大小完全相同的直角梯形，这两个梯形上下对齐，且中心对称放置，梯形与空地的顶部、底部和两边都留有宽度为5m的人行道，且这两个梯形之间也留有5m的人行道.设m. (1)用x表示绿化带的面积； (2)求绿化带面积的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为矩形ABCD的面积为，，所以， 两个形状、大小完全相同的直角梯形可合并成一个小矩形， 则，解得， 则绿化带面积为； （2）由（1）知， 当且仅当，即时等号成立， 所以绿化带面积的最大值为. 5．（23-24高一上·北京丰台·期中）计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两个养殖池之间保留2米宽的通道.设温室的一边长度为米，两个养殖池的总面积为平方米，如图所示：    (1)将表示为的函数，并写出定义域； (2)当取何值时，取最大值？最大值是多少？ (3)若养殖池的面积不小于1015平方米，求温室一边长度的取值范围. 【答案】(1)，；(2)x为30时，y取最大值为1215；(3) 【解析】（1）依题意得：温室的另一边长为米，则养殖池的总面积， 因为，解得 ∴定义域为 （2）由（1），， 又，所以， 当且仅当，即时上式等号成立， 所以. 当时，.  当为30时，取最大值为1215. （3）养殖池的面积不小于1015平方米即 所以，解得 故的取值范围为. 6．（23-24高一上·辽宁·月考）已知某园林部门计划对公园内一块如图所示的空地进行绿化，用栅栏围4个面积相同的小矩形花池，一面可利用公园内原有绿化带，四个花池内种植不同颜色的花，呈现“爱我中华”字样． (1)若用48米长的栅栏围成小矩形花池（不考虑用料损耗），则每个小矩形花池的长、宽各为多少米时，才能使得每个小矩形花池的面积最大？ (2)若每个小矩形的面积为平方米，则当每个小矩形花池的长、宽各为多少米时，才能使得围成4个小矩形花池所用栅栏总长度最小？ 【答案】(1)长为6米、宽为4米；(2)长为7米、宽为米 【解析】（1）设每个小矩形花池的长、宽分别为米、米，则每个花池的面积为平方米． 由题意可知，所以， 则，所以， 当且仅当，即，时取得等号． 故当每个小矩形花池的长为6米、宽为4米时，才能使得每个小矩形花池的面积最大． （2）由题意知，则， 所以， 当且仅当，即，时取得等号， 故每个小矩形花池的长为7米、宽为米时，才能使得围成4个小矩形花池所用栅栏总长度最小． 7．（23-24高一上·广东广州·月考）动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼. (1)现有36 m长的钢筋网材料；x，y的值分别为多少时，每间虎笼的面积最大，最大值为多少？ (2)若每间虎笼的面积为，x，y的值分别为多少时，围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值是多少？ 【答案】(1)，；每间虎笼的面积最大值为；(2)，；40m 【解析】（1）设每间虎笼的面积为， 由已知可得，由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 因此，x，y的值分别为时，每间虎笼的面积最大，且最大值为. （2）由题知，则， 当且仅当即时，等号成立， 因此，x，y的值分别为5，4时，围成四间虎笼的钢筋网总长最小，且最小值为40m. 8．（23-24高一上·河南·月考）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求草坪怎样设计才能使整个绿化面积最小，最小值是多少？ 【答案】设计草坪宽为米，长为米，最小值为平方米 【解析】设草坪的宽为米，长为米， 由两块绿草坪的面积均为400平方米，得， 记整个的绿化面积为平方米，由题意可得 ， 当且仅当米时，等号成立. 所以设计草坪宽为米，长为米时，整个绿化面积的最小，最小值为平方米. 9．（23-24高一上·河北石家庄·月考）桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式．某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围（阴影部分所示）种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中． (1)试用x，y表示S； (2)若要使S最大，则x，y的值各为多少? 【答案】(1)；(2)取得最大值时，， 【解析】（1）由题可得：，， 则即． ． （2）法一：， 当且仅当，即，时，取得最大值1352． 法二：， 当且仅当，即时取等号，取得最大值． 此时． 10．（23-24高一上·广东深圳·月考）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为，宽为． (1)若菜园面积S为，则，为何值时，可使所用篱笆总长最小? (2)若使用的篱笆总长为，求的最小值． 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）由已知可得，，所以，. 又，所以，， 当且仅当，即时等号成立，此时， 所以，菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小. （2）由已知可得，， 所以，， 所以， 所以， 当且仅当，且，即，时等号成立， 所以，的最小值为. 11．（23-24高一上·广东东莞·月考）杭州第19届亚运会（The 19th Asian Games）又称“2022年杭州亚运会”，是继1990年北京亚运会､2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.2022年7月19日，亚洲奥林匹克理事会宣布原定于2022年9月10日至25日举行的杭州2022年第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，赛事名称和标志保持不变.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，设.    (1)当时，求海报纸的面积； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 【答案】(1)；(2)当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少. 【解析】（1）宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为， 则直角三角形的高为， 又海报上所有水平方向和坚直方向的留空宽度均为， ， ， 故海报面积为； （2）设，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为， 直角三角形的高为， 海报上所有水平方向和坚直方向的留空宽度均为， 海报宽，海报长 故 ， 当且仅当，即时等号成立， 故当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少. 12．（23-24高一上·重庆·月考）为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为的矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形），为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，设． (1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围； (2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸（和分别为多少时），可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积． 【答案】(1)；(2)AD=120cm，， 【解析】（1）根据题意，矩形海报纸面积为， 所以， 又因为海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为， 所以四个宣传栏的总面积， 其中所以. 即. （2）由（1）知， 则 ，当且仅当时取等号， 则，当且仅当时取等号， 即,时， 可使用宣传栏总面积最大为. 13．（23-24高一上·河南周口·月考）某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4200元/米2，在四个相同的矩形上（图中的阴影部分）铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.    (1)设的长为米，试写出总造价（单位：元）关于的函数解析式； (2)问：当取何值时，总造价最少？求出这个最小值． 【答案】(1)；(2)时，（元） 【解析】（1）设，则，所以， 由，可得， 所以总造价（单位：元）关于的函数解析式为： . （2）解：令，则且， 因为函数， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以总造价的最小值为元. 14．（22-23高一上·安徽淮南·月考）初一（2）班的郭同学参加了折纸社团，某次社团课上，指导教师老胡展示了如图2所示的图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成．已知矩形的周长为，其中较长边为，将沿向折叠，折过去后交于点E． (1)用x表示图1中的面积； (2)郭爸爸看到孩子的折纸成果后，非常高兴，决定做一颗相同形状和大小的纽扣作为奖励其中纽扣的六个直角（如图2阴影部分）利用镀金工艺双面上色（厚度忽略不计）．已知镀金工艺是2元/，试求一颗纽扣的镀金部分所需的最大费用． 【答案】(1)的面积为；(2)最大费用为元 【解析】（1）因为，所以， 因为为较长边，所以，即， 设，则， 因为，， 所以，所以． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 所以． 所以的面积． 所以的面积． （2）设一颗钮扣的镀金费用为y元， 则， 当且仅当，由即时等号成立， 所以当为时，一颗钮扣的镀金部分所需的最大费用为元． 15．（22-23高一上·四川凉山·期末）为迎接四川省第十六届少数民族传统运动会，州民族体育场进行了改造翻新，在改造州民族体育场时需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限为15年，已知每千套座椅建造成本是8万元，设每年的管理费用为万元与总座椅数千套，两者满足关系式：．15年的总维修费用为80万元，记为15年的总费用．（总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用）．请问当设置多少套座椅时，15年的总费用最小，并求出最小值． 【答案】千套时，取得最小值为180万元 【解析】由题意得：建造成本费用为， 使用管理费：，所以， ， 当且仅当时，即千套时，取得最小值为180万元． 16．（23-24高一上·河北石家庄·月考）第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之前，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一万台需另投入80万元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完．每万台的年销售收入t（万元）与年产量x（万台）满足关系式：，年利润为y（万元），求年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大?并求最大利润． 【答案】时，. 【解析】因为，且，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，. 即年产量为29万台时，该公司获得的年利润最大，最大利润为1360万元. 17．（23-24高一上·河北唐山·月考）某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层，每层建筑面积为4000平方米的楼房.经初步估计得知，若将楼房建为x（，）层，则每平方米的平均建筑费用（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用W（单位：元）最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用的最小值是多少？ 注意：每平方米的平均综合费用每平方米的平均建筑费用每平方米平均购地费用，每平方米平均购地费用，（计算时注意统一单位） 【答案】20层，5000元. 【解析】根据题意，（，） ∵ 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，W取得最小值5000 所以楼房建20层，综合费用最小值为5000元. 18．（23-24高一上·湖北武汉·月考）党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计.而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑.2018年张家口市成功入围国家清洁能源取暖试点城市，到2021年，全市全面建成清洁能源取暖试点城市，并通过示范城市的建设大力推动清洁能源规模化、普及化及科学化发展.沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效.通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果.为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 【答案】当沼气池的底面是边长为４米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元. 【解析】设沼气池的底面长为x米，沼气池的总造价为y元， 因为沼气池的深为2米，容积为32立方米，所以底面积为16平方米， 因为底面长为x米，所以底面的宽为， 依题意有， 因为，由平均值不等式可得， 即，所以， 当且仅当，即时、等号成立， 所以当沼气池的底面是边长为４米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元. 19．（23-24高一上·江苏苏州·月考）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高. (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ (2)在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？ 【答案】(1)500名；(2) 【解析】（1）由题意得：，即， 又，所以. 即最多调整500名员工从事第三产业. （2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元， 从事原来产业的员工的年总利润为万元， 则 所以 所以，即恒成立， 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以， 又，所以，即的取值范围为. 20．（23-24高一上·北京·期中）某公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资金额x的函数关系为，B产品的利润与投资金额x的函数关系为（注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中且均有投，其中x万元资金投入A产品． (1)请把A，B两种产品利润总和y表示为x的函数，并直接写出定义域； (2)在（1）的条件下，当x取何值时才能使公司获得最大利润？ 【答案】(1)；(2)时，利润最大. 【解析】（1）由题意，万元投入A产品，则万元投入B产品，则 ，. （2）由（1）得，， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，公司利润最大. 21．（23-24高一上·云南·期末）甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100（km/h），若货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度的平方的倍，固定成本为元. (1)将全程运输成本（元）表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶? 【答案】(1)，定义域为；(2)答案见解析 【解析】（1）由题意得可变成本为元，固定成本为a元， 所用时间为， 则，定义域为． （2）由（1）得， 当且仅当，即时取等号， 易知函数在上单调递减，在上单调递增. 又， 所以当时，货车以km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车以100km/h的速度行驶，全程运输成本最小． 22．（23-24高一上·江苏苏州·月考）因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的．因此室的后背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰．现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价共计12000元．设隔离室的左右两侧面的底边长度均为米． (1)记为甲工程队整体报价，求关于的关系式； (2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为元，问是否存在实数，使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功（注：整体报价小者竞标成功），若存在，求出满足的条件；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，；(2)存在，当时，乙工程队都能竞标成功 【解析】（1）由题意，隔离室的左右两侧的长度均为x米()， 则底面长为米，正面费用为 , 故 ，. （2）由题意知, ，对任意都成立, 即对任意恒成立， 令 ,则， 则， 而，当且仅当取等号， 故 ， 即存在实数，无论左右两侧长为多少，乙工程队都能竞标成功. 23．（22-23高一上·江苏南京·期末）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为.将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. (1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； (2)设备占地面积为多少时，的值最小？ 【答案】(1)；(2)设备占地面积为时，的值最小. 【解析】（1）由题意得. 要满足题意,则， 即，解得：. 即设备占地面积的取值范围为. （2）， 当且仅当时等号成立. 所以设备占地面积为时，的值最小. 24．（23-24高一上·广东广州·期中）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低? (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】(1)长度为4米时，报价最低；(2) 【解析】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 则 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， ， 当，，即时，的最小值为12， 即， 所以的取值范围是. 25．（23-24高一上·湖北十堰·月考）某企业研发部原有名技术人员，年人均投入万元，现将这名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元 (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前的名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多为多少人? (2)若技术人员在已知范围内调整后，必须研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求出正整数的最大值. 【答案】(1)人；(2) 【解析】（1）依题意得，整理可得， 又因为，解得， 所以调整后的技术人员的人数最多人. （2）由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有： ，得， 整理得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时等号成立，所以. 因此，正整数的最大值为. 26．（23-24高一上·河南郑州·月考）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡.最后将两次称得的黄金交给顾客. (1)试分析顾客购得的黄金是小于，等于，还是大于？为什么？ (2)如果售货员又将的砝码放在天平左盘中，然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，请问要使得三次黄金质量总和最小，商家应该将左臂长和右臂长之比设置为多少？请说明理由. 【答案】(1)大于，理由见解析；(2)，理由见解析. 【解析】（1）设天平左臂长为，右臂长为，第一次放的黄金为，第二次为， 则，，两式相除可得，，化简得， 于是顾客所得黄金为，当且仅当时取等号， 又，若，则；若，则，即，有， 所以顾客购得的黄金大于. （2）设第三次放的黄金为，则，而，则有， 因此三次黄金质量总和为， 当且仅当，，时取到等号， 所以当时，三次黄金质量总和最小. 27．（23-24高一上·广东深圳·月考）某公司决定在公司仓库外借助一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的应急室，由于此应急室后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：应急室正面墙体每平方米的报价400元，侧面墙体每平方米的报价均为300元，屋顶和地面及其他报价共计7200元，设应急室的左右两侧的长度均为米. (1)甲工程队应如何设计应急室正面和两侧的长度，可以使公司的建造费用最低； (2)现有乙工程队也参与此应急室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 【答案】(1)左右两侧长度均为4米，正面墙长度为6米；(2) 【解析】（1）由题意知，正面墙体长度为米，，则建造费用为 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以，甲工程队应设计应急室左右两侧长度均为4米，正面墙长度为6米，可以使建造费用最低. （2）根据题意，对任意恒成立， 整理得， 即当时恒成立， 等价于当时， 因为 当且仅当即时取等号. 所以，若乙队总能竞标成功，则. 28．（23-24高一上·江苏南京·月考）地铁使我们日常出行更加便利.某地在修建地铁线路中的某一站点时，车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此某工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元，设屋子的左、右两面墙的长度均为米. (1)设该工程队的总报价为元，请用表示； (2)当左右两面墙的长度为多少米时，该工程队的报价最低？最小值为多少？ 【答案】(1)， (2)当左、右两面墙的长度为米时，该工程队的报价最低，最小值为元 【解析】（1）前面墙的长度为米， 总报价，其中. （2）因为， 由基本不等式可得 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，当左、右两面墙的长度为米时，该工程队的报价最低，最小值为元. 29．（23-24高一上·四川成都·月考）某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关､若建造宿舍的所有费用（万元）和宿舍与工厂的距离的关系为：，若距离为时，测算宿舍建造费用为100万元.为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设为建造宿舍与修路费用之和. (1)求关于的表达式； (2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值. 【答案】(1)；(2)宿舍应建在离厂处可使总费用最小为75万元 【解析】（1）根据题意得，所以， 所以 （2）因为 当且仅当即时. 答：宿舍应建在离厂处可使总费用最小为75万元. 30．（23-24高一上·山东青岛·月考）（1）一家商店使用一架两臂不等长的天平（左臂长acm大于右臂长bcm）称黄金．一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克的砝码放在天平左盘，取出一些黄金（m克）放在天平右盘使天平平衡；再将5克的砝码放在天平右盘，取出一些黄金（n克）放在天平左盘使天平平衡；最后将两次称量的黄金交给顾客，请比较m+n与10的大小； （2）某驾驶员给爱车加油有两种不同的办法：第一种是不考虑价格变化，每次都加满油箱（大约40升）；第二种是不考虑价格变化，每次都加300元（油箱能装下）；当前油价在不断的变化中，请从数学角度比较哪种方法更经济实惠． 【答案】（1）；（2）第二种 【解析】（1）两次分别取出黄金m克、n克， 则，所以. 则， 当且仅当，即时等号成立. 又，所以； （2）设第一次加油的价格是m（元/升），第二次加油的价格是n（元/升）， 第一种加油方式的平均价格是； 第二种加油方式的平均价格是. 因为，（当且仅当时取等号）， 所以，如果两次加油价格有变化，则第二种加油方式的平均价格更低， 如果两次加油价格没有变化，两种加油方式平均价格相同， 总之，第二种加油方法更经济实惠． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$