2024年九年级中考数学专项训练——锐角三角函数基础知识

中考专项训练——锐角三角函数基础知识 一．选择题 1．tan30°的值是（　　） A． B． C． D． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝4，则sinA的值是（　　） A． B． C． D． 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 4．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinB＝，则AC等于（　　） A．25 B．12 C．9 D．16 5．如图，在正方形网格中，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则∠A的余弦值为（　　） A． B． C． D． 第5题图 第6题图 第7题图 6．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图①，四边形ABCD为矩形，AB长为4米，AD长为1米，点C与点N重合．道闸打开的过程中，如图②，边AD固定，连杆AB、CD分别绕点A、D转动，且边BC始终与边AD平行．当道闸打开至∠PDE＝36°时，边CD上一点P到地面的距离PE为0.8米，则点P到MN的距离PF的长为（　　） A．(4﹣0.8sin36°)米 B．(4﹣0.8tan36°)米 C．米 D．米 7．如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i＝1：2，背水坡CD的坡比i＝1：1，若AB的长度为米，则斜坡CD的长度为（　　） A．6米 B．米 C．米 D．米 8．在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，那么sin∠ACB的值为（　　） A． B． C． D． 9．一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔45海里的A处，它沿北偏东30°方向航行60海里到达B处，此时与灯塔P的距离为（　　） A．27海里 B．50海里 C．75海里 D．15万海里 10．如图，网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接AB、CD交于点P，则∠BPC的正切值是（　　） A．2 B． C． D． 第9题图 第10题图 第16题图 第17题图 二．填空题 11．若，则锐角α的度数是 　 　． 12．若∠A为锐角，cosA＝，则sinA＝　 　． 13．计算：2sin30°﹣tan45°＝　 　． 14．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是 　 　． 15．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝4，则AB的值是 　 　． 16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝，cosA＝　 　． 17．如图，已知tanα＝，如果F（4，y）是射线OA上的点，那么F点的坐标是　 　． 18．如图，一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东60°方向，航行50海里到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东15°方向上．则∠APB＝　 　；轮船到灯塔P的距离PB＝　 　海里．（结果保留根号） 19．如果三角形有一边上的高恰好等于这边长的，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠C＝90°，则tanA＝　 　． 第18题图 第20题图 20．2024年4月25日20时59分，运载火箭托举着神舟十八号载人飞船，在酒泉卫星发射中心点火升空，送航天员奔赴“天宫”．如图，神舟十八号载人飞船从地面O处成功发射，当飞船到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为37°，0.3秒后，飞船直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°，点O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，则飞船从A到B处的平均速度为 　 　米/秒．（结果精确到1米；参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 三．解答题 21．计算：（1）cos30°+tan45°﹣tan60°•cos245°． （2）sin230°+2sin60°+tan45°+cos230°； （3）﹣2sin45°+2cos60°+|1﹣|+（）﹣1． 22．如图，在△ABC中，BC＝12，tanA＝，∠B＝30°，求AC的长． 23．已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c． 观察：若∠A＝35°，∠B＝45° 则有，sin245°+cos245°＝1． ． sin100°＝sin（35°+45°）＝sin35°cos45°+sin45°cos35° 模仿：已知∠A＝60°，． （1）求sinC的值； （2）若a＝7，求S△ABC． 24．定义：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ， cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ， sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ， cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ； 例如：cos30°＝cos（60°﹣30°）＝cos60°cos30°+sin60°sin30° ＝ （1）cos15°＝　 　，sin90°＝　 　，sin2x＝　 　； （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AB＝c，AC＝b；求证：； （3）利用（2）中的结论证明：（1﹣tanαtanβ≠0，cosαcosβ≠0）． 25．如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号） 能力题 1．如图，四边形ABCD中，CD＝3，，∠ACB＝90°，tan∠ABC＝2．连接BD，则BD的最大值为 　 　． 2．如图，在矩形ABCD中，AD＝16，点E，F分别在边AD，BC上，且DE＝6，CF＝3，将矩形沿EF折叠后，点D，C分别落在D'，C′处，延长ED'交BC于点G．当A，D'，C′三点共线时，△D'GH的面积是 　． 3．已知：如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，cos∠BAC＝，BD⊥AC，垂足为点D，E是BD的中点，联结AE并延长，交边BC于点F． （1）求∠EAD的正切值； （2）求的值． 4．如图（1），点D是等腰△ABC底边AC上一点，点E，A在BD同侧，且BD＝ED，∠BDE＝∠ABC，取BE的中点F，连接并延长AF，CB交于点G，探究AF与FG的数量关系． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图（2），当AB⊥BC时，直接写出AF与FG的数量关系； （2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论是否仍然成立． 问题拓展 （3）如图（3），△ABC不是等腰三角形，点P是AB边上的点，连接PD，PC，已知PD⊥AC于D，∠CPD＝∠B，且，BC＝2BP，直接写出的值． 中考专项训练——锐角三角函数基础知识 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A C C D B C C A 二．填空题 11． 　50°　．12．　　．13．　0　．14．　105°　．15．　10　． 16．　　．17．　（4，2）　．18．　45°　；　25　．19．　或2或1　．20．　1133　． 三．解答题 21．解：原式＝+1﹣×（）2 ＝+1+× ＝+1﹣ ＝1． （2）原式＝sin230°+cos230°+2sin60°+tan45° ＝1+2×+1 ＝2+． （3）原式＝﹣2×+2×+﹣1+（2﹣1）﹣1 ＝2﹣+1+﹣1+2 ＝2+2． 22．解：如图所示，过点C作CD⊥AB于D， 在Rt△DBC中，∠BDC＝90°，∠B＝30°，BC＝12， ∴， 在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，， ∴， ∴AD＝8， ∴． 23．解：（1）由观察可知，， ∴，∴； （2）， 由观察得sin2C+cos2C＝1，∴，∴， 又由观察得sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+sinAcosC， ∴， ∴． 24．解：（1）cos15°＝cos(45°﹣30°)＝cos45°cos30°+sin45°sin30°＝＝； sin90°＝sin（45°+45°）＝sin45°cos45°+cos45°sin45°＝＝＝1； sin2x＝sin（x+x）＝sinxcosx+cosxsinx＝2sinxcosx； （2）证明：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AB＝c，AC＝b， ∴，，， ∵， ∴． （3）证明：∵ ＝ ＝＝， ∴． 24．解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H． 则DE＝BF＝CH＝10m， 在Rt△ADF中，AF＝AB﹣BF＝70m，∠ADF＝45°， ∴DF＝AF＝70m． 在Rt△CDE中，DE＝10m，∠DCE＝30°， ∴CE＝＝＝10（m）， ∴BC＝BE﹣CE＝（70﹣10）m． 答：障碍物B，C两点间的距离为（70﹣10）m． 能力题 1．　　．2．　　． 3．解：（1）∵BD⊥AC， ∴∠ADE＝90°， Rt△ADB中，AB＝13，cos∠BAC＝， ∴AD＝5， 由勾股定理得：BD＝＝＝12， ∵E是BD的中点， ∴ED＝6， ∴∠EAD的正切＝＝； （2）过D作DG∥AF交BC于G， ∵AC＝8，AD＝5， ∴CD＝3， ∵DG∥AF， ∴＝， 设CG＝3x，FG＝5x， ∵EF∥DG，BE＝ED， ∴BF＝FG＝5x， ∴． 4．（1）AF＝FG． 理由如下：连AE，过B作BM⊥AC， ∴∠ABM＝45°， ∵∠EBD＝45°， ∴∠EBA＝∠DBM， ∵△DEB和△ABM是等腰Rt△， ∴，， ∴， ∴△ABE∽△MBD， ∴∠EAB＝∠DMB＝90°， ∵F为BE中点， ∴FA＝FE＝FB， 同理FB＝FG＝FA， ∴AF＝FG． （2）在AC上取点P，使∠ABP＝∠C ∵∠BDE＝∠ABC， 又DE＝DB，BA＝BC， ∴∠DEB＝∠DBE＝∠BAC＝∠C， 由∠EDB＝∠APB，∠DEB＝∠PAB得： △DEB∽△PAB， ∴，∠PBA＝∠DBE， ∴∠PBD＝∠ABE， ∴△ABE∽△PBD， ∴∠EAB＝∠APB＝∠ABC， ∴AE∥CG， ∴△AFE～△GFB， ∴＝1， ∴AF＝FG． （3）过A作AQ∥PC，交PD延长线于Q． ∴∠Q＝∠CPD＝∠B， ∵， ∴tan∠Q＝＝， ∴设AD＝4m，DQ＝3m， ∴AQ＝＝5m， ∵∠APQ+∠CPD＝∠B+∠PCB， ∴∠APQ＝∠PCB， 又∠Q＝∠B， ∴△APQ∽△PCB， ∴＝＝， ∴＝， ∴PQ＝10m， ∴PD＝7m， ∵∠CPD＝∠B， ∴＝， ∴CD＝m， ∴＝4m÷m＝ 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$