图形中的规律（教案）-2024-2025学年五年级上册数学北师大版

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 五年级 学期 秋季 课题 图形中的规律 教科书 书 名：义务教育教科书《数学》 出版社：北京师范大学出版社 教学目标 1. 经历直观操作、探索的过程，体验发现摆三角形的规律的方法。在观察、操作等活动中发现点阵中隐含的规律，体会图形与数的联系。 2. 通过探索、尝试、归纳、交流等活动，多角度观察发现不同规律，发展学生动手操作能力、观察分析能力、归纳与概括的能力。 3. 结合探索、尝试、交流等数学活动，发展学生数学思维，养成善于观察、思考的习惯，体会数学的魅力，激发学生学习数学的热情。 教学内容 教学重点： 1. 发现图形中的规律，体会“多角度观察”探索规律的方法。 2. 归纳图形中的规律并能运用规律解决问题。 教学难点： 1. 发现图形中的规律并能概括表达其中的规律。 教学过程 环节一：创设情境，导入新课 创设“设计班级文明星积分榜”的情境，淘气与笑笑在设计班级文明星积分榜时出现争 议，淘气认为不同文明行动加的分数不同，在积分榜上直接写数字最方便，但笑笑作为班级宣传委员，觉得这样不够美观，说是应该用图形来积分，每加1分就贴一个图案，加几分就贴几个图案，但是积分榜不够大，分数一直增加但没有更多的位置来贴图案，所以淘气和笑笑一直争论不休。同学们有没有什么办法能将笑笑的图形和淘气的数字结合设计出既方便又美观的积分榜呢？ 希望通过本节课的学习，我们能有更好的设计方案，跟着老师一起来寻找《图形中的规律》。 环节二：摆一摆三角形，初识单独摆三角形的规律 1.摆三角形 师：同学们，拿出你提前准备的小棒，摆一摆三角形，如果需要摆2个三角形你会用到几根小棒 （学生开始动手操作尝试摆一摆三角形，可能出现两种情况：一种单独摆，一种连续摆，教师先展示单独摆三角形的摆法，探索单独摆三角形的规律。） 展示某一位学生的摆法，邀请学生说一说自己用了多少根小棒。 生：我摆1个三角形用了3根小棒，摆2个三角形需要6根小棒。 师：同学们，如果按照这位同学的摆法，摆3个三角形需要几根小棒？摆10个三角形需要几根小棒？ 学生会不假思索直接回答9根、30根，教师追问：你们是如何直接得到答案的？如果老师用字母n表示三角形的个数，你能知道我会用多少根小棒吗？ 生：因为三角形有3条边，所以摆1个三角形用3根小棒，摆2个三角形是6根，我发现直接用三角形的边数3×三角形的个数就可以直接得到所需小棒的个数。如果用n表示三角形的个数，那么所需小棒的个数就是3n。 师：同学们真是太棒了，那有没有不同的摆法呢? 环节三：探索连续摆三角形的规律 1.发现连续摆三角形的方法 生：我的摆法不一样，我可以节省1根小棒，我把第1个三角形与第2个三角形中间的这根小棒当做公共边，这样连着摆就只需要5根小棒。 师：真是善于探索的孩子！同学们，如果像这位同学这样连续摆10个三角形需要几根小棒呢？ 2.探索连续摆10个三角形小棒的个数 师：请同学尝试摆一摆、画一画。 生1：我用小棒摆一摆，笑笑在摆第2个三角形时，把中间这根小棒当做公共边，就是借了第1个三角形中的1条边，所以摆第2个三角形时再拿2根小棒就够了，摆第3个三角形时，也是向前面借一条边，再加2根小棒就能摆出3个三角形。我再接着继续摆，摆出10个三角形，一共用了21根小棒。 生2：我是借助课本上的表格，通过观察三角形的个数、摆成三角形的形状、小棒的根数，对比发现，的确是摆好第1个三角形后，接下来每增加1个三角形就增加2根小棒，摆5个三角形就需要11根小棒，摆6个三角形就需要13根小棒，以此类推直接得到摆10个三角形就需要21根小棒。 三角形个数 摆成的形状 小棒根数 1 3 2 5 3 7 4 9 ... ... ... 10 3.小组合作，探索连续摆三角形时三角形个数与小棒根数的关系。 师：同学们真是善于观察的孩子，那请同学们继续观察刚刚的表格，三角形的个数与小棒的根数是不是存在着关系呢？如果用字母n表示三角形的个数，是否能用算式表示出小棒的根数？请同学们小组合作，共同探究。 小组合作要求： 目的：探索连续摆三角形时三角形个数与小棒根数的关系。 要求： （1）小组分工合作，1人负责用小棒三角形，1人负责纪录小棒的个数，并填写学习任务单。 （2）用笑笑的方法继续摆三角形，从第1个三角形开始，边摆边纪录，并在表格中画一画摆成三角形的形状，共同寻找三角形个数与小棒根数的关系，尝试用算式表示出关系。 三角形个数 摆成的形状 小棒根数 列式 1 3 2 3 4 5 6 ... ... 10 ... ... n 4.各小组交流汇报自己的发现。 预设一:3+2×（n-1） 生1：我们小组发现，摆1个三角形需要3根小棒，之后每多摆1个三角形就增加2根小棒。我们将第1个三角形的小棒个数3作基础，摆第2个三角形时增加2根小棒，就是3+2共5根小棒，摆3个三角形就是3+2+2共7根小棒，列成算式7=3+2×2，摆4个三角形用9根小棒，列式9=3+2×3。以此类推，三角形个数与小棒的根数之间的关系就是：摆几个三角形所需小棒的根数=第1个三角形的3根小棒+2×（三角形个数-1）。如果用字母n表示三角形的个数，所需小棒的根数就是3+2×(n-1)。 预设二：3n-（n-1） 生2：我们是这样想的，摆第2个三角形时，笑笑把中间这条边当做公共边，也就是借了第1个三角形的一条边，所以第2个三角形就少用了1条边，摆2个三角形所需小棒的根数就是3×2-1=5根小棒。摆3个三角形就借用了第1个三角形的一条边和第2个三角形的一条边，那就是少用了两条边，所以摆3个三角形所需小棒的根数就是3×3-2共7根小棒。以此类推，摆几个三角形就可以直接用三角形的边数×三角形的个数，再减掉除第1个三角形外，其他三角形都借用别人的那条边。如果用字母n表示三角形的个数，小棒的根数就是3n-（n-1）。 预设三：2n+1（这个规律是课本上没有提到的，学生不一定发现，教师可以提出） 生3：我们小组的想法和你们不一样，如果将第1个三角形的第1根小棒看作基础，我们发现，每摆1个三角形就加2根小棒，所以摆1个三角形就是1+2共3根小棒,摆2个三角形就是1+2+2共5根小棒,列成算式5=1+2×2,摆3个三角形就是1+2×3共7根小棒,所以我发现的规律就是，摆几个三角形就从第1根小棒开始计算,再加上2×三角形的个数，也就是加了几个2，就是所需小棒的根数。如果用字母n表示三角形的个数，所需小棒的根数就是1+2n。 环节四：运用连摆三角形的规律解决问题 师：同学们的思维真是太活跃了，大家已经发现规律，那么笑笑还想再考考大家，笑笑像这个摆三角形一共用了37根小棒，你知道她摆了多少个三角形吗？想一想、摆一摆、算一算吧！ 生1：我是用小棒摆一摆，我数出37根小棒，按照笑笑的摆法摆下去......小棒摆完后数一数，笑笑一共摆了18个三角形。 生2：我是这样想的，第1个三角形用了3根小棒，之后每增加1个三角形就加2根小棒，我先减去第1个三角形用的3根小棒，37-3=34（根）小棒，就是剩下的三角形总共用的小棒个数，再用34÷2=17（个）三角形，就是增加的三角形个数，17再加上第1个三角形，17+1=18（个），就知道笑笑一共摆了18个三角形。 生3：我是利用方程来解决这个问题的，前面我们把三角形个数与小棒根数之间的关系用字母表示是2n+1,所以我根据关系列出方程。解：设摆了x个三角形。那么这些三角形所需小棒的根数就是2x+1=37，解这个方程得到x=18,和大家的结果是一样的。 环节五：探索点阵中的规律 师：同学们真是善于思考，善于探索，生活中还有很多规律等着我们去探索、去发现。比如同学们在军训时大家站立的方阵队伍，多么整齐，现在我用一个点表示以为同学，那么由同学们组成的方针就变成了我们接下来要探索的点阵。 （出示点阵图）观察每个点阵中点的个数，你发现了什么？下一个点阵有多少个点？是怎么排列的？ 生1：我发现后面一个点阵都比前1个点阵多1行1列，我尝试画了一下，第5个点阵就比第4个点阵多画1行1列，我数一下，一共就是25个点。 生2：我发现第1个点阵中有1个点，第2个点阵有2行，每行有2个点，共有2×2=4个点，第3个点阵有3行，每行有3个点，共有3×3=9个点，第4个点阵有4行，每行有4个点，共有4×4=16个点。要是这样的话，第1个点阵也可以看成有1行1列，就是1×1=1个点。这样，1×1，2×2，3×3，4×4，我发现第几个点阵就是几×几个点，我就可以直接得到第5个点阵的点数就是5×5=25个点，排5行每行有5个点。 环节六：从不同角度观察点阵图，发现新的规律 师：我发现同学们真的很擅长观察和思考，通过刚才的观察我们的研究也在不断地深入，刚刚我们是从每行每列去划分的，请大家从不同的角度观察，尝试新的划分方法，借助学习任务单画一画，寻找新的规律。 预设一：折线划分 第1个点阵是1，第2个点阵用折线划分，第1层是1个点，第2层是3个点，一共有1+3=4个点，第3个点阵用折线分成3层，第1层1个点，第2层3个点，第3层5个点，一共有1+3+5=9个点。我发现第几个点阵就可以用折线分成几层，点子总数就是从1开始的几个奇数相加的和。所以第4个点阵用折现分成4层，点子数就是从1开始的4个奇数相加，1+3+5+7=16个点。 预设二：斜线划分 利用斜线划分，从第2个点阵起，斜着把点阵分成几个斜行，每个斜行的点子数相加就是1+2+1=4个点，第3个点阵斜着分，点子数就是1+2+3+2+1=9个点，第4个点阵斜着分，就是1+2+3+4+3+2+1=16个点。我发现，第几个点阵就从1加到几然后再返回加到1，就是这个点阵点的个数。 环节七：练习应用，巩固提高。 1.用小棒按照图的方式摆正方形。 。。。。。。 像这样摆正方形，正方形的个数与小棒根数有什么关系？尝试用算式表示。 2.先观察下列图形的规律，再填空。 1 1+3 1+3+□ 1+3+□+□  第8个图形由（ ）个小三角形组成的。 环节八：回归课堂伊始情境，课末总结，拓展提升。 师;今天同学们的表现非常优秀，不仅发现了图形中的规律，还可以运用规律解决问题。那通过本节课的学习，现在你们能帮助淘气和笑笑解决他们的问题吗？设计的积分榜既能满足笑笑要求的美观图形，又能达到淘气所要求的计数便捷。 预设：因为不同文明行动加的分数不同，我们可以用不同的图形表示不同的分值，比如三角形表示加3分，正方形表示加4分，五边形表示加5分，圆可以表示加10分，这样既美观计数又方便。 师：同学们真是学以致用，借助图形表示数，这就是我们的数形结合，既是一种数学思维，也是解决一些问题的策略。我们通过摆三角形、点阵图的活动，把形赋予数发现其中的规律，遇到数的时候，也可以把数赋予形，让图形帮助我们理解数，进而解决问题，数形结合真是太神奇了，同学们也可以课后再查阅资料找一找，在我们的生活中，或者数学学习中还有哪些数形结合的规律，下次我们一起来分享。 学科网（北京）股份有限公司 $$