精品解析：天津市四校联考2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

高二数学 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分． 1. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A 30° B. 45° C. 60° D. 135° 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出导函数，再求出导数值，即可得到切线的斜率，从而得到切线的倾斜角. 【详解】因为，所以， 所以，所以曲线在点处的切线的斜率， 所以切线的倾斜角为. 故选：D. 2. 随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则（ ） 0 2 A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据分布列的性质，以及概率公式，等差数列的性质，即可列式求解. 【详解】由题意可知，，得， 所以. 故选：C 3. 等比数列的前项和为，满足，则的值是（ ） A 20 B. 30 C. D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】根据公式，，求公比，再赋值求首项，最后代入等比数列的前项和公式，即可求解. 【详解】由， 当时，，两式相减得， 即，，因为数列是等比数列， 所以， 由中，令，， 即，得， 所以. 故选：A 4. 为丰富学生的课余活动，学校举办“书香临夏、悦享阅读”的读书朗诵比赛．已知参加比赛的男同学与女同学人数比是3∶2，其中有的男同学和的女同学擅长中华诗词朗诵，现随机选一位同学，这位同学恰好擅长中华诗词朗诵的概率是（ ） A. 0.28 B. 0.24 C. 0.26 D. 0.30 【答案】B 【解析】 【分析】由题意转化为全概率公式，即可求解. 【详解】设事件为选到一位男同学，事件为选到一位女同学， 事件位擅长中华诗词朗诵， 则，，，, 所以， 故选：B 5. 已知函数，且，则的大小关系（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断函数在上的单调性，再比较大小. 【详解】，当时，， 所以在单调递增， 因为，所以，即. 故选：D 6. 为迎接劳动节社区编排了一场演出，其中一个节目共有7人参加，其中4名男生3名女生，要求男女相间站成一排，并且女生甲必须站在正中间，则共有（ ）种站队方法． A. 144 B. 64 C. 48 D. 56 【答案】C 【解析】 【分析】先排男生，再根据条件女生插空，即可求解. 【详解】先排4名男生，4名男生之间有3个空，中间的位置留给女生甲， 剩下的2个空，留给剩下的2名女生，共有种站法. 故选：C 7. 已知的所有项的系数和为3，则的系数为（ ） A. 36 B. 24 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，令，可求得，再利用二项展开式的性质即可求解. 【详解】由题意，在中，令， 得所有项的系数和为，解得， 故的展开式中， 的系数为. 故选：. 8. 已知双曲线为坐标原点为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】首先求，，，再根据，结合余弦定理，即可求解. 【详解】由题意，不妨设点在上，焦点到直线的距离， ，，，则，， ，所以, 即，得， 所以双曲线的离心率. 故选：A 9. 对，当时，，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先不等式转化为，，再构造函数，由函数的单调性，转化为不等式，参变分离后，转化为最值问题，即可求解. 【详解】由题意可知，不等式等价于， 两边取对数得，即， 则，，， 设，由题意可知，函数在区间上单调递增， ，在区间上恒成立，即恒成立，， 所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是转化不等式，从而达到构造函数，易于分离参数的目的. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将正确的答案填写到答题纸上． 10. 的展开式中的系数为____________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式计算即可. 【详解】的展开式的通项， 令，解得， 故的展开式中的系数为. 故答案为：. 11. 经过点且斜率为的直线与圆相交于两点，若，则的值为____________. 【答案】0或 【解析】 【分析】首先利用弦长公式求圆心到直线的距离，再设直线的方程，利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由条件可知，圆的半径，， 所以圆心到直线的距离， 设直线，即， 所以圆心到直线的距离， 解得：或. 故答案为：0或. 12. 为方便广大人民群众就医，普及医疗健康知识，社区组织“义诊下乡行”活动，某医疗队伍有5名医生需分配到3个志愿团队，每个志愿队至少分配一名医生，甲医生被分到志愿队的方法有____________种．（用数字作答） 【答案】50 【解析】 【分析】先按照A志愿队的人数分类，再按照分组分配的方法，即可求解. 【详解】第一种情况，A志愿队只有甲医生，则剩下的4人可以为1，3或2，2的分组，再分配到另2个志愿团队，有种方法， 第二种情况，A志愿队有甲医生外，还有1人，剩下的3人为1，2的分组，再分配到另2个志愿团队，有种方法， 第三种情况，A志愿队有甲医生外，还有2人，剩下的1人为1，1的分组，再分配到另2个志愿团队，有种方法， 所以共有种方法. 故答案为：50 13. 已知点在函数的图象上，点在直线上，则两点之间距离的最小值是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先分析函数的图象，再利用导数的几何意义，转化为点到直线的距离. 【详解】，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，函数取值最小值， 如图画出函数和直线的图象， 如图，平移直线至与的图象相切时，此时切点到直线的距离为的最小值， 此时，得，，即， 所以点到直线的距离. 故答案为： 14. 一个盒子中有大小相同的4个红球3个白球，若从中任取3个小球，则在“抽取的3个球中至少有一红球”的前提下“抽取的3个球全是红球”的概率是_________；若用表示抽取的三个球中白球的个数，则_______. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】由条件概率求解；求出所有可能的取值及其对应的概率，再由期望公式即可求出. 【详解】由题意知：所有可能的取值为0，1，2，3， 所以；； ；； 所以的概率分布为： 0 1 2 3 则数学期望． 记“抽取的3个球全是红球”为事件，“至少有一红球”为事件， 所以，， 所以. 故答案为：；. 15. 已知函数的导函数为，对恒成立，（e是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，结合和，可求得，利用导数求出的单调区间和极值，画出的图象，结合图象可求得结果. 【详解】由，得， 令，则， 所以，因为，所以， 所以，所以， 故， 令，则或， 当或时，，当时，， 所以在和上递增，在上递减， 所以的极大值为，极小值为， 因为，，， 当时，，所以的图象如图所示， 因为不等式的解集中恰有3个整数， 所以时，不等式的解集中恰有3个整数， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：此题解题关键是根据已知条件求出的解析式，然后利用导数画出的图象，结合图象求解. 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知函数 （1）求的单调区间和极值； （2）若在单调递增，求实数的取值范围； （3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导分析单调性，极值，即可求解. （2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，即可求解. （3）若对任意的，总存在，使得，则当时，，即可求解. 【小问1详解】 ，， 令，解得， 当时，，当时，， 所以单调递减区间为，单调递增区间为， 所以在处取得极小值，且极小值为，无极大值. 【小问2详解】 ，， 则， 因为在单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立，即， 设，， 所以在上单调递增， 所以， 所以，故的取值范围为. 【小问3详解】 若对任意的，总存在，使得， 则当时，， 由（1）知在上单调递增， 所以当时，， ，， ， 当时，，单调递减， ， ， ， 的取值范围为. 【点睛】方法点睛：不等式的恒成立、存在性问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，， （1）若，有成立，则； （2）若，有成立，则； （3）若，有成立，则. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，转化为证明线线平行，根据几何关系，构造中位线，即可证明； （2）首先建立空间直角坐标系，分别求平面和的法向量，根据法向量夹角的余弦值，即可求解； （3）根据（2）的结果，代入线面角的向量公式，即可求解. 【小问1详解】 连结，交于点，连结， 点是的中点，点是的中点， 所以，平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 如图，以向量，，为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，， 则，， 设平面的法向量， 则，令，，， 所以平面的法向量， 平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 ，，，， ，，， ， 由（2）知平面的法向量， 设直线与平面的夹角为， 则， 解得或， 又， 则或. 18. 已知椭圆经过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）点为椭圆上不同的两点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，设，且满足，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的几何性质，转化为关于的方程，即可求解； （2）首先设点的坐标，由条件转化为关于坐标的关系式，再设直线方程与椭圆方程联立， 【小问1详解】 由题意可知，，，则，所以， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 设，， 直线的方程为，， 直线的方程为，， 则，，，，， ① ，则， 所以直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立，得， ，，② ， ， ，③ 将②③代入①得，， 整理为，即或， 若，则直线为，过点，不符合题意，舍去， 若，则直线为，过原点，此时， 又因为，所以，，代入椭圆方程得，， 则，又， 所以， 所以点的坐标为. 19. 已知是公差为1的等差数列，其前8项和为36．是公比大于0的等比数列，． （1）求和的通项公式； （2）记，求的前项和； （3）证明． 【答案】（1）； （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的公式，即可求解； （2）由（1）的结果可知，，再利用裂项相消法，即可求解； （3）首先根据不等式，放缩为求数列的前项和为，即可求解. 【小问1详解】 设数列的首项为，公差，则 ，解得：， 所以， 设等比数列的公比为，，则， 解得：（舍）或， 所以； 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以， ； 【小问3详解】 ，当时，等号成立， 所以， 数列的前项和为， 则， ， 两式相减得， ， 得， 所以 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是合理裂项，第三问的关键是放缩为求数列的前项和为. 20. 已知函数． （1）当时，求曲线在处切线的斜率； （2）当时，证明：当时，； （3）若在上存在零点，求实数的取值范围，并说明在上的最小值为． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3），说明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求解； （2）不等式等价于，构造函数，利用导数判断函数的单调性，证明函数的最小值大于0； （3）首先求，再分情况讨论函数的单调性和最值，从而说明存在零点时的的取值范围；同时根据与的关系，即可说明在上的最小值为. 【小问1详解】 当时，，， ，， 所以曲线在处切线的斜率为； 【小问2详解】 ，等价于，，， 设，， 当，时，恒成立，所以在单调递增， 即， 则恒成立，，， 所以当时，当时，； 【小问3详解】 ， ， ，， 当时，，单调递减，所以，函数无零点； 当时，，单调递增，所以，函数无零点； 当时，，单调递减，所以，函数无零点； 当时，，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的最小值，当时，， 所以在上有且仅有一个零点， 所以的取值范围是； 因为，，即， 并且当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以当时，函数取得最小值. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是转化不等式，从而构造函数解决问题；第三问的关键是对分情况讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分． 1. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 135° 2. 随机变量分布列如下：其中成等差数列，若，则（ ） 0 2 A. B. C. D. 1 3. 等比数列的前项和为，满足，则的值是（ ） A. 20 B. 30 C. D. 40 4. 为丰富学生的课余活动，学校举办“书香临夏、悦享阅读”的读书朗诵比赛．已知参加比赛的男同学与女同学人数比是3∶2，其中有的男同学和的女同学擅长中华诗词朗诵，现随机选一位同学，这位同学恰好擅长中华诗词朗诵的概率是（ ） A. 0.28 B. 0.24 C. 0.26 D. 0.30 5. 已知函数，且，则的大小关系（ ） A. B. C. D. 6. 为迎接劳动节社区编排了一场演出，其中一个节目共有7人参加，其中4名男生3名女生，要求男女相间站成一排，并且女生甲必须站在正中间，则共有（ ）种站队方法． A. 144 B. 64 C. 48 D. 56 7. 已知的所有项的系数和为3，则的系数为（ ） A 36 B. 24 C. D. 8. 已知双曲线为坐标原点为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 9. 对，当时，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将正确的答案填写到答题纸上． 10. 的展开式中的系数为____________．（用数字作答） 11. 经过点且斜率为的直线与圆相交于两点，若，则的值为____________. 12. 为方便广大人民群众就医，普及医疗健康知识，社区组织“义诊下乡行”活动，某医疗队伍有5名医生需分配到3个志愿团队，每个志愿队至少分配一名医生，甲医生被分到志愿队方法有____________种．（用数字作答） 13. 已知点在函数的图象上，点在直线上，则两点之间距离的最小值是____________． 14. 一个盒子中有大小相同的4个红球3个白球，若从中任取3个小球，则在“抽取的3个球中至少有一红球”的前提下“抽取的3个球全是红球”的概率是_________；若用表示抽取的三个球中白球的个数，则_______. 15. 已知函数导函数为，对恒成立，（e是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是____________. 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知函数 （1）求的单调区间和极值； （2）若在单调递增，求实数的取值范围； （3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 18. 已知椭圆经过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）点为椭圆上不同的两点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，设，且满足，求点的坐标． 19. 已知是公差为1的等差数列，其前8项和为36．是公比大于0的等比数列，． （1）求和通项公式； （2）记，求的前项和； （3）证明． 20. 已知函数． （1）当时，求曲线在处切线的斜率； （2）当时，证明：当时，； （3）若在上存在零点，求实数的取值范围，并说明在上的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$