5.1.2弧度制课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

5．1.2　弧度制 新知初探 课前预习 题型探究 课堂解透 新知初探 课前预习 教材要点 要点一　度量角的两种单位制 角度制 定义 用________作为单位来度量角的单位制 1度的角 周角的为1度的角，记作1° 弧度制 定义 以________为单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 ________ 度 弧度 半径长 rad 状元随笔　正确理解弧度与角度的概念 区别 (1)定义不同； (2)单位不同：弧度制以“ 弧度”为单位，角度制以“ 度”为单位 联系 (1)不管以“ 弧度”还是以“ 度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值； (2)“ 弧度”与“角度”之间可以相互转化 要点二　弧度数的计算 (1)正角：正角的弧度数是一个________． (2)负角：负角的弧度数是一个________． (3)零角：零角的弧度数是________． (4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝. 正数 负数 0 要点三　角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝________ 2π rad＝________ 180°＝________ π rad＝________ 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝ °≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×＝度数 2π rad 360° π rad 180° 状元随笔　角度制与弧度制换算公式的理解 (1)弧度制、角度制都是角的度量制，它们之间可以进行换算． (2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量度相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量度也不同． 要点四　扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝________． (2)扇形面积公式：S＝lr＝α·r2. α·r 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)1 rad的角和1°的角大小相等．(　　) (2)用弧度来表示的角都是正角．(　　) (3)1弧度的角的大小和所在圆的半径大小无关．(　　) (4)扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝|α|r＝30 cm.(　　) × × × √ 2．(多选)下列各种说法中，正确的是(　　) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的 C．根据弧度的定义，180°的角一定等于π rad的角 D．利用弧度制度量角时，它与圆的半径长短有关 答案：ABC 解析：角的大小只与角的始边和终边的位置有关，而与圆的半径大小无关． 故选ABC. 3．将864°化为弧度为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D．π 答案：C 解析：864°＝864×＝. 故选C. 4．扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________． 25 解析：角的大小只与角的始边和终边的位置有关，而与圆的半径大小无关． 故选ABC. 题型探究 课堂解透 题型1　角度与弧度的互化 例1　(1)把－1 125°化为2kπ＋α(k∈Z，0≤α＜2π)的形式是(　　) A．－6π－ B．－6π＋ C．－8π－ D．－8π＋ (2)把－化成角度是(　　) A．18°　　　B．－18° C．36°　　　D．－36° 答案：(1)D　(2)D 解析：(1)－1 125°＝－3×2π－＝－4×2π＋＝－8π＋. 故选D. (2)－＝－°＝－36°. 故选D. 方法归纳 进行角度制与弧度制的互化的原则和方法 (1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝rad和1 rad＝°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝°；n°＝n·. 提醒：(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写． (2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数． (3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． 跟踪训练1　(多选)下列转化结果正确的是(　　) A．30°化成弧度是 B．－化成度是－600° C．67°30′化成弧度是 D．化成度是288° 答案：ABD 解析：30°化成弧度是，A正确；－化成度是－600°，B正确；67°30′是67.5°＝67.5×＝，C错误；化成度是288°，D正确．故选ABD. 题型2　用弧度制表示角 例2　已知角α＝2 005°. (1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角． 解析：(1)∵2 005°＝2 005× rad＝ rad＝rad，又π<<， ∴角α与终边相同，是第三象限的角． (2)与α终边相同的角为2kπ＋(k∈Z)， 由－5π≤2kπ＋<0，k∈Z知k＝－1，－2，－3. ∴在[－5π，0)内与α终边相同的角是－，－，－. 方法归纳 (1)用弧度数表示与角α终边相同的角连同角α在内的集合为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}． (2)用弧度数表示区域角时，先把角度换算成弧度，再写出与区域角的终边相同的角的集合，最后用不等式表示出区域角的集合，对于能合并的应当合并． 跟踪训练2　(1)终边在直线y＝－x上的所有角的集合是(　　) A． B． C． D． 解析：(1)直线y＝－x过原点，它是第二、四象限的角平分线所在的直线，故在0～2π范围内终边在直线y＝－x上的角有两个：.因此终边在直线y＝－x上的角的集合 D (2)用弧度表示终边落在如图①②所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合． 解析：(2)对于题图①，225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－，60°角的终边即的终边，∴所求集合为. 对于题图②，同理可得，所求集合为 题型3　弧长公式与扇形面积公式的应用 例3　(1)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数． 解析：(1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为r cm， 依题意有 将①代入②得r2－5r＋4＝0，解得r＝1或r＝4. 当r＝1时，l＝8，此时θ＝8 rad>2π rad，舍去； 当r＝4时，l＝2，此时θ＝＝(rad)． ∴θ＝ rad. (2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm，求扇形的面积． (3)已知一扇形的周长为40 cm，求它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解析：(2)设扇形的圆心角为α，弧长为l cm，半径为R cm，面积为S cm2. ∵72°＝72×＝(rad)，∴l＝αR＝×20＝8π(cm)． ∴S＝lR＝×8π×20＝80π(cm2)． (3)设扇形的圆心角为θ，半径为r cm，弧长为l cm，面积为S cm2， 则l＋2r＝40，∴l＝40－2r， ∴S＝lr＝×(40－2r)r＝(20－r)r＝－(r－10)2＋100. ∴当r＝10时，扇形的面积最大． 这个最大值为100 cm2，这时θ＝＝＝2 rad. 方法归纳 弧长公式和扇形面积公式的应用类问题的解决方法 (1)将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，因此解决这些问题通常采用弧度制．一般地，在几何图形中研究的角，其范围是(0，2π)； (2)利用α，l，R，S四个量“知二求二”代入公式． 跟踪训练3　(1)一个扇形的弧长为6，面积为6，则这个扇形的圆心角是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知扇形的圆心角为120°，半径为 cm，则此扇形的面积为________ cm2. C π 解析：(1)设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，面积为S，由扇形的弧长为6，面积为6. 则解得α＝3， 即扇形的圆心角为3 rad. 故选C. (2)设扇形的圆心角为α，弧长为l cm，半径为R cm，面积为S cm2， 因为120°＝120× rad＝(rad)， 所以l＝αR＝＝(cm)． 所以S＝lR＝＝π(cm2)． 易错辨析　混用角度与弧度致误 例4　下列与的终边相同的角的表示正确的是(　　) A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 解析：与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确． 故选C. 答案：C 易错警示 易错原因 纠错心得 忽略了角的度量，单位的一致性，易错选B. 在解决角度制和弧度制的有关问题时，要遵循转换的原则，表达要规范，即在同一个式子中角度制和弧度制不能混用． 课堂十分钟 1．1 920°的角化为弧度数为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：∵1°＝rad，∴1 920°＝1 920×rad＝rad. 故选D. 2．已知α＝－2 rad，则角α的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 解析：∵1 rad＝()°，∴α＝－2 rad＝－()°≈－114.6°.故角α的终边在第三象限． 故选C. 3．已知半径为4的圆上，有一条弧所对的圆心角的弧度数为3，则这条弧的弧长为(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 答案：D 解析：由题可得该弧的弧长l＝3×4＝12. 故选D. 4．已知弧长为π的弧所对圆心角为60°，则这条弧所在圆的半径为________． 3 解析：由弧长公式l＝|α|·r，可得半径r＝＝＝3. 5．已知角α＝1 200°. (1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角． (2)在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角． 解析： (1)因为α＝1 200°＝1 200×＝＝3×2π＋，又<<π，所以角α与的终边相同，所以角α是第二象限的角． (2)因为与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ＋，k∈Z，所以由－4π≤2kπ＋≤π，得－≤k≤. 因为k∈Z，所以k＝－2或k＝－1或k＝0. 故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是－，－. $$