6.6.2柱、锥、台的体积课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

6.6.2　柱、锥、台的体积 新知初探-课前预习 [教材要点] 要点　柱、锥、台的体积 几何体 体积 说明 柱体 V柱体＝__________ S为柱体的底面积， h为柱体的高 锥体 V锥体＝__________ S为锥体的底面积， h为锥体的高 台体 V台体＝__________ S上，S下分别为台体的上、下底面积，h为高 Sh eq \f(1,3)Sh eq \f(1,3)(S上＋eq \r(S上S下)＋S下)·h eq \x(状元随笔)　柱体、锥体、台体体积之间的关系 柱体、锥体、台体的关系如下： [基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)如果两个柱体的体积相等，则表面积相等．(　　) (2)如果一个柱体和一个锥体的体积相等，则两几何体的底面积相同．(　　) (3)锥体的体积是柱体体积的eq \f(1,3).(　　) (4)柱体、锥体、台体这些简单几何体的体积只与该几何体的底面积和高有关．(　　) × × × √ 2．三棱锥V ­ ABC底面是边长为2的正三角形，高为3，求三棱锥的体积(　　) A.eq \r(3) B．2eq \r(3) C．3eq \r(3) D.eq \f(2\r(3),3) 解析：底面是正三角形，边长为2，则面积为eq \r(3)，V＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)·eq \r(3)·3＝eq \r(3). 答案：A 3．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且eq \f(S1,S2)＝eq \f(9,4)，则eq \f(V1,V2)的值是________． 解析：设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2， 由eq \f(S1,S2)＝eq \f(9,4)，得eq \f(πr\o\al(2,1),πr\o\al(2,2))＝eq \f(9,4)，则eq \f(r1,r2)＝eq \f(3,2). 由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2， 即r1h1＝r2h2， 所以eq \f(V1,V2)＝eq \f(πr\o\al(2,1)h1,πr\o\al(2,2)h2)＝eq \f(r1,r2)＝eq \f(3,2). 答案：eq \f(3,2) 题型一　柱体体积问题——自主完成 1．已知直四棱柱的底面为菱形，两个对角面的面积分别为2 cm2，2eq \r(3) cm2，侧棱长为2 cm，则其体积是________cm3. 解析：如图所示，设底面菱形的对角线AC，BD长分别为x cm，y cm，又该棱柱是直棱柱，两个对角面都是矩形， 故有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x×2＝2，,y×2＝2\r(3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝\r(3)，)) 底面菱形的面积S＝eq \f(1,2)xy＝eq \f(\r(3),2)(cm2)， 所以该棱柱的体积为V＝Sh＝eq \f(\r(3),2)×2＝eq \r(3)(cm3)． 答案：eq \r(3) 2．如图，过圆柱的两条母线AA1和BB1的截面A1ABB1的面积为S，母线AA1的长为l，∠A1O1B1＝90°，则此圆柱的体积为________． 解析：∵S截面A1ABB1＝S，AA1＝l， ∴A1B1＝eq \f(S,l).在Rt△A1O1B1中，O1A1＝eq \f(\r(2),2)·eq \f(S,l)＝eq \f(\r(2)S,2l)， ∴V圆柱＝πr2h＝π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)S,2l)))2·l＝eq \f(πS2,2l). 答案：eq \f(πS2,2l) 题型二　锥体体积问题——微点探究 微点1　公式法求体积 例1　《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺．问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　) A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 解析：设米堆的底面半径为r尺，则eq \f(π,2)r＝8，所以r＝eq \f(16,π)，所以米堆的体积为V＝eq \f(1,4)×eq \f(1,3)π×r2×5＝eq \f(π,12)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,π)))2×5≈eq \f(320,9)(立方尺)．故堆放的米约有eq \f(320,9)÷1.62≈22(斛)．故选B. 答案：B 微点2　等体积法求体积 例2　如图，长方体ABCD ­ A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E ­ BCD的体积是________． 解析：∵长方体ABCD ­ A1B1C1D1的体积是120， ∴CC1·S四边形ABCD＝120. 又E是CC1的中点， ∴V三棱锥E ­ BCD＝eq \f(1,3)EC·S△BCD＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)CC1×eq \f(1,2)S四边形ABCD＝eq \f(1,12)×120＝10. 答案：10 微点3　补形法求体积 例3　三棱锥A ­ BCD的高为4，底面BCD为直角三角形，两直角边BD和CD的长分别为5,3，则该三棱锥的体积为(　　) A．60 B．30 C．20 D．10 解析： 如图所示的四棱锥A ­ BCD符合题意，把三棱锥A ­ BCD放到长方体中，长方体的长、宽、高分别为5,3,4，△BCD为直角三角形，直角边长分别为5和3，三棱锥A ­ BCD的高为4，故该三棱锥的体积V＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×5×3×4＝10. 答案：D 微点4　分割法求体积 例4　如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为(　　) A.eq \f(\r(2),3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(4,3) D.eq \f(3,2) 解析： 如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，易得EG＝HF＝eq \f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq \f(\r(3),2)，则△BHC中BC边的高h＝eq \f(\r(2),2). ∴S△AGD＝S△BHC＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)×1＝eq \f(\r(2),4)，∴该多面体的体积V＝VE ­ ADG＋VF ­ BHC＋VAGD ­ BHC＝2VE ­ ADG＋VAGD ­ BHC＝2×eq \f(1,3)×eq \f(\r(2),4)×eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),4)×1＝eq \f(\r(2),3). 答案：A 方法归纳 (1)求解棱锥的体积时，注意棱锥的四个基本量，即底面边长、高、斜高、侧棱，并注意高、斜高、底面边心距所成的直角三角形的应用． (2)求解圆锥的体积时，除应用“圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长”求出母线长和底面半径外，还需注意“圆锥的轴截面是等腰三角形”的应用． 跟踪训练1　 (1)已知高为3的棱柱ABC ­ A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1 ­ ABC的体积为(　　) A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),6) D.eq \f(\r(3),4) 解析：(1)由题意知，三棱锥B1 ­ ABC的高h＝3，则V三棱锥B1 ­ ABC＝eq \f(1,3)S△ABC·h＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×3＝eq \f(\r(3),4). 答案：(1)D　 (2)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　) A.eq \f(2\r(2)π,3) B.eq \f(4\r(2)π,3) C．2eq \r(2)π D．4eq \r(2)π 解析：(2)绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示．每一个圆锥的底面半径和高都为eq \r(2)，故所求几何体的体积V＝2×eq \f(1,3)×π×(eq \r(2))2×eq \r(2)＝eq \f(4\r(2)π,3).故选B. 答案： (2)B 题型三　台体的体积问题——师生共研 例5　如图，圆台高为3，轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台的体积． 求圆台的体积，关键是作出轴截面． 解析：设上、下底面半径分别为r，R. ∵A1D＝3，∠A1AB＝60°，∴AD＝eq \f(A1D,tan 60°)＝eq \r(3)， ∴R－r＝eq \r(3)，BD＝A1D·tan 60°＝3eq \r(3)， ∴R＋r＝3eq \r(3)，∴R＝2eq \r(3)，r＝eq \r(3)，h＝3， ∴V圆台＝eq \f(1,3)π(R2＋Rr＋r2)h＝eq \f(1,3)π×[(2eq \r(3))2＋2eq \r(3)×eq \r(3)＋(eq \r(3))2]×3＝21π. 方法归纳 (1)求台体的体积，其关键在于求上、下底面的面积和高，一般地，棱台常把高放在直角梯形中去求解，若是圆台，则把高放在等腰梯形中求解． (2)“还台为锥”是求解台体问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键． 解析：正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高．设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形． ∵S侧＝4×eq \f(1,2)×(10＋20)×EE1＝780(cm2)， ∴EE1＝13(cm)．在直角梯形EOO1E1中， O1E1＝eq \f(1,2)A1B1＝5(cm)，OE＝eq \f(1,2)AB＝10(cm)， ∴O1O＝eq \r(132－10－52)＝12(cm)． 故该正四棱台的体积为V＝eq \f(1,3)×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm3)． 易错辨析　忽略对侧面展开图的分类讨论致错 例6　已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为9 cm，宽为6 cm的矩形，则此正三棱柱的体积为________cm3. 解析：设正三棱柱的高为h cm，底面等边三角形的边长为a cm. ①若正三棱柱的底面周长为9 cm，则高h＝6 cm,3a＝9 cm， ∴a＝3 cm. ∴S底面＝eq \f(1,2)×3×3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(9\r(3),4)(cm2)． ∴V正三棱柱＝Sh＝eq \f(9\r(3),4)×6＝eq \f(27,2) eq \r(3)(cm3)． ②若正三棱柱的底面周长为6 cm，则高h＝9 cm,3a＝6 cm， ∴a＝2 cm. ∴S底面＝eq \f(1,2)×2×2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)(cm2)． ∴V正三棱柱＝Sh＝eq \r(3)×9＝9eq \r(3)(cm3)． 故该正三棱柱的体积为eq \f(27,2) eq \r(3) cm3或9eq \r(3) cm3. 答案：eq \f(27,2) eq \r(3)或9eq \r(3) 易错警示 易错原因 纠错心得 易忽略另一种情况，导致错误答案. 解答此类问题一定要注意侧面展开图的长、宽都可能是底面的周长，不要漏解. $$