2022-2024年天津市数学中考模拟24题之折叠专题汇编

2022-2024年天津市中考模拟24题之折叠专题汇编 1．（2024年天津市河西区九年级中考一模数学试题）将直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点，点，，点在边上（不与点重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点，并与边交于点，且，点的对应点为点．设． (1)如图①，当时，求的大小和点的坐标； (2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，与交于点，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； (3)请直接写出折叠后重合部分面积的最大值． 2．（2024年天津市部分区中考一模数学试题）在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，点，点在第一象限，点在边上（点不与点，重合），过点作，交的直角边于点，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，点的对应点为，连接． (1)如图①，若点落在上，点的坐标是__________，点的坐标是__________； (2)设与重合部分面积为，． ①如图②，若重合部分为四边形，与边交于点，，试用含的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（请直接写出结果即可）． 3．（2024年天津市河西区中考二模数学试题）将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点在边上（点不与点，重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点，并与轴的正半轴相交于点，且，点的对应点落在第一象限．设．    (1)如图①，当时，的大小为______，点的坐标为______； (2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，点的对应点为，且在直线的下方，与边相交于点，折痕与边相交于点，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； (3)当，求折叠后重合部分面积的取值范围． 4．（2024年天津市部分区中考二模数学试题）在平面直角坐标系中，О为原点，顶点，，点C是线段上一动点（点C不与点O，B重合），过C作交于点D，将沿翻折，使点B落在x轴的点E处． (1)如图①，当点E与点О重合时，求点D的坐标； (2)设，与重叠部分的面积为S． ①如图②，当重叠部分为四边形时，试用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求t的取值范围（直接写出结果即可）． 5．（天津市河东区2024年中考二模数学试题）将一个正方形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点P在y轴正半轴上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与边相交于点Q，且，点O的对应点落在第一象限．设． (1)填空：如图①，当时，的大小为______，点的坐标为______； (2)如图②，若折叠后重合部分为五边形，点C的对应点为，，分别与边，相交于点D，E，F，试用含有t的式子表示的长，并直接写出t的取值范围； (3)求折叠后重合部分的面积的最大值，以及相应的t的值（请直接写出结果即可）． 6．（2024年天津市南开区中考二模数学试题）如图1，将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点D在边上（点D不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点D，并与直线相交于点F，且，点C的对应点为﹒设． (1)如图2，当折痕经过点B时，求t的值和点的坐标； (2)若折叠后的图形为四边形，点B的对应点为，与边相交于点G，，分别与x轴相交于点H，I，设折叠后四边形与矩形重合部分的面积为S． ①如图3，当折叠后四边形与矩形重合部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，直接写出S的取值范围． 7．（2024年天津市河北区九年级中考二模数学试题）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在轴正半轴上， ，点在边上点不与点， 重合，过点作的平行线交轴于点． (1)填空：如图①，点的坐标为 ；若，则点的坐标为 ； (2)以为折痕折叠该纸片，点的对应点为 ，设 和重叠部分的面积为． ①如图②， 当和重叠部分为四边形时，交于点 ， 交于点，试用含有的式子表示和重叠部分的面积，并直接写出的取值范围； ②填空：当 时，的最大值为 ，的最小值为 ． 8．（2024年天津市西青区中考二模数学试题）在平面直角坐标系中，O为原点，直角三角形纸片顶点A在x，轴的正半轴上，点B在第一象限，已知，，． (1)填空：如图①，点A的坐标是______，点B的坐标是______； (2)点P是线段上的一个动点（点P不与点O，A重合）过点P作直线l交直线于点O，且，将直角三角形纸片沿直线l向上翻折，点O的对应点为C，折叠后与直角三角形重合部分的面积为S，设． ①如图②，当边，分别与相交于点E，F，且折叠后重叠部分为四边形时，试用含有m的式子表示S，并直接写出m的取值范围； ②当时，求m的取值范围（直接写出结果即可）． 9．（2024年天津市和平区中考二模数学试题）将一个矩形纸片ABCD放置在平面直角坐标系中，点，点，点与轴相交于点，点在边AD上（点Q不与点A，D重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点Q，并与轴相交于点，且，点，的对应点分别为点． (1)如图①，当点落在线段上时，求的大小和点的坐标； (2)设，纸片折叠后与矩形的重叠部分的面积为． ①如图②，若折叠后与矩形的重叠部分是四边形时，与边相交于点，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 10．（2023年天津市和平区中考三模数学试题）在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，点，射线上有一个动点C，线段上有一个动点D，沿直线折叠，点B对应点为，轴．    (1)如图①，若点落x轴上，求点C的坐标； (2)设． ①如图②，折叠后的与重叠部分为四边形，和分别与x轴交于P，Q两点，试用含t的式子表示的长，并直接写出t的取值范围； ②若与重叠部分的面积S，当时，求S的取值范围．（直接写出结果即可） 11．（2024年天津市武清区多校联考中考三模数学试题）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，其中，点，点，过边上的动点 (不与点重合)作交于点．设． (1)如图①，当时，点的坐标为_______，点的坐标为_______； (2)沿着PQ折叠该纸片，点的对应点为．设折叠后的与的重叠部分的面积为． ①如图②，若折叠后的与的重叠部分为四边形，交于点，交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的值（直接写出结果即可）． 12．（2023年天津市红桥区中考一模数学试题）将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点在边上（点不与点，重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点，并与轴的正半轴相交于点，且，点的对应点落在第一象限．设． (1)如图①，当时，求的大小和点的坐标； (2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，点的对应点为，且在直线的下方，，分别与边相交于点，，试用含有的式子表示重合部分的面积，并直接写出的取值范围； (3)若折叠后重合部分的面积为，求的值（直接写出结果即可）． 13．（2023年天津市西青区中考二模数学试题）将直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点，点，，点在边上（不与点，重合），折叠该纸质，使折痕所在的直线经过点，并与边交于点，且，点的对应点为点．设．    (1)如图①，当时，求的大小和点的坐标； (2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，，分别与交于点，，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； (3)请直接写出折叠后重合部分面积的最大值． 14．（2023年天津市东丽区中考二模数学试题）在平面直角坐标系中，矩形的坐标分别为点，点，点，点，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称图形，设点的运动时间为．      (1)如图①，若，求的长； (2)如图②，若点恰好落在上时，求点的坐标； (3)是否存在异于图②的时刻，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的值？若不存在，请说明理由． 15．（2023年天津市部分区中考二模数学试卷）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形为矩形，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点的坐标为．点，同时从点出发，点沿方向运动，点沿方向运动，且．当点到达终点时，点也随之停止运动．作关于直线对称的图形，得到，的对应点为，设．    (1)如图①，当点与原点重合时，求的大小和点的坐标； (2)如图②，点落在矩形内部（不含边界）时，，分别与轴相交于点，，若与矩形重叠部分是四边形时，求重叠部分的面积与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当与矩形重叠部分的面积为时，则的值可以是______（直接写出两个不同的值即可）． 16．（2022年天津市津南区九年级中考一模数学试卷）将一个等腰直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，，，点在边上（点不与点，重合）． 图①                         图② (1)如图①，当时，求点的坐标； (2)折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点，并垂直于轴的正半轴，垂足为，点的对应点为，设． ①如图②，若折叠后与重叠部分为四边形，与边相交于点，试用含有的式子表示四边形的面积，并直接写出的取值范围； ②若折叠后与重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 17．（2022年天津市河北区九年级中考一模数学试卷）将一个含角的直角三角形纸片AOB放置在平面直角坐标系中，，点B（0，2），D是边AB上一点（不与点A，B重合），沿OD折叠该纸片，得点B的对应点C． (1)如图①，当点C落在AB边上时，求AC的长； (2)如图②，当轴时，求点C的坐标； (3)当DC所在直线与x轴的夹角为时，求点D的坐标（直接写出结果即可）． 18．（2022年天津市南开区中考一模数学试题）将一个矩形OABC放置在平面直角坐标系中，点，，点P为BC边上的动点（点P不与点B，C重合）． (1)如图①，当时，求点P的坐标； (2)沿OP折叠该纸片，点C的对应点为，设． ①图②，若点在第四象限，与OA交于点D，试用含有t的式子表示折叠后重叠部分的面积，并直接写出t的取值范围； ②折叠后重叠部分的面积为S，当时，直接写出t的取值范围． 19．（天津市天津市津南区天津市咸水沽第四中学2022-2023学年九年级下学期月考数学试题）已知，平面直角坐标系中有一个边长为6的正方形，M为线段上的动点，将沿直线对折，使O点落在处．    (1)如图①，当时，求点的坐标； (2)如图②，连接，当时． ①求点M的坐标； ②连接，求与重叠部分的面积； (3)当点M在线段（不包括端点）上运动时，请直接写出线段的取值范围． 20．（2022年天津市河西区九年级二模数学试题）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B在第一象限，，，点P在边上（点P不与点O，B重合）． (1)如图①，当时，求点P的坐标； (2)如图②，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴垂直，点的对应点为，设．与重叠部分的面积为S． ①若折叠后与重叠部分的面积为四边形时，与相交于点C，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 21．（2022年天津市部分区初中毕业班学业考试第二次模拟练习数学试题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，在四边形OABC中，顶点A（0，2），，，且点B在第一象限，△OAB是等边三角形． (1)如图①，求点B的坐标； (2)如图②，将四边形OABC沿直线EF折叠，使点A与点C重合，求点E，F的坐标； (3)如图③，若将四边形OABC沿直线EF折叠，使，设点A对折后所对应的点为，△AEF与四边形EOBF的重叠面积为S，设点E的坐标为（0，m）（0＜m＜1），请直接写出S与m的函数关系式． 22．（2022年天津市红桥区九年级中考二模数学试卷）将一个直角三角形纸片AOB，放置在平面直角坐标系中，点，点，点．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点．设，折叠后的与四边形OBNM重叠部分的面积为S． (1)如图①，当点与顶点B重合时，求点M的坐标； (2)如图②，当点落在第一象限时，与OB相交于点C，试用含m的式子表示S，并直接写出m的取值范围； (3)当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 23．（2022年天津市西青区初中毕业生学业考试调查（二）数学试题）将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，，点为边上的动点（点不与点，重合），连接． (1)如图①，当时，求点的坐标； (2)沿折叠该纸片，点的对应点为，设，折叠后的图形与矩形重叠部分的面积为． ①如图②，当点在第四象限时，与交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，直接写出的取值范围． 24．（2022年天津市和平区中考数学二模试题）将一个直角三角形纸片ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，点A(4， 0)，点C(0， 2)，点O(0，0)，点B在x轴负半轴，点E在线段AO上以每秒2个单位长度的速度从A向点O运动，过点E作直线EF⊥x轴，交线段AC于点F，设运动时间为t秒．将△AEF沿EF翻折，使点A落在x轴上点D处，得到△DEF． (1)如图①，连接DC，当∠CDF=90°时，求点D的坐标． (2)①如图②，若折叠后△DEF与△ABC重叠部分为四边形，DF与边BC相交于点M，求点M的坐标（用含t的代数式表示），并直接写出t的取值范围； ②△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写当出结果即可）． 试卷第12页，共12页 试卷第11页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)； (2) (3) 【分析】（）利用点的坐标可知的长度，再利用角的直角三角形求得即可解答； （）利用含角的直角三角形的性质解答就可得到结论，通过计算当点与点重合式的值即可解答； （3）利用分类讨论的方法分两种情况解答，分别计算出当时和当时折叠后重合部分的面积即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵，， ∴由折叠的性质可知：，， ∴， 过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，， ∴， ， ∴， ∴点， （2）解：∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 当点和点重合时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴折叠后重合部分的四边形，的取值范围为． （3）解：①当时，折叠部分为， ∴， ∴折叠后重合部分的面积为， 当时，折叠后重合部分的面积最大，最大为； ②当时，折叠后重合部分为四边形， 过点作于点，如图， 由（2）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴折叠后重合部分的面积为：， ∵， ∴当时，折叠后重合的部分面积有最大值为， ∵， ∴折叠后重合的部分的面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，平面直角坐标系，点的坐标特征，折叠的性质，含有角的直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键． 2．(1)， (2)①；②当时，的取值范围为． 【分析】（1）作于点，利用等腰直角三角形的性质求得，设，点落在上时，，，由，列式计算即可求解； （2）①作于点，推出、、和都是等腰直角三角形，四边形为矩形，求得，，，根据计算即可求解； ②分当、、时，分别求得的值，当时，利用二次函数的性质求得的最大值，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵将线段绕点逆时针旋转90°得到线段， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 作于点， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴点的坐标是， 设，则，， 点落在上时，，， ∴，即， ∴， ∴点的坐标是； 故答案为：，； （2）解：①作于点， 同（1）、、和都是等腰直角三角形，四边形为矩形， 由（1），，， ∴， ∴四边形的面积 ； ②当时， 当时，； 当时，； 当时， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 当时，如图，同理， ∴； 综上，当时，的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，学会用分类讨论的思想思考问题． 3．(1)； (2)， (3) 【分析】（）根据直角三角形的性质及折叠的性质可知，再根据折叠的性质及锐角三角函数即可解答； （）根据折叠的性质及直角三角形的性质可知，再根据全等三角形的性质及锐角三角函数可知即可； （）根据折叠的性质及锐角三角函数可知，然后分两种情况讨论：①当时，阴影面积为四边形的面积，利用二次函数的性质求解即可；②当时，令与的交点为，则阴影面积为的面积，利用锐角三角函数和等边三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴在中，， 由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴； 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， 过点作，， ∴， ∴在中，， ∴,， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）解：延长交于点，过点作，过点作， ∵，， ∴在中，， 由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：， ∵，， ∴， ∴， ∵,,， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴, ∴， ∵在直线的下方， ∴， ∴， ∴, ∵, ∴， ∴， ∴， （3）解：如图，延长交于点，过点作，过点作， ∵，， ∴在中，， 由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴； ∵, ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴, ∴， ∴在中，， ∴， 由折叠的性质可知：， 当时，，此时，即点在点上方， 当时，，此时，则，即点在直线上， 当点在上时，此时， ， ， ①当时，阴影面积为四边形的面积， ∵， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，， 当时，， 即当时，折叠后重合部分面积的取值范围为； ②当时，令与的交点为，则阴影面积为的面积， 过点作于点，此时， ，， ， 为等边三角形， ， 在中，， ， 即当时，折叠后重合部分面积的值恒为 当，求折叠后重合部分面积的取值范围为． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，解直角三角形，二次函数的性质等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 4．(1) (2)①，；②或或 【分析】（1）证明，得，则，即点D为的中点，然后利用中点坐标公式求解即可； （2）①利用相似三角形性质求得，，，设交于F，则，根据梯形面积公式，求解即可； ②分两种情况：i)当时，重叠部分是三角形，ii)当时，重叠部分是四边形，分别求解即可． 【详解】（1）解：由翻折可得：，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，即点D为的中点， ∵，， ∴，， ∴． （2）解 ：①由（1）知：， ∴ ∴ ∴ ∴ 由翻折可得： ∵ ∴ 设交于F，如图， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∴； ②分两种情况：i)当时，重叠部分是三角形，如图， ， 当时，，解得，（舍去）， 当时，，解得，（舍去）， ∴当时，； ii)当时，重叠部分是四边形， ， ∴当时， ，解得：，（舍去）， ∴当时， ，解得：，， ∴当时，或； 综上，当时，或或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，折叠的性质，二次函数的图象性质，此题属二次函数综合题目，难度较大，注意分类讨论思想的应用． 5．(1)， (2), (3)当时，折叠后重合部分的面积最大为 【分析】（1）先根据折叠的性质得，作，即可得出，然后求出和即可解答； （2）根据题意先表示，再根据，表示，然后根据表示，最后在含的直角三角形中表示，再求出取值范围即可； （3）求出不同t时的重合部分的面积表达式，利用函数表达式求出最大面积即可． 【详解】（1）解：在中，， ， 由折叠得， ，， 如图，过点作，垂足为H，则． ,， ， ， 当时，． （2）解：∵点， ∴． 又， ． 同（1）知，， ∵四边形是正方形， ， ． ， ． 在中，， ，， ， 当点与重合时，，解得：． ∴t的取值范围是． （3）解：设t时的重合部分的面积为S 当时重叠部分如图①所示，则，， ； 当时如下图所示： 在中，， ， ， ， 由折叠易得, ， 当时，S最大为； 当时，如下图所示： ． 当时，S取得最大值． 综上所述，当时，S取得最大值． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、含直角三角形的性质、正方形的性质、解直角三角形等知识点．理解重叠图形的变化规律是解题的关键． 6．(1)；点的坐标为； (2)①；；②． 【分析】（1）在中，利用正切定义求出即可，过作于H，在中，利用余弦定义求出即可，利用勾股定理求出，即可求解； （2）①解直角三角形，分别用t表示出，，，，然后求解即可； ②分；；三种情况讨论，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∵矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点， ∴，，， 在中，， 过作于H， ∵折叠， ∴，， ∴， 在中，， ∴，， ∴点的坐标为 （2）解：①过F作于K， 则四边形，都是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， ∴ ， ∵折叠后与边相交于点G，，分别与x轴相交于点H，I， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， 此时 当时，随t的增大而增大， ∴当时，S有最小值为， 当时，S有最大值为； 当时，， ∴抛物线开口向下，点到对称轴的距离越大，函数值越小， ∵， ∴当时，S有最大值为， ∵，， 当或时，S有最小值为， 当时，如图， 此时 ， 当时，随t的增大而减少， ∴当时，S有最大值为，当时，S有最小值为， 综上，当时，． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，解直角三角形，勾股定理，二次函数的性质等知识，理解重叠图形的变化规律是解题的关键． 7．(1) (2)① 【分析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形，二次函数的性质； （1）根据题意得出，解，，即可求解； （2）①根据题意得出，，，得出，是等边三角形，在等边三角形中，，，进而根据得出的关系式，根据当时，在边上，当与点重合时，，得出的范围，即可求解； ②根据题意分，两种情况，分别求得的最值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点，点在轴正半轴上， ， ∴， ∴，则； ∵， ∴， ∵， ∴，则； （2）解：①在中，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，是等边三角形， 在等边三角形中，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 当时，在边上， 此时，即，解得： 当与点重合时，， ∴当和重叠部分为四边形时，， ∴； ②当时，重叠部分为， 由①可得， ∴当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为； 当时，， 当时，取得最大值，最大值为， ∵， ∴时，取得最小值，最小值为， ∵，， ∴最大值为,最小值为． 8．(1)， (2)①，② 【分析】（1）作于C，由可得点A的坐标，利用直角三角形的性质分别求出的长可求出点B的坐标； （2）①证明是等边三角形得，由折叠的性质得是等边三角形，从而，求出，求出的长，然后根据即可求出S关于m的解析式；当点C在上时求出m的最小值，当直线l经过点B时求得m的最大值； ②当在内部时，求得m的最小值；当点Q在的延长线上时，求得m的最大值即可． 【详解】（1）如图，作于C， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ 故答案为：， （2）①∵，， ∴是等边三角形， ∴． 由直角三角形纸片沿直线1向上翻折，可得， ∴是等边三角形． ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∶ ． ∴ 在，，． ∴， ∴． 如图，当点C在上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 当直线l经过点B时m取得最大值4， ∴m 的取值范围为． ②当在内部时，， 当时，， 解得（负值舍去）． 当重叠部分是四边形时， 对于， 当取得最大值． 如图，当点Q在的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 当时，， 解得，（舍去）． ∴当时，m的取值范围是． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，坐标与图形的性质，解直角三角形，二次函数的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，难度较大，属中考压轴题． 9．(1)， (2)①，其中t的取值范围是；② 【分析】本题考查矩形的折叠问题，解直角三角形，二次函数的应用，正确画出图形，恰当分类是解题的关键． （1）根据折叠的性质和的直角三角形的性质直接求解即可； （2）①利用，表示，即可求出的长；分两种情况考虑极端值：当点落在边上时，点在上时，分别画图求解即可； ②分三种情况：，，，分别画图，构造二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， 在中，，， ∵， ∴，， ∴点的坐标为：； （2）①∵， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， 在中，，， ∴ 当点落在边上时，作于点，如图所示， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴，， ∴此时，， 当点在上时，如图所示， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴若折叠后与矩形的重叠部分是四边形时，的取值范围是：； ②当时，设交轴于点，如图所示， 此时就是折叠后与矩形的重叠部分， ∵，， ∴； 当时，设交轴于点， 交于点，如图所示， 此时，重合部分是五边形， ，， ∴，，， ∴， ∴ ∴当时，的最大值， 当时，设交于点，如图所示， 此时，重叠部分是， ，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，求的取值范围：． 10．(1) (2)①；② 【分析】（1）根据折叠的性质得到，，然后求出，进而得到，然后得到，求出，即可求出； （2）①首先由折叠性质得到，，然后得到，利用角直角三角形的性质得到，最后利用勾股定理求解即可； ②首先证明出是等边三角形，然后结合①得到，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）由折叠可得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①如图所示，    由折叠可得，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵当点C在x轴上时，， ∴， ∵折叠后的与重叠部分为四边形， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴与重叠部分的面积， ∵， ∴当时，S有最大值， ∵， ∴当时，S有最小值， 综上所述，S的取值范围是． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，结合动点问题，折叠问题勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 11．(1)， (2)①；②当时，的值为或 【分析】（1）由题意得，，，即可得出，，由得出，由相似三角形的性质得出，即可得解； （2）①设，则，证明，由相似三角形的性质得出，从而得出，由折叠的性质结合平行线的性质证明出，，得出，，推出，，最后根据即可得出关于的解析式，根据当点位于的中点时，由于，则此时点也位于的中点，折叠之后点恰好落在上，此时重叠的部分为，不为四边形，即可得出的取值范围；②由①可得：当时，此时重叠的部分为，则，再分别在对应的范围中，令，求出对应的的值即可． 【详解】（1）解：∵，点，点， ∴，， 当时，，故； ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即； （2）解：①∵，点，点， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，，，，， ∵， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ； 当点位于的中点时，由于，则此时点也位于的中点，折叠之后点恰好落在上，此时重叠的部分为，不为四边形， 故； ②由①可得：当时，此时重叠的部分为， 则， 故， 当时，令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时，令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）； 综上所述，当时，的值为或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，相似三角形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、二次函数综合—面积问题等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 12．(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）在中，由，得．根据折叠，知，过点作，垂足为．在中，根据三角函数的定义求得，进而根据，得出点的坐标； （2）过点E作，垂足为．，根据折叠，知，可得，进而即可求解． （3）当在直线的下方，由（2）可知，，解方程即可求解；当在直线的上方时，根据题意画出图形，进而即可求解． 【详解】（1）解：在中，由，得． 根据折叠，知， ∴，． ∴． 如图，过点作，垂足为． 在中， ， ． ∴． ∴点的坐标为． （2）如图，过点E作，垂足为． ∴四边形为矩形． ∵点， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 根据折叠，知，可得， ∴． ∴． 当在直线上时，， ∴ 即，其中的取值范围是． （3）解：当在直线的下方，由（2）可知 当，即 解得：或（舍去）， 当在直线的上方时，如图所示， ∵ 根据折叠，， 又，则是等边三角形， 则重叠部分为 由（2）可得，，则 此时（不合题意） 如图所示， 当时 ∴ ∴ 解得：或（舍去） 综上所述，的值为，． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，坐标与图形，解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求函数关系式，综合运用以上知识是解题的关键． 13．(1)， (2) (3) 【分析】（1）证出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，由折叠的性质得是等边三角形，，可得轴，延长交轴于点，根据直角三角形的性质求出的长即可得到答案； （2）证明四边形是菱形，则，，根据直角三角形的性质求出，由，即可求解； （3）分别求出当时，折叠后重合部分面积最大值为；当时，重叠部分是四边形，求出面积的最大值，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图①中，过点作于，   ，点， ， ， 是等边三角形， 点，， ， 由折叠的性质得是等边三角形， ， 轴，，， ， 延长交轴于点， ，， ， ， ， ； （2）解：由折叠可知，， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 点， ， ， ； （3）解：当点落在上时，重叠部分是，如图所示，    由（2）可知，是等边三角形， 由折叠的性质可知也是等边三角形， ， ， ， 点， ， ， ， ， ，， 当时，折叠后重合部分面积最大， ， 当时，重叠部分是四边形折叠后重合部分面积，   ， 由（2）知，， ， ，， ，， 折叠后重合部分面积： ， 当时，有最大值，为， ， 折叠后重合部分面积的最大值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，翻折变换，多边形的面积，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题． 14．(1) (2) (3)或或 【分析】（1）根据已知条件得出，当时，，在中，勾股定理即可求解； （2）根据折叠的性质得出，，，在中求得，进而在中，，勾股定理建立方程即可求解； （3）当时，当时，点在上，当时，则点在的延长线上，连接，根据勾股定理与折叠的性质，分别建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形的坐标分别为点，点，点，点， ∴， 当时，， 在中，； （2）解：依题意，，，， 在中，， ∴ 在中， ∴ 解得： ∴； （3）解：如图所示，当时， 根据折叠可得 ∴点在轴上，此时是等腰直角三角形， ∴， ∴，   当时，点在上， ∴ ∴, ∵， ∴ 在中， 解得： 当时，则点在的延长线上，连接， ∴，， 在中， ∴, 在中， ∴， 解得：    综上所述，或或 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，勾股定理与折叠问题，画出图形分类讨论是解题的关键． 15．(1)，点的坐标为 (2)， (3)， 【分析】（1）当点与原点重合时，过点作轴于点，根据题意可得，，由对称可知，，则，在中，利用含角的直角三角形性质即可求出，的长，即可得到点的坐标； （2）当点在上时，过点作于点，，根据对称的性质可得，，由平角的定义得到，由平行线的性质可得，于是求得，由此得到，由可得，，，，，由图可知，根据三角形面积公式代入计算即可； （3）在（2）的条件下时，解得，再根据图象检验符合题意，当点落在矩形外部时，且过点时，与交于点，过点作于点，同样可得重叠部分的面积为，以此可发现当时，与矩形重叠部分的图形均为边长为的等边三角形，且面积为定值． 【详解】（1）过点作，垂足为 ∵四边形是矩形 ∴，， 如图①，当点F与原点O重合时      根据轴对称可知，， ∴ 在中， 有 ∴点的坐标为 （2）当点在上时，过点作于点    ∴ ∵四边形为矩形 ∴， ∴ 根据对称的性质可得：， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴的取值范围为： 当时，点落在轴负半轴上    根据轴对称可知， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ 由①知， ∴， y   （3）在（2）的条件下时， 解得 当时，如图    此时 ∴，符合题意 点落在矩形外部时，且过点时 如图，与交于点，过点作于点    则 ∵， ∴ ∴△AME为等边三角形 ∴ ∴， ∴ 此时 以此可发现，当时与矩形重叠部分的图形均为边长为的等边三角形，且面积为定值． 故答案为：，（答案不唯一，满足即可）． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、对称的性质、含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确理解题意，根据描述正确作出不同条件下的图形，利用数形结合思想解决问题是解题关键． 16．(1) (2)①， ② 【分析】（1）过P点作PD⊥OA与点D，利用等腰直角三角形的性质及勾股定理可求出OB，利用，得到，即有PD=OD=，则问题得解； （2）①先证△BAO是等腰直角三角形，结合折叠的性质同理可证△OPQ、均是等腰直角三角形，即可求出AC、OQ、，则可用含t的代数式表达出、，则可求出，即问题得解；②根据①中的计算过程可知，结合，可知当时，重合部分的面积即为的面积，且该面积随着t的增大而增大，当时，重合部分为四边形ACPQ，根据①的结果可知：，根据二次函数的性质化为顶点式，当时，此时重合的面积最大值为，则S的取值范围可求． 【详解】（1）过P点作PD⊥OA与点D，如图， 根据O(0,0)、A(3,0)可知OA=3， ∵AB=OA，∠BAO=90°， ∴AB=3，即， ∴B点坐标(3,3)， ∵PD⊥OA， ∴， ∴， ∴PD=OD=， ∴P点坐标为(,)， （2）①∵AB=OA，∠BAO=90°， ∴∠AOB=45°=∠B， ∴△BAO是等腰直角三角形，且OA=AB， 结合折叠的性质同理可证△OPQ、均是等腰直角三角形， ∴PQ=OQ=OP，AC=， ∴PQ=OQ=t， ∴=OQ=t， ∴AC==OQ+-OA=-3， ∴， ∵，， ∵， 即， 当与A点重合时，有=OQ=AQ=OA=， ∴OP=t =OQ=， 当Q点与A点重合时，OP=t=OB=， 即t的取值分为：， 综上：，； ②根据①中的计算过程可知，结合， 可知当时，重合部分的面积即为的面积，且该面积随着t的增大而增大， ∴当时，PQ=OQ==OP=， ∴此时重合的面积， 当时，重合部分为四边形ACPQ，根据①的结果可知：， ∴， 当时，此时重合的面积最大值为， 当时，， ∴综上可知S的取值范围为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、翻折的性质、多边形的面积、二次函数的性质的知识，得到是解答本题的关键． 17．(1)2 (2) (3)， 【分析】（1）先利用直角三角形的中的特殊角求出AB，根据已有条件及折叠的性质，可知得出△OBC是等边三角形，即可得到BC，则AC即可得解； （2）根据轴，可知，轴，设DC交x轴于H点，由∠BOC+∠OCD=180°，得出∠BOC=120°，则有∠COA=∠BOC-∠AOB=30°，此时即可求出OB=OC=2，在Rt△OCH中，有CH=1，OH=，C点坐标即可求出； （3）设DC于OA交于H点，由∠OBA=60°=∠OCD，可知当C点刚好落在x轴上时满足要求此时H点与C点重合，则有∠BOD=∠COD=45°，可知D点的横纵坐标相等，过D点作DE⊥OB于E点，则有OE=ED，在Rt△BED中有，可求出DE=，则此时D点坐标可求；显然，随着纸片的继续折叠，当∠OHC=60°时，也满足要求，先证得△OCH是等边三角形，即可求出OC=CH=OH=2，AH=AB-OH=，又根据∠OHC=60°=∠OCH=∠DHG，∠OAB=30°，得∠HDA=90°，即HD⊥AD，根据特殊角可求出HG=DG，AG=DG，即有DG+DG=AH=，进而DG=，则此时D点坐标得解．综上D点坐标有两个． 【详解】（1）由题条件可知：OB=2，∠OAB=30°，∠OBA=60°，∠BOA=90°， 根据对折的性质有：OB=OC，∠OBA=60°=∠OCD，∠BOD=∠COD， 则解Rt△AOB，有OA=，AB=4， 则有A点坐标(,0)， 如图①， ∵D点在AB上，∠OBA=60°=∠OCD，OB=OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴BC=OB=2， ∴AC=AB-BC=4-2=2； （2）∵轴， ∴，轴，设DC交x轴于H点， ∴∠BOC+∠OCD=180°， ∵∠OBA=60°=∠OCD（由对折可知）， ∴∠BOC=120°，则有∠COA=∠BOC-∠AOB=30°， ∵OB=OC=2， ∴在Rt△OCH中，有CH=1，OH=， 则C点坐标(,-1)； （3）设DC于OA交于H点，如图： ∵∠OBA=60°=∠OCD， ∴当C点刚好落在x轴上时满足要求此时H点与C点重合， ∴∠BOD=∠COD=45°， ∴D点的横纵坐标相等， 过D点作DE⊥OB于E点， 则有OE=ED， 在Rt△BED中有，BE=DE， 且OB=2=OE+BE=DE+DE， 解得：DE=， 又∵D点的横纵坐标相等， 则此时D点坐标为：(,)； 随着纸片的继续折叠，当∠OHC=60°时，也满足要求， 如图作DG⊥OA于G点， ∵∠OHC=60°=∠OCH， ∴△OCH是等边三角形， ∴OC=CH=OH=2， ∴AH=AB-OH=， ∵∠OHC=60°=∠OCH=∠DHG，∠OAB=30°， ∴∠HDA=90°，即HD⊥AD， ∴∠HDG=30°， ∴HG=DG，AG=DG， ∴DG+DG=AH=， ∴DG=， ∴OG=OH+HG=， 此时D点坐标为， 综上D点坐标为：)和． 【点睛】本题是三角形与坐标系的综合问题，解题的关键是掌握折叠变换的性质、勾股定理、直角三角形的性质及相似三角形的判定与性质等知识． 18．(1)(，) (2)①（）；② 【分析】（1）过点P作PM⊥x轴于M，证四边形OMPC是矩形，得到OC=PM=2，根据tan∠COP=，求得PC的长即可求解； （2）①根据题意，当时，折叠得到正方形，此时点恰好在x轴上，当时，就落在第四象限，过点P作PN⊥x轴于点N，只要证得，利用全等三角形的性质即可得到，再利用勾股定理即可； ②分当时，点落在矩形OABC内部，当时，点落在矩形OABC外部，分别进行求解． 【详解】（1）如图所示，过点P作PM⊥x轴于M， ∵∠PCO=∠COM=∠OMP=90°， ∴四边形OMPC是矩形， ∴OC=PM=2，PC=OM， 在Rt△POC中，tan∠COP=，， ∴， ∴点P的坐标为(，)． （2）根据题意得，当时，折叠得到正方形，此时点恰好在x轴上， ①当时，就落在第四象限， 过点P作PN⊥x轴于点N，如图所示， ∵∠PCO=∠CON=∠ONP=90°， ∴四边形ONPC是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 设，则， 在中，由勾股定理得，， ∴，解得， ∴重叠部分的面积为， 此时； ②当时，点落在矩形OABC内部， 此时重叠部分的面积就是△POC的面积， ∴， ∴， 当时，， ∴，解得或（不合题意舍去） ∴的取值范围为： 【点睛】本题考查了坐标系中矩形的折叠问题，特殊角的三角函数值，不等式的解法，熟练掌握矩形的性质，灵活构造矩形，活用勾股定理是解题的关键． 19．(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）连接，交于Q，过作于N，根据翻折证明是等边三角形，即可求解； （2）根据翻折性质和即可求出；②连接，交于Q，交于P，过Q作，交于D，作于E，设，根据勾股定理可求出，用待定系数法求出，的解析式，即可求出Q点坐标，从而求出答案； （3）连接，由对折可知，，利用三角形三边关系可得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，交于Q，过作于N，    由对折可得： ， ∴ ∴，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴； （2）解：①∵， ∴ ， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴； 解：②如图，连接，交于Q，交于P，过Q作，交于D，作于E，    由①得：， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴设的函数解析式为， 则， ∴， ∴， 同理可得：的函数解析式为，的函数解析式为， ∴ ∴ 即， ∴ 即， 同理可得：， ∴， ∴与重叠部分面积为； （3）解：连接，由对折可知，，如图，    ∵， 当O，重合时，取得最小值， 此时， ∴， ∴的取值范围是：； 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质， 翻折的性质，等边三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理，待定系数法求函数解析式，三角形三边关系等知识，利用函数解析式求出点P、 Q、D的坐标是解决问题（2）的关键． 20．(1) (2)①；② 【分析】（1）过点P作轴，垂足为H，在Rt中，用勾股定理求出长度，得到点P坐标； （2）①由，求出，所求面积= 计算，再进行整理即可； ②分和，分别计算，求出其取值范围； 【详解】（1）解：如图，过点P作轴，垂足为H， ，， ， ， 在Rt中，， ，， ∴点P的坐标为； （2）①由折叠知， ， ，， 在Rt中，， 在Rt中，，， ，即， ②当时，重叠部分面积，即； 当时，满足①中关系式，当时，有最大值等于， 综上知：． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了翻折变换，多边形的面积，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题． 21．(1)点B的坐标 (2)点E坐标为，点F坐标为 (3)（0＜m＜1） 【分析】（1）根据A的坐标得到OA的长，由B与C的横坐标相同得到BC垂直于x轴，再由三角形ABO为等边三角形，得到OA=OB=AB=2，且求出∠OBC为30度，在直角三角形OBC中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出n的值，即可得点B的坐标； （2）设点E坐标为（0，y），在中，根据勾股定理列方程即可解出y的值，进而得出过F作FM垂直于CB，设MB=x，求出∠MBF为60度，在直角三角形MBF中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出FB，再利用勾股定理表示出FM，在直角三角形MCF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而求出点F坐标； （3）当点E的坐标为（0，m）（0＜m＜1），可判断出点A'落在四边形EOBF外，重合部分面积两等边三角形与面积之差，表示出S与m关系式即可． 【详解】（1）解∶∵，，， BC⊥x轴，OA=2， ∵△ABO为等边三角形， ∴OA=OB=AB=2， ∴在中， ∠BOC=30°，OB=2 ∴， ∴点B的坐标． （2）解∶设点E的坐标为（0，y）， 由折叠的性质可得， 在中，， 解得：，则点E坐标为， 作FM⊥CB于点M，如下图 设， ∵， 在中， ，， 在中， 根据勾股定理得：， 解得：， ， 则点F坐标为． （3）解：∵EF∥OB， ∴为等边三角形， ∴为等边三角形， ∵点E的坐标为（0，m）（0＜m＜1）， 此时点A'落在四边形EOBF外时，如下图所示， 由题意可得， ， ∵，又， 是等边三角形，， ， ， 得（0＜m＜1） 【点睛】本题主要考查了翻折变换中折叠的性质，坐标与图形性质，等边三角形的性质，以及勾股定理，牢固掌握以上知识点和会作辅助线是做出本题的关键，此题是一道综合性较强的试题． 22．(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意知，，则，在中，由勾股定理得，即，计算求出的值，进而可得点M的坐标； （2）如图2，作轴于，轴于，由，可得，由折叠的性质可知， ，，，，，则，，，，，，，，，由题意知，①当时，即与重合之前，，整理即可；②当时，，整理即可；进而可得用m表达的式子； （3）由，可知时，；时，，根据二次函数的图象与性质进行求解可得此时的取值范围；进而可得的取值范围． 【详解】（1）解：当点与顶点B重合时，由题意知，，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴， ∴点M的坐标为． （2）解：如图2，作轴于，轴于， ∵，， ∴，即， 由折叠的性质可知， ，，，，， ∴，，，，， ∴，，，， 由题意知，①当时，即与重合之前，； ②当时，； 综上所述，． （3）解：∵， ∴时，； ∵时， 时，最大，； 时，，时，； ∵， ∴， 综上所述，S的取值范围． 【点睛】本题考查了含30°的直角三角形，勾股定理，正切，二次函数解析式，二次函数的图象与性质等知识．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 23．(1)（2，2）； (2) 【分析】（1）解Rt△POC求得结果； （2）①先证明折叠部分的三角形是等腰三角形，设OD＝PD＝x，则DM＝t﹣x，在Rt△DOM中，用勾股定理列出方程，表示出OD，进而得出结论； ②当≤S≤2时，点M落在矩形OABC内部，此时重叠部分的面积就是△POM的面积，S＝，，当2＜S≤时，点M落在第四象限，此时重叠部分的面积S＝，随t的增大而增大，求出t的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵四边形OABC是矩形， ∴∠BCO＝90°， ∵， ∴ OC＝2， ∵ ， ∴PC＝OC•tan∠CPO＝2•tan60°＝2， ∴点的坐标是（2，2）； （2）解：①∵四边形OABC是矩形， ∴OABC， ∴∠CPO＝∠POD， 由折叠可得， ∠CPO＝∠DPO，PM＝CP＝t，OM＝OC＝2， ∴∠POD＝∠DPO， ∴△DOP是等腰三角形， ∴OD＝PD， 设OD＝PD＝x，则DM＝t﹣x， 在Rt△DOM中，由勾股定理得， OD2﹣DM2＝OM2， ∴x2﹣（t﹣x）2＝4， ∴x＝， ∴重合部分S△POD＝××2＝， 下面求 t得取值范围： 当点落在OA上时，如图， 由折叠的性质知OC＝OM，CP＝MP， ∵四边形OABC是矩形， ∴OABC， ∴∠CPO＝∠POM， 由折叠可得， ∠CPO＝∠MPO，PM＝CP＝t，OM＝OC＝2， ∴∠POM＝∠MPO， ∴△MOP是等腰三角形， ∴OM＝PM， 由折叠的性质知OC＝OM，CP＝PM， ∴OC＝OM＝CP＝PM， ∴四边形OCPM是菱形， ∵∠COM＝90°， ∴四边形OCPM是正方形， ∴t＝PM＝CP＝OC＝2， ∵点A的坐标是，点为边上的动点（点不与点，重合）， ∴当2＜t＜6时，点在第四象限， ∴ 重合部分S△POD＝（2＜t＜6）； ②当≤S≤2时，点M落在矩形OABC内部，此时重叠部分的面积就是△POM的面积， ∴S＝， ∴， 当2＜S≤时，点M落在第四象限， 此时重叠部分的面积S＝，随着t的增大而增大， 由＝，解得，， ∵2＜t＜6， ∴ 舍去， ∴t＝4， ∴ 2＜t≤4， 综上所述，当时，写出的取值范围是． 【点睛】本题考查了矩形性质、等腰三角形的判定、勾股定理、锐角三角函数、正方形的判定和性质等知识，解决问题的关键是弄清函数的变化趋势． 24．(1) (2)①M； ；② 【分析】（1）根据点A、C的坐标，得出OA、OC的长，从而求出tan∠CAO=，根据翻折得出△DEF≌△AEF，根据∠FDE+∠CDO=90°，∠OCD+∠CDO=90°，得出∠FDE=∠OCD，得出tan∠OCD=tan∠FAE=，在Rt△OCD中，tan∠OCD=，即可求出点D的坐标； （2）①过点M作MN⊥x轴，证明∠BMN=∠CAB，根据tan∠BMN=tan∠CAB，得出MN=2BN，根据tan∠MDN=tan∠CAB，得出DN=2MN=4BN，根据三角函数求出AB的值，得出△DEF≌ΔAEF，用t表示出AE和BD，得出4t﹣5=3BN，用t即可表示出BN和MN，得出点M的坐标； ②分两种情况，当和时，分别求出S的最大值和最小值，即可求出S的取值范围． 【详解】（1）解：∵点A(4，0)，点C(0，2)， ∴OA=4，OC=2， ∵∠AOC=90°， ∴tan∠CAO=， ∵△AEF沿EF翻折后，点A落在x轴上点D处， ∴△DEF≌△AEF， ∴∠FDE=∠FAE， ∵∠CDF=90°， ∴∠FDE+∠CDO=90°， ∵∠COD=90°， ∴∠OCD+∠CDO=90°， ∴∠FDE=∠OCD， ∴∠FDE=∠OCD=∠FAE， ∴tan∠OCD=tan∠FAE=， 在Rt△OCD中，， ∴OD=， ∴D(1，0)． （2）①过点M作MN⊥x轴，如图所示： ∵∠MNB=90°， ∴∠MBN+∠BMN=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠CBA+∠CAB=90°， ∴∠BMN=∠CAB， 在RtΔBMN中，tan∠BMN=tan∠CAB， ∴MN=2BN， 在RtΔDMN中，tan∠MDN=tan∠CAB， ∴DN=2MN=4BN， ∴BD=DN﹣BN=3BN， ∵∠ACB=∠AOC=90°， ∴∠BCO+∠ACO=∠ACO+∠CAB=90°， ∴∠BCO=∠CAB， 在RtΔBOC中，tan∠BCO， ∴OB=OC=1， ∴AB=5， ∴△DEF≌ΔAEF， ∴AE=DE=2t， ∴BD=AD﹣AB=4t﹣5， ∴4t﹣5=3BN， ∴BN，MN=2BN， ∴M， 要使重叠部分为四边形，则， 即， 解得， ∵点E在线段AO上， ， 即， 解得：， ∴的取值范围是； ②当时，重叠部分为三角形，此时重叠部分的面积为：， ∴当时，S随t的增大而增大，当时面积最小，最小值为， 当时面积最大，最大值为， 当时，重叠部分为四边形，此时重叠部分的面积： 当时，有最大值，且最大值为， ，， ∵， ∴当时，S有最小值，且最小值为， ，， 的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解直角三角形的应用，二次函数的应用，作出辅助线，熟练掌握正切函数的定义，是解题的关键． 答案第10页，共69页 答案第1页，共69页 学科网（北京）股份有限公司 $$