精品解析：吉林省长春市第七十二中学2022-2023学年上学期九年级（小班）第一次月考数学试卷

2022－2023学年度上学期九年级（小）第一次月考 数学试卷 一、选择题（共8小题，共24分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程3x2﹣2＝4x可化成一般形式为（　　） A. 3x2﹣4x+2＝0 B. 3x2﹣4x﹣2＝0 C. 3x2+4x+2＝0 D. 3x2+4x﹣2＝0 3. 抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交点坐标为（ ） A. (3，0) B. (0，﹣1) C. (2，﹣1) D. (0，3) 4. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 5. 把抛物线y＝－3x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（ ） A. y＝－3（x－2）2－3 B. y＝－3（x＋2）2－3 C. y＝－3（x－3）2＋2 D. y＝－3（x－3）2－2 6. 如图，在中，，分别是的边，上的中线，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在岛周围20海里水域有暗礁，一艘轮船由西向东航行到处时，发现岛在北偏东64°的方向且与轮船相距52海里．若该轮船不改变航向，为航行安全，需要计算到的距离．下列算法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平行四边形的对角线、相交于点O，交于点E．若，周长为10，则平行四边形的周长为（　　） A. 16 B. 32 C. 36 D. 40 二、填空题（共6小题，共18分） 9. 要使二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________． 10. 抛物线 y=（x﹣1）2+2 的顶点坐标是___． 11. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 12. 如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点处，则tanB的值为________． 13. 如图，在中，点E在边上，，与交于点F．若，则的长为 _____ 14. 如图，抛物线过，，轴于点，四边形为正方形，点在线段上，点在此抛物线上，且在直线的左侧，则正方形的边长为________． 三、解答题（共8小题，78分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球，1个白球，一个装有1个黄球，2个红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出一个球，利用树状图或列表的方法，求摸出的两个球颜色相同的概率． 18. 如图，在每个小正方形的边长均为的网格中，点、均在网格上． （1）线段的长为__________． （2）在图①中，在线段上画出点，使． （3）借助网格，用无刻度的直尺在上作出点，使．（要求保留作图痕迹，不要求证明） 19. 如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一座隧道（A、B在同一水平面上），为了测量A、B两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从B地出发，垂直上升120米到达C处，在C处观察A地的俯角为42°，求A、B两地之间的距离．（结果精确到1米）【参考数据：，，】 20. 如图，已知二次函数的顶点为（2，），且图象经过A（0，3），图象与x轴交于B、C两点． （1）求该函数的解析式； （2）连结AB、AC，求△ABC面积． 21. 某商场购进一批单价为元的日用品，按每件元销售时，每月能卖件；经调查发现，售价每提高元，月销量就减少件．设每件售价为元时，每月的利润为元． （1）若按每件元的价格销售时，每月能卖__________件． （2）求与的函数关系式． （3）销售价定为每件多少元时，才能使每月获得的利润最大？每月的最大利润是多少？ 22. 【感知】小明同学复习“相似三角形”的时候遇到了这样的一道题目： 如图，在中，，D为BC上一点， 过点D作，交AC于点E． 求证：∽． 小明同学分析后发现，是的外角，可得，再结合已知条件可以得到∽．请根据小明的分析，结合图①，写出完整的证明过程． 【探究】在中，，，D为BC上一点． （1）如图②，过点D作，交AC于点E．当时，AD的长为______． （2）如图③，过点D作，分别交AB、AC于点F、E．当时，BF的长的取值范围为______． 23. 如图，在中，，，．点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回；同时点从点出发沿以相同的速度向点匀速运动，当点到达点时两点同时停止运动．伴随着、的运动，保持垂直平分线段，且交于点，交折线于点．设点的运动的时间是秒． （1）求的长． （2）用含的代数式表示线段的长． （3）在点从点向点运动的过程中，当四边形为矩形时，求的面积． （4）当经过点时，请直接写出的值． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数）． （1）当时，求出抛物线的顶点坐标． （2）当抛物线的顶点到轴的距离为时，求的值． （3）当时，为对称轴上一点，过点作平行轴，交抛物线于点，当轴将分成时，求点坐标． （4）当时，已知、两点均在抛物线（为常数）上、点的横坐标为，点的横坐标为，将抛物线上、两点之间（含、两点）的图象记为，当图象的最高点与最低点的纵坐标之差为时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022－2023学年度上学期九年级（小）第一次月考 数学试卷 一、选择题（共8小题，共24分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、，与是同类二次根式，符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 2. 一元二次方程3x2﹣2＝4x可化成一般形式为（　　） A. 3x2﹣4x+2＝0 B. 3x2﹣4x﹣2＝0 C. 3x2+4x+2＝0 D. 3x2+4x﹣2＝0 【答案】B 【解析】 【分析】将方程整理为一般形式即可． 【详解】解：方程整理得：3x2﹣4x﹣2＝0． 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0）． 3. 抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交点坐标为（ ） A. (3，0) B. (0，﹣1) C. (2，﹣1) D. (0，3) 【答案】D 【解析】 【分析】把x=0代入抛物线解析式即可． 【详解】解:把x=0代入y＝x2﹣4x+3， y=3, ∴抛物线与y轴交点坐标为（0,3）， 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线与y轴交点坐标，知道y轴上的点的横坐标为0是解题关键． 4. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】直接开平方即可得到x﹣9=0，从而得出x的值． 【详解】开方得：x﹣9=，解得：x1=x2=9． 故选A． 【点睛】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，是基础知识，比较简单． 5. 把抛物线y＝－3x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（ ） A. y＝－3（x－2）2－3 B. y＝－3（x＋2）2－3 C. y＝－3（x－3）2＋2 D. y＝－3（x－3）2－2 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线y=-3x向左平移2个单位所得抛物线解析式为：y=-3（x+2）； 再向下平移3个单位为：y=-3（x+1）-3，即y=-3（x+2）-3． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 6. 如图，在中，，分别是的边，上的中线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，还涉及三角形中位线定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先得到是的中位线，继而，则，再根据面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵，分别是的边，上的中线， ∴为中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7. 如图，在岛周围20海里水域有暗礁，一艘轮船由西向东航行到处时，发现岛在北偏东64°的方向且与轮船相距52海里．若该轮船不改变航向，为航行安全，需要计算到的距离．下列算法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出∠CAO的度数，再通过解直角三角形求解． 【详解】解：由题意可得∠CAO=64°， ∴cos∠CAO=， 即cos64°=， ∴AC=52cos64°． 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解题关键是熟练掌握解直角三角形的方法． 8. 如图，平行四边形的对角线、相交于点O，交于点E．若，周长为10，则平行四边形的周长为（　　） A. 16 B. 32 C. 36 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，，证是的中位线，则，，求出，则，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∵的周长等于10， ∴， ∴， ∴， ∴的周长； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理，求出是解题的关键． 二、填空题（共6小题，共18分） 9. 要使二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及解不等式．根据二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意：， 则． 故答案为：． 10. 抛物线 y=（x﹣1）2+2 的顶点坐标是___． 【答案】（1，2） 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可． 【详解】解：因为是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，2）． 故答案为（1，2）． 【点睛】考查二次函数的顶点式：顶点坐标为对称轴为： 11. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 【答案】m＜9 【解析】 【分析】利用判别式的意义得到△=62-4×1×m＞0，然后解m的不等式即可． 【详解】解：根据题意得△=62-4×1×m＞0， 解得m＜9， 故答案为：m＜9. 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 12. 如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点处，则tanB的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】如图，根据在直角三角形中，锐角的正切为对边比邻边，可得答案． 【详解】解：如图： 由正切函数的定义，得tanB＝， 故答案为1． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 13. 如图，在中，点E在边上，，与交于点F．若，则的长为 _____ 【答案】8 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，可证，可得，即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定是本题的关键． 14. 如图，抛物线过，，轴于点，四边形为正方形，点在线段上，点在此抛物线上，且在直线的左侧，则正方形的边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出二次函数解析式为y=﹣x2+ x+2，再设正方形CDEF的边长为a，利用BC⊥x轴和B点坐标可表示出D（1，a），根据正方形的性质可表示出E（1﹣a，a），接着把E（1﹣a，a）代入y=﹣x2+ x+2得到关于a的一元二次方程，然后解一元二次方程即可确定正方形CDEF的边长． 【详解】把A（0，2），B（1，3）代入y=﹣x2+bx+c得， 解得， 所以二次函数解析式为y=﹣x2+ x+2， 设正方形CDEF的边长为a，则D（1，a），E（1﹣a，a）， 把E（1﹣a，a）代入y=﹣x2+x+2得﹣（1﹣a）2+（1﹣a）+2=a， 整理得a2+3a﹣6=0，解得a1=，a2=（舍去）， 所以正方形CDEF的边长为． 故答案是：． 【点睛】考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和正方形的性质；理解坐标与图形性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；会解一元二次方程． 三、解答题（共8小题，78分） 15. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】将特殊角的三角函数值代入，然后进行有理数乘法的运算，再算加法即可． 【详解】解：， ， ， =5． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是准确掌握几个特殊角的三角函数值． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】由于方程无法通过因式分解法求解，因此选用公式法．先确定一元二次方程一般形式中、、的取值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式即可得到方程的解． 【详解】解：对于方程，，，， ∴判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 即方程的解为，． 17. 现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球，1个白球，一个装有1个黄球，2个红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出一个球，利用树状图或列表的方法，求摸出的两个球颜色相同的概率． 【答案】 【解析】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式就可算出． 【详解】列表如下 如图知，共有9种情况， 其中摸出的两个球颜色相同的由4种情况 所以摸出两个球颜色相同的概率为． 【点睛】本题考查了列表法和树状图的知识，熟练运用列表和树状图列举出所有等可能是解题关键． 18. 如图，在每个小正方形的边长均为的网格中，点、均在网格上． （1）线段的长为__________． （2）在图①中，在线段上画出点，使． （3）借助网格，用无刻度的直尺在上作出点，使．（要求保留作图痕迹，不要求证明） 【答案】（1）； （2）作图见解析； （3）作图见解析． 【解析】 【分析】（）根据勾股定理即可求解； （）利用平行线分线段定理找点即可； （）取格点，连接，与相交于点，点即为所求； 本题考查了勾股定理，平行线等分线段定理，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：由勾股定理得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 即， 故图①中，点即为所求； 【小问3详解】 解：取格点，连接，与相交于点， ∵， ∴， ∴， 即， ∴，故点即为所求． 19. 如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一座隧道（A、B在同一水平面上），为了测量A、B两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从B地出发，垂直上升120米到达C处，在C处观察A地的俯角为42°，求A、B两地之间的距离．（结果精确到1米）【参考数据：，，】 【答案】AB约为133米 【解析】 【分析】在Rt△ABC中，利用即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ， （米）， 答：AB约为133米． 【点睛】本题考查解直角三角形，选择合适的锐角三角函数是解题的关键． 20. 如图，已知二次函数的顶点为（2，），且图象经过A（0，3），图象与x轴交于B、C两点． （1）求该函数的解析式； （2）连结AB、AC，求△ABC面积． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设该二次函数的解析式为，因为顶点（2，-1），可以求出h,k,将A（0，3）代入可以求出a，即可得出二次函数解析式. （2）由（1）求出函数解析式，令y等于0可以求出函数图像与x轴的两个交点为B,C两点，然后利用面积公式,即可求出三角形ABC的面积. 【详解】（1）设该二次函数的解析式为 ∵顶点为（2，） ∴ 又∵图象经过A（0，3） ∴ 即 ∴该抛物线的解析式为 （2）当时，，解得， ∴C（3，0） B（1，0） 得 ∴. 【点睛】熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积公式是本题的解题关键. 21. 某商场购进一批单价为元的日用品，按每件元销售时，每月能卖件；经调查发现，售价每提高元，月销量就减少件．设每件售价为元时，每月的利润为元． （1）若按每件元的价格销售时，每月能卖__________件． （2）求与的函数关系式． （3）销售价定为每件多少元时，才能使每月获得的利润最大？每月的最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）； （3）当时，每月获得的利润最大，每月的最大利润是元． 【解析】 【分析】（）根据题意即可求解； （）根据总利润每件利润销量列出函数关系式即可； （）根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，若按每件元的价格销售时，每月能卖件， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得，， 即； 【小问3详解】 解：∵， 又∵，， ∴当时，每月获得的利润最大，每月的最大利润是元． 22. 【感知】小明同学复习“相似三角形”的时候遇到了这样的一道题目： 如图，在中，，D为BC上一点， 过点D作，交AC于点E． 求证：∽． 小明同学分析后发现，是的外角，可得，再结合已知条件可以得到∽．请根据小明的分析，结合图①，写出完整的证明过程． 【探究】在中，，，D为BC上一点． （1）如图②，过点D作，交AC于点E．当时，AD的长为______． （2）如图③，过点D作，分别交AB、AC于点F、E．当时，BF的长的取值范围为______． 【答案】 [感知]证明：， 是的外角， [探究]（1）； （2） 【解析】 【分析】[感知]根据题意，证明，结合已知条件，即可得证； [探究]（1）由可得，进而由已知条件，可得，根据等角对等边可得设，则，，根据，可得，列出比例式求得，由，列出比例式求得，进而可得方程，解方程求解即可； （2）根据题意，当与点重合时，证明，列出比例式求得，即求得的最小值，当当与点重合时，即可求得的最大值，进而求得的取值范围． 【详解】[感知]略 [探究]（1） 设，则， 即 即 解得 故答案为： （2）当与点重合时，如图， 解得 当与点重合时，， 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 23. 如图，在中，，，．点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回；同时点从点出发沿以相同的速度向点匀速运动，当点到达点时两点同时停止运动．伴随着、的运动，保持垂直平分线段，且交于点，交折线于点．设点的运动的时间是秒． （1）求的长． （2）用含的代数式表示线段的长． （3）在点从点向点运动的过程中，当四边形为矩形时，求的面积． （4）当经过点时，请直接写出的值． 【答案】（1）8；（2）当时，；当时，；（3）；（4）或 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理解直角三角形； （2）分和两种情况结合运动速度分析求解； （3）由矩形的性质可得，从而利用平行线分线段成比例定理分别求得，，从而求解； （4）根据题意可知即CP=CQ时，直线DE经过点C，分别从当P从C到A与点P从A到C去分析，列方程即可求得t的值． 【详解】解：（1）在中，，，， ； （2）当时，， 当时，； （3）若四边形为矩形时，则， 又∵， ∴， ∴，， 当时，， 解得， 的面积为； 当时，， 解得（不合题意，舍去）， 综上，当四边形为矩形时，的面积为； （4）①当时， ∵垂直平分线段， ∴EP=EQ=t， 由于P与Q运动的时间和速度相同， ∴AQ=EQ=EP=t， ∴∠AEQ=∠EAQ， ∵∠AEQ+∠BEQ=90°，∠EAQ+∠EBQ=90°， ∴∠BEQ=∠EBQ， ∴BQ=EQ， ∴EQ=AQ=BQ=AB ∴t=5， ②当时，过点Q作QF⊥CB于F， ∵垂直平分线段， ∴EQ=EP=6-（t-6）=12-t， ∵AQ=t，BQ=10-t ∵QF⊥CB， ∴， ∴，， 解得， ，， 解得， ∴， ∴在Rt△EQF中，, 解得：， 综上，或 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质以及勾股定理解直角三角形．此题综合性较强，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数）． （1）当时，求出抛物线的顶点坐标． （2）当抛物线的顶点到轴的距离为时，求的值． （3）当时，为对称轴上一点，过点作平行轴，交抛物线于点，当轴将分成时，求点坐标． （4）当时，已知、两点均在抛物线（为常数）上、点的横坐标为，点的横坐标为，将抛物线上、两点之间（含、两点）的图象记为，当图象的最高点与最低点的纵坐标之差为时，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）或； （3）或； （4）或． 【解析】 【分析】（）把代入函数解析式，进而转化为顶点式即可求解； （）利用顶点坐标公式列出方程即可求解； （）求出抛物线的对称轴为直线，设，则，可得，设与轴的交点为，则，，分和两种情况解答即可求解； （）由题意可得，，再分三种情况：点在对称轴的左侧；点对称轴的两侧；点在对称轴的右侧；画出图形进行解答即可求解； 本题考查了求二次函数的顶点坐标，二次函数的顶点公式及性质，二次函数的几何应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：当时，， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由题意可得，， 整理得，， 解得或， ∴的值为或； 【小问3详解】 解：当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵轴， ∴， ∴， 设与轴的交点为，则，， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上，点的坐标为或； 【小问4详解】 解：当时，， ∴抛物线的顶点为， ∵点的横坐标为，点的横坐标为， ∴，， 当点在对称轴的左侧时，如图，图象的最高点为点，最低点为点， 则， ∴， ∵， ∴不合，舍去； 当点对称轴的两侧时，如图， ①图象的最高点为抛物线的顶点，最低点为点， 则， 整理得， 解得（不合，舍去）或， ∴； ②图象的最高点为抛物线的顶点，最低点为点， 则， 整理得，， 解得或 当时， ∵， ∴不合，舍去， 当时， ∵， ∴也不合，舍去， ∴此种情况不合题意； 当点在对称轴的右侧时，如图，图象的最高点为点，最低点为点， 则， 解得； 综上，的值为或． 第1页/共1页 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