精品解析：浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设（ ） A. B. C D. 5. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 小浙同学将一组数据准确地代入方差公式：．下列对这组数据的描述正确的是（ ） A. 样本容量是4 B. 众数是4 C. 平均数是4 D. 中位数是4 7. 若反比例函数的图象经过点，则下列结论中不正确的是（ ） A 图象一定不经过 B. 图象一定经过 C. 图象一定经过 D. 图象一定经过 8. 如图，的平分线交的中位线于点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 二次函数（为常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，点在的延长线上，点在的延长线上，平分，若要知道的面积，则需要知道（ ） A. 的长 B. 矩形的面积 C. 的面积 D. 的度数 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 请写出一个的值：______，使二次根式在实数范围内有意义． 12. 六边形的内角和等于______度． 13. 学校男子篮球队的10位队员的身高如表： 身高（单位：cm） 176 177 179 180 人数 1 4 3 2 这10位队员身高的中位数是______． 14. 在二次函数中，当时，则的取值范围是______． 15. 如图，在菱形中，E为边上的一点，将菱形沿折叠后，点A恰好落在边上的F处．若垂直对角线，则______度． 16. 如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数的图象交于点．若，则的取值范围是______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 学校将以班级为单位选拔参加市知识竞赛，在预赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如图的统计图． 请你根据以上提供的信息解答下列问题： （1）此次竞赛中，一班成绩在C级以上（包括C级）的人数为______； （2）将表格补充完整． 班级成绩 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 一班 ______ 90 ______ 二班 87 ______ 80 （3）请根据你在（2）中所求的统计量，你认为选哪个班级参加市知识竞赛？请简述理由． 20. 定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． （1）若与是关于6的美好二次根式，求的值： （2）若与是关于美好二次根式，求和的值． 21. 把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h=20t-5t2 ， （1）经过多少秒足球重新回到地面？ （2）经过多少秒足球的高度为15米？ 22. 在边长为1的菱形中，以点为圆心，长为半径画弧，交对角线于点． （1）若时，求的度数： （2）设， ①当时，求的长； ②用含的代数式表示． 23. 已知反比例函数． （1）若点，都在该反比例函数图象上， ①求的值； ②当时，求的取值范围； （2）若点，都在该反比例函数图象上，且，，，小浙同学说“此时不能判断与的大小关系”，小江同学说“结合所给条件，可以得到”，你认为谁的说法正确，请说明理由． 24. 四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接． （1）如图，求证：矩形是正方形； （2）若，，求长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，关键掌握如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义是只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程．根据定义即可求解． 【详解】解：A、，当时，不是一元二次方程，故不符合题意； B、，分母中含有未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； C、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； D、，是一元二次方程，故符合题意； 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的减法和二次根式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的减法和二次根式的除法运算法则逐一判断即可． 【详解】A. ，原计算错误，不符合题意； B. ，原计算错误，不符合题意； C. 和不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意； D. ，原计算正确，符合题意； 故选D． 4. 若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反证法、三角形三边关系．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”， 应假设， 故选：B． 5. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式．分别求出每个方程判别式的值，根据判别式的值与方程的解的个数间的关系得出答案． 【详解】解：A、， 方程没有实数根，不符合题意； B、， 方程有两个相等的实数根，不符合题意； C、， 方程有两个不相等的实数根，符合题意； D、， 方程没有实数根，不符合题意； 故选：C． 6. 小浙同学将一组数据准确地代入方差公式：．下列对这组数据描述正确的是（ ） A. 样本容量是4 B. 众数是4 C. 平均数是4 D. 中位数是4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了方差，平均数，中位数，众数和样本容量，根据方差计算公式可得这组数据为4、5、5、6，据此计算出平均数，众数，中位数和样本容量即可得到答案． 【详解】解：由方差计算公式可知，这组数据为4、5、5、6， ∴这组数据一共有4个，即样本容量为4，故A说法正确，符合题意； ∵5出现了2次，出现的次数最多， ∴众数为5，故B说法错误，不符合题意； 平均数为，故C说法错误，不符合题意； ∵处在最中间的两个数分别为5和5， ∴中位数是，故D说法错误，不符合题意； 故选：A． 7. 若反比例函数的图象经过点，则下列结论中不正确的是（ ） A. 图象一定不经过 B. 图象一定经过 C. 图象一定经过 D. 图象一定经过 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数图象上点的坐标特征对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、反比例函数的图象与坐标轴没有交点， 图象一定不经过，故本选项正确，不合题意； B、反比例函数的图象经过点， ， ， 当时，则， 图象一定经过，故本选项正确，不符合题意； C、把代入，得，故本选项不正确，符合题意； D、把代入，得，图象一定经过，故本选项正确，不符合题意． 故选：C． 8. 如图，的平分线交的中位线于点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中位线性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是根据三角形的中位线得出，，求出，根据平行线的性质和角平分线的定义得出，根据等腰三角形的判定得出，再求出即可． 【详解】解：是的中位线，，， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 故选：B． 9. 二次函数（为常数，且）的图象可能是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：开口向上；开口向下；抛物线的对称轴为直线；也考查了点在抛物线与轴的交点． 根据抛物线开口向上，得出，再根据对称轴可排除C、D选项，然后根据得出交轴的正半轴，排除B选项，即可得出答案． 【详解】A.抛物线开口向上，则，对称轴，交轴的正半轴，故此选项符合题意； B.抛物线开口向上，则，对称轴，，所以应该不交于轴的负半轴，故此选项不符合题意； C.抛物线开口向上，则，对称轴，而图中的对称轴，故此选项不符合题意； D.抛物线开口向上，则，对称轴，而图中的对称轴，故此选项不符合题意； 故选A． 10. 如图，在矩形中，点在的延长线上，点在的延长线上，平分，若要知道的面积，则需要知道（ ） A. 的长 B. 矩形的面积 C. 的面积 D. 的度数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质．过点作的平行线，分别交和的延长线于点和，设，，先证明，由，再证明四边形是平行四边形，求得，根据，据此计算即可求解． 【详解】解：过点作的平行线，分别交和的延长线于点和，连接， 设，， ∵平分， ∴， ∴，又， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 请写出一个的值：______，使二次根式在实数范围内有意义． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，即可求得的范围，即可写出的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：2024（答案不唯一）． 12. 六边形的内角和等于______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和的求解，根据多边形内角和公式进行求解即可． 【详解】解：六边形的内角和为， 故答案为：720． 13. 学校男子篮球队的10位队员的身高如表： 身高（单位：cm） 176 177 179 180 人数 1 4 3 2 这10位队员身高的中位数是______． 【答案】178 【解析】 【分析】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：，第五，六位队员身高分别是177，179， 位队员身高的中位数是， 故答案为：178． 14. 在二次函数中，当时，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当时y的取值范围． 详解】解：∵二次函数， ∴该函数图象开口向下，当有最大值4， ∴当时，，当时，， ∵， ∴y的取值范围为， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，E为边上的一点，将菱形沿折叠后，点A恰好落在边上的F处．若垂直对角线，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，利用菱形的性质得到，设，求得，利用平角的性质计算即可求解． 【详解】解：连接， 四边形是菱形， ，， 设， 垂直对角线， ， ， 由折叠的性质知， ， ， ， ， 解得 ， ， 故答案为：72． 16. 如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数的图象交于点．若，则的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．观察函数图象，当或时． 【详解】解：由图可知：当或时． 故答案为：或． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算： （1）根据二次根式乘法计算法则求解即可； （2）根据二次根式乘法计算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解法，关键是掌握四种解方程的方法，根据方程特点正确选准方法即可． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 分解因式得：， 解得：； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 分解因式得：， 解得：，． 19. 学校将以班级为单位选拔参加市知识竞赛，在预赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如图的统计图． 请你根据以上提供的信息解答下列问题： （1）此次竞赛中，一班成绩在C级以上（包括C级）的人数为______； （2）将表格补充完整． 班级成绩 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 一班 ______ 90 ______ 二班 87 ______ 80 （3）请根据你在（2）中所求的统计量，你认为选哪个班级参加市知识竞赛？请简述理由． 【答案】（1）18 （2）87；90；85 （3）一班，（答案不唯一）理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据条形图即可得出答案； （2）分别根据平均数、众数和中位数的定义求解即可； （3）只要答案符合题意即可．（答案不唯一） 【小问1详解】 解：一班成绩在C级以上（包括C级）的人数为（人）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可得：一班成绩的平均分为：（分）； 一班成绩中90分出现的次数最多，所以一班成绩的众数为：90（分）； 二班成绩中为A级的人数有（人），B级的人数有：（人）； C级的人数有：（人）；D级的人数有：（人）， 把二班的成绩按照从小到大的顺序排列，处于中间的两个成绩为：90分、80分， ∴二班成绩的中位数为：（分）， 补充表格如下： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 一班 87 90 90 二班 87 85 80 【小问3详解】解：选一班级参加市知识竞赛， 理由：从平均数的角度看两班成绩一样；从中位数和众数的角度看一班比二班的成绩好，所以一班成绩好（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时考查了平均数、中位数、众数的定义及其应用． 20. 定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． （1）若与是关于6的美好二次根式，求的值： （2）若与是关于的美好二次根式，求和的值． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 【小问1详解】 解：由题意可得，， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可得，， 整理得，， ， ∴ ∴， ∴． 21. 把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h=20t-5t2 ， （1）经过多少秒足球重新回到地面？ （2）经过多少秒足球的高度为15米？ 【答案】（1）经过4秒足球重新回到地面；（2）经过1秒或者3秒足球的高度为15米 【解析】 【分析】（1）求出h=0时t的值即可得； （2）根据高度为15米列方程可得． 【详解】（1）解：当h=0时，足球重新回到地面 即20t-5t2=0， 解得 ∴经过4秒足球重新回到地面 （2）解：当20t-5t2=15时， 解得 ∴经过1秒或者3秒足球的高度为15米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质及将实际问题转化为二次函数问题的能力． 22. 在边长为1的菱形中，以点为圆心，长为半径画弧，交对角线于点． （1）若时，求的度数： （2）设， ①当时，求的长； ②用含的代数式表示． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据圆的性质，则，根据菱形的性质，又，，设，根据三角形的内角和即可求出x，进而作答即可； （2）①过点B作于点M，连接交于点O，根据菱形性质，根据，在直角三角形中，根据勾股定理求出，根据等面积求出的长，再根据勾股定理求出的长，根据，即可作答； ②过点B作于点M，连接交于点O，根据菱形性质，在直角三角形中，根据勾股定理求出，根据等面积求出的长，再根据勾股定理求出和的长，根据，即可作答； 【小问1详解】 解：∵以点B为圆心，长为半径画弧，交对角线于点E， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， 又， ∴， 设， 则， ∴，， 即， 解得， ∴的度数为； 【小问2详解】 ①过点B作于点M，连接交于点O， ∵和是菱形对角线， ∴，且， ∵，，， ， 又∵， ， 在直角三角形中，， ， ， 即， ， 在中，， ， ， 的长为； ②过点B作于点M，连接交于点O， ∵和是菱形对角线， ∴，且， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在直角三角形中，， ∴， ， 即， ， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，三角形内角和与等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 已知反比例函数． （1）若点，都在该反比例函数图象上， ①求的值； ②当时，求的取值范围； （2）若点，都在该反比例函数图象上，且，，，小浙同学说“此时不能判断与的大小关系”，小江同学说“结合所给条件，可以得到”，你认为谁的说法正确，请说明理由． 【答案】（1）；； （2）小江同学说法正确，理由见解析． 【解析】 【分析】（）根据点，都在该反比例函数图象上可以求出值，从而得出的值； 时，，故可以根据反比例函数的性质得到当时，的取值范围是； （）利用反比例函数的性质得出当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，即可求得； 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 ∵点 ，都在该反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数图象过点， ∴， ②∵ ∴反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵时，， ∴当时，的取值范围是； 【小问2详解】 小江同学说法正确，理由： ∵， ∴反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，的取值范围是， ∵，， ∴， ∴当时，的取值范围是， ∴． 24. 四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接． （1）如图，求证：矩形是正方形； （2）若，，求的长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）或 ． 【解析】 【分析】（）作于，于，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可； （）由正方形的性质可得，，，，，由“”可证 ，可得； （）分两种情况讨论即可； 本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形判定和性质，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【小问1详解】 证明：如图，作于，于， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； 【小问2详解】 ∵四边形是正方形，， ∴，， ， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 当与的夹角为时，如图， ∴，， ∴， ∵， ∴， 当与的夹角为时，如图， 过作于点，过作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又， 在和中， ， ∴， ∴， 综上所述：或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$