2024年广东省广州市各区中考数学二模试题汇编：几何题

2024年广东省广州市各区中考数学二模试题汇编：几何题（原卷版） 一、直角三角形、全等三角形 1. （2024年广东省广州市天河区）古人诗云：“草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟．儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”纸鸢，又称风筝，其制作技艺是我国民间的传统工艺，某班数学兴趣小组根据风筝的形状画出图形（如图所示），已知，，求证：． 2. （2024年广东省广州市花都区）如图，和相交于点O，，，求证：． 3. （2024年广东省广州市番禺区校考）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D． 4. （2024年广东省广州市白云区）如图，点D在上． 点E在上，．求证：． 5. （2024年广东省广州市增城区）如图，B、C、E三点在同一直线上，，，．求证：． 6. （2024年广东省广州市海珠区校考）如图，AD=AB，∠D=∠B，∠EAC=∠DAB，求证：AE=AC． 7. （2024年广东省广州市越秀区校考）如图，点、在上，且．求证：． 8. （2024年广东省广州市黄埔区）如图，已知中，，，，，为边上的中线． （1）求的长； （2）求的面积． 二、平行四边形 1. （2024年广东省广州市南沙区）如图，在中，，，．求证：平分． 2. （2024年广东省广州市黄埔区）如图，，点、、、在同一条直线上，，求证：四边形为菱形． 三、圆 1. （2024年广东省广州市荔湾区校考）如图，，是⊙O的切线，点A，B为切点，是⊙O的直径，，求的度数. 四、尺规作图综合 1. （2024年广东省广州市荔湾区校考）如图，在中． （1）利用尺规作图， 在边上求作一点P，使得点到的距离（的长）等于的长；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）画出（1）中的线段．若，求的长． 2. （2024年广东省广州市黄埔区）如图，为圆的直径，点为圆上一点，点为圆外一点． （1）尺规作图：作出圆心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作图中，连接，若为的切线．，求证：为的切线． 3. （2024年广东省广州市海珠区校考）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分交BC于点E． （1）作的平分线交AD于点F；（尺规作图：不写作法，保留作图痕迹） （2）根据（1）中作图，若，求证：四边形AECF为矩形． 4. （2024年广东省广州市增城区）如图，是等边三角形，． （1）尺规作图：将绕点A逆时针旋转得到，点B旋转后的对应点为点C（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形是菱形； （3）连接，交于点O，过点O的直线交线段于点E，当是等腰三角形时，求的长． 5. （2024年广东省广州市天河区）如图，中，是边的中点，，垂足是． （1）作的高（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）连接，若，求的值． 6. （2024年广东省广州市南沙区）如图，在中，． （1）尺规作图：在上找一点，使点到和的距离相等． （2）为上一点，经过点的分别交，于点，．求证：是的切线； （3）若，，求长． 7. （2024年广东省广州市花都区）如图，内接于，为直径． （1）尺规作图：作交于点D、交于点E．（保留作图痕迹，不写作法）． （2）连接，若，试判断四边形的形状，并说明理由． 8. （2024年广东省广州市白云区）如图，在中，，点O在边上，经过点B并且与相切于点D，连接． （1）尺规作图：过点D作，垂足为点E； (保留作图痕迹，不写作法) （2）在 (1)所作的图形中， ①求证：平分； ②若四边形的周长与面积均为18，求的长． 9. （2024年广东省广州市番禺区校考）如图，在中，，，． （1）尺规作图：将沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕，折痕与的交点为；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若折痕与的延长线交于点， ①求的长度； ②求点到直线的距离． 10. （2024年广东省广州市越秀区校考）如图，为的直径，点C在上． （1）尺规作图：求作的中点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）过点D作交延长线于点E（画出图形即可，不必尺规作图），求证：与相切； （3）连接，若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年广东省广州市各区中考数学二模试题汇编：几何题（解析版） 一、直角三角形、全等三角形 1. （2024年广东省广州市天河区）古人诗云：“草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟．儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”纸鸢，又称风筝，其制作技艺是我国民间的传统工艺，某班数学兴趣小组根据风筝的形状画出图形（如图所示），已知，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．根据，，，利用即可证明，从而得到． 【详解】解： ， ， ． 2. （2024年广东省广州市花都区）如图，和相交于点O，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 由平行线的性质先得到，继而利用证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论. 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 3. （2024年广东省广州市番禺区校考）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由BE＝CF可得BF＝CE，再结合AB＝DC，∠B＝∠C可证得△ABF≌△DCE，问题得证． 【详解】解∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE． 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE， ∴∠A＝∠D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质． 4. （2024年广东省广州市白云区）如图，点D在上． 点E在上，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定和性质，证明，即可得出结论． 【详解】证明：在和中： ， ∴， ∴． 5. （2024年广东省广州市增城区）如图，B、C、E三点在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，也考查了三角形内角和定理．根据平行的性质可得,再根据三角形内角和定理可以得到，即可证明，故得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 6. （2024年广东省广州市海珠区校考）如图，AD=AB，∠D=∠B，∠EAC=∠DAB，求证：AE=AC． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由∠EAC=∠DAB可得到∠EAD=∠CAB，结合条件可证明△EAD≌△CAB，利用全等三角形的性质可得AE=AC． 【详解】证明：∵∠EAC=∠DAB， ∴∠EAC+∠CAD=∠CAD+∠DAB， 即∠EAD=∠CAB， 在△EAD和△CAB中，， ∴△EAD≌△CAB（ASA）， ∴AE=AC． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 7. （2024年广东省广州市越秀区校考）如图，点、在上，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据平行线的性质得出，进而即可证明． 【详解】证明：∵ ∴ 在中， ∴． 8. （2024年广东省广州市黄埔区）如图，已知中，，，，，为边上的中线． （1）求的长； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，熟知余弦的定义及三角形中线的性质是解题的关键． （1）先根据的余弦求出的长，再利用勾股定理即可解决问题． （2）根据为边上中线可知，的面积是面积的一半，据此可解决问题． 【小问1详解】 ， ． 在中， ， ， ． 【小问2详解】 为边上的中线， ． 又， ． 二、平行四边形 1. （2024年广东省广州市南沙区）如图，在中，，，．求证：平分． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，菱形的判定与性质，由，，，根据勾股定理逆定理得，再根据菱形的判定与性质即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴平分． 2. （2024年广东省广州市黄埔区）如图，，点、、、在同一条直线上，，求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定，菱形的判定定理，掌握“有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”，综合运用相关知识是解决问题的关键． 由全等三角形的性质得到，，进而证得，得到四边形为平行四边形，证明，根据菱形的判定定理即可证得结论． 【详解】证明：， ，， ， ∴四边形为平行四边形， ， ， ， ∴四边形为菱形． 三、圆 1. （2024年广东省广州市荔湾区校考）如图，，是⊙O的切线，点A，B为切点，是⊙O的直径，，求的度数. 【答案】40° 【解析】 【分析】根据切线长定理，可知，再由是⊙O的直径可得，求出，是⊙O的切线，则，再利用三角形内角和可求的度数. 【详解】解：∵是⊙O的直径 ∴ ∵ ∴ ∵，是切线 ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查切线长定理及三角形内角和定理，掌握切线长定理是解题的关键. 四、尺规作图综合 1. （2024年广东省广州市荔湾区校考）如图，在中． （1）利用尺规作图， 在边上求作一点P，使得点到的距离（的长）等于的长；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）画出（1）中的线段．若，求的长． 【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解， 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线，垂线，考查了角平分线的性质定理，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由点到的距离的长）等于的长知点在平分线上，再根据角平分线的尺规作图即可得； （2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图即可得，先对运用勾股定理求得，可得，设，则，在中，由勾股定理得：，解方程即可． 【小问1详解】 解：如图，点P即为所求： 【小问2详解】 解：如图，线段即为所求： 在中，由勾股定理得：， 由作图知平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴． 2. （2024年广东省广州市黄埔区）如图，为圆的直径，点为圆上一点，点为圆外一点． （1）尺规作图：作出圆心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作图中，连接，若为的切线．，求证：为的切线． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）作直径的垂直平分线，垂足为，点即为所求． （2）结合题意，通过等腰三角形的性质和外角的应用，可得，在通过，得出，即为的切线． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求： 【小问2详解】 证明：连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是切线， ∴， ∴， ∴． ∵是半径， ∴是的切线． 【点睛】本题考查了作图-找圆心，等腰三角形的性质，外角的应用，圆的切线性质定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3. （2024年广东省广州市海珠区校考）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分交BC于点E． （1）作的平分线交AD于点F；（尺规作图：不写作法，保留作图痕迹） （2）根据（1）中作图，若，求证：四边形AECF为矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】(1)以点C为圆心，任意长为半径画弧，交AC、CD于M、N两点，再分别以M、N为圆心，大于的距离为半径画弧，两弧交于点H，连接CH，并延长CH并交AD于点F，即可作得； (2)根据平行四边形的性质及等腰三角形的性质，即可证得． 【小问1详解】 解：作图如下：CF即为所求 【小问2详解】 证明：四边形ABCD是平行四边形， ，AB=CD， ，AE平分， ，AB=AC=CD ， ， 又，AF平分， ， ， 四边形AECF是矩形． 【点睛】本题考查了角平分线的作法，平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握和运用特殊四边形的性质及判定是解决本题的关键． 4. （2024年广东省广州市增城区）如图，是等边三角形，． （1）尺规作图：将绕点A逆时针旋转得到，点B旋转后的对应点为点C（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形是菱形； （3）连接，交于点O，过点O的直线交线段于点E，当是等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）证明见解析 （3）或3 【解析】 【分析】（1）作，然后截取，连接即可完成作图； （2）由（1）可得，，根据是等边三角形，即可解决问题； （3）分两种情况讨论：①当时，②当时，③当时，利用等边三角形的性质证明即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 证明：在和 ∴ ∴绕点A逆时针旋转得到； 【小问2详解】 证明：由（1）可知：，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 解：如图， 分两种情况讨论： ①当时， ∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ③当时，点E不在线段上， 故此种情况不存在； 综上所述：当是等腰三角形时，的长为或3． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了尺规作图，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是利用分类讨论思想． 5. （2024年广东省广州市天河区）如图，中，是边的中点，，垂足是． （1）作的高（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）连接，若，求的值． 【答案】（1）作图见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作垂线，圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，添加合理的辅助线，构造相似三角形，结合其判定和性质是解题的关键． （1）以点圆心，以为半径画弧，交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，作射线交于点，即可求解； （2）根据都是直角三角形，点为中点，可得点四点共圆，由可得是等腰直角三角形，结合，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，于点， ∴即为所求线段； 【小问2详解】 解：如图所示，设交于点， ∵，中，，点是的中点， ∴点四点在以点为圆心，以为直径的圆上， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ，即是等腰直角三角形， ， ∴， ∴． 6. （2024年广东省广州市南沙区）如图，在中，． （1）尺规作图：在上找一点，使点到和的距离相等． （2）为上一点，经过点的分别交，于点，．求证：是的切线； （3）若，，求长． 【答案】（1）作图见解析； （2）证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（）根据题意，作平分线即可； （）先判断出，得出，即可得出结论； （）连接，由，得，，然后证明，得，求出，，最后通过勾股定理即可求解． 小问1详解】 如图，根据题意，作平分线即可， 以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点； 分别以为圆心画弧交于点； 连接交于点， ∴即为所求； 【小问2详解】 如图，连接，则， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在半径， ∴是的切线； 【小问3详解】 如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图，切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键． 7. （2024年广东省广州市花都区）如图，内接于，为直径． （1）尺规作图：作交于点D、交于点E．（保留作图痕迹，不写作法）． （2）连接，若，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，见解析 【解析】 【分析】（1）作，得到即可； （2）证明，得到，由，得到，据此即可证明四边形是菱形． 【小问1详解】 解：如图，即为所作， ； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， 由作图知，，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的判定和性质，尺规作图．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 8. （2024年广东省广州市白云区）如图，在中，，点O在边上，经过点B并且与相切于点D，连接． （1）尺规作图：过点D作，垂足为点E； (保留作图痕迹，不写作法) （2）在 (1)所作的图形中， ①求证：平分； ②若四边形的周长与面积均为18，求的长． 【答案】（1）图见解析 （2）①见解析② 【解析】 【分析】（1）根据尺规作垂线的方法，作图即可； （2）①等边对等角，得到，切线的性质结合平行线的判定推出，得到，进而得到，即可得证； ②角平分线的性质，得到，证明，得到，根据题意得到，，利用勾股定理和完全平方公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 ①∵经过点B并且与相切于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； ②∵平分，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形的周长与面积均为18， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查尺规作垂线，切线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活应用，是解题的关键． 9. （2024年广东省广州市番禺区校考）如图，在中，，，． （1）尺规作图：将沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕，折痕与的交点为；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若折痕与的延长线交于点， ①求的长度； ②求点到直线的距离． 【答案】（1）见解析 （2）①；②． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及轴对称变换，勾股定理，掌握平行四边形的性质以及轴对称的性质是解决问题的关键． （1）以为圆心，的长为半径画弧，交于；分别以，为圆心，适当的长为半径画弧，两弧交于点；作射线，交的交点为，则即为折痕； （2）①证明，利用等角对等边，即可求得； ②作于点，交的延长线于点，求得，根据，列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求． 【小问2详解】 解：①由作图知，，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②作于点，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵，且， ∴． 10. （2024年广东省广州市越秀区校考）如图，为的直径，点C在上． （1）尺规作图：求作的中点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）过点D作交延长线于点E（画出图形即可，不必尺规作图），求证：与相切； （3）连接，若，求的值． 【答案】（1）画图见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先连接，再作的垂直平分线即可； （2）如图，记与的交点为，证明，再证明四边形为矩形，可得，从而可得结论； （3）记交于点Q，连接，，，由，结合勾股定理可得，再证明，即可证明，，则有，，结合勾股定理可得， ，问题得解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； ． 【小问2详解】 证明：如图，记与的交点为， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； 【小问3详解】 解：记交于点Q，连接，，，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵根据相切有， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$