专题2.1函数的概念及其表示（十一大题型）-备战2025年新高考数学一轮复习题型突破精炼（新高考专用）

专题2.1函数的概念及其表示 题型一 函数的概念 题型七 构造函数方程求解析式 题型二 求具体函数的定义域 题型八 分段函数求自变量或函数值 题型三 同一函数的判断 题型九 分段函数与不等式 题型四 求抽象函数的定义域 题型十 求函数的值域 题型五 待定系数法求解析式 题型十一 根据值域求其他 题型六 换元法求解析式 知识点1函数 1.函数的定义域、值域 在函数中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2.构成函数的三要素 函数的三要素为定义域、值域、对应关系. 注意：相等函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等． （1）两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数． （2）函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如均表示相等函数. 3.函数的表示方法 函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法. 解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域； 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； 图象法：注意定义域对图象的影响. 题型一 函数的概念 例1．设f：是集合A到集合B的函数，如果集合，那么集合A不可能是（    ） A． B． C． D． 例2．（多选）对于集合，，由下列图形给出的对应中，不能构成从到的函数有（  ）个 A．   B．   C．   D．   练习1．如图所示，是半圆的直径，点从点出发，沿弧的路径运动一周，设点到点的距离为，运动时间为，则下列图象能大致地刻画与之间的关系的是（    ） A． B． C． D． 练习2．已知集合，下列对应关系能够构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 练习3．（多选）如图所示，连接棱长为2的正方体各面的中心得到一个多面体容器，从顶点处向该容器内注水，直至注满水为止.图中水面的高度为，水面对应四边形的面积为，容器内水的体积为，则下列说法正确的是（    ） A．是的函数 B．是的函数 C．是的函数 D．是的函数 练习4．（多选）设集合，则下列图象能表示集合到集合Q的函数关系的有（　　） A．       B．   C．   D． 知识点2函数的定义域 函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为： 1.分式函数中分母不等于零. 2.偶次根式函数的被开方式大于或等于0. 3.一次函数、二次函数的定义域均为R. 4.的定义域是. 5.且的定义域均为R. 6.且的定义域为. 7.的定义域为. 题型二 求具体函数的定义域 例3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 例4．求下列函数的定义域： (1)； (2)． 练习1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 练习2．函数的定义域是 ． 练习3．函数的定义域为 ． 练习4．求下列函数的定义域： (1)； (2)． 题型三 同一函数的判断 例5．下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 例6．下列各组函数：①，；②，；③，；④，；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系与一次函数．其中表示相同函数的是 （填入所有正确项的序号）． 练习1．在下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 练习2．下列各组中的两个函数为相同函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 练习3．（多选）下列各组函数为同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 练习4．（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ） A．和 B．和 C． D．和 题型四 求抽象函数的定义域 例7．已知函数定义域为，则函数的定义域为（   ）. A． B． C． D． 例8．（1）已知的定义域为，求的定义域； （2）若函数的定义域为，求的定义域． 练习1．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 练习2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 （   ） A． B． C． D． 练习3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 练习4．已知的定义域为，则的定义域为（ ） A． B． C． D． 知识点3函数的解析式 1.函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是的形式，可根据题目的条件转化为该形式. 2.求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误. 题型五 待定系数法求解析式 例9．已知函数定义域为，则函数的定义域为（   ）. A． B． C． D． 例10．已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且. (1)求与的解析式； (2)求函数在上的值域. 练习1．已知是二次函数，且，，则 ． 练习2．若指数型函数，满足，，则 ． 练习3．已知与x成反比例，当时，，则y与x间的函数关系式为 . 练习4．已知一次函数满足，且. (1)求的函数关系式； (2)求关于的不等式的解集. 题型六 换元法求解析式 例11．已知，则（    ） A． B． C． D． 例12．已知函数为一次函数，若， (1)求的解析式； (2)若为定义在R上的增函数，且，.求的最值. 练习1．已知，求的解析式 练习2．已知，则的解析式是（   ）. A． B． C． D． 练习3．（多选）已知函数，且，则a的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 练习4．（1）已知，求的解析式； （2）已知为一次函数，且，求的解析式. 题型七 构造函数方程求解析式 例13．已知定义在上的函数满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 例14．设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（    ） A． B． C． D． 练习1．（多选）已知和分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（    ）． A．是增函数 B． C． D． 练习2．设是定义在上的函数，已知满足，则的解析式为 ． 练习3．已知函数满足，则 . 练习4．（1）已知，求； （2）已知函数对于任意的x都有，求． 知识点4分段函数 分段函数的概念 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 注意： 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 题型八 分段函数求自变量或函数值 例15．设函数，则等于（    ） A． B．3 C． D． 例16．已知，若，则 . 练习1．已知函数是上的奇函数，，则 . 练习2．已知，则 . 练习3．已知函数若，则实数 ． 练习4．设函数，若，则实数a的值为（    ） A．或 B．或4 C．或 D．或4 题型九 分段函数与不等式 例17．设函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 例18．已知函数，则不等式的解集为 ． 练习1．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习2．已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习3．已知函数，若，则的取值范围是 ． 练习4．设函数，则不等式的解集为 . 题型十 求函数的值域 例19．已知集合，，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 例20．求下列函数的值域： (1)； (2) 练习1．函数的值域为（   ）. A． B． C． D． 练习2．函数在区间的值域为 ． 练习3．求函数，的值域． 练习4．已知函数的值域为，则函数的值域为 . 题型十一 根据值域求其他 例21．若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例22．已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 练习1．已知函数，的值域为，则 . 练习2．已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习3．已知函数y＝的定义域为（－∞,＋∞），值域为[1，9]，则m的值为 ，n的值为 ． 练习4．函数的定义域为，值域为，则 一、单选题 1．下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 2．已知，且，则=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知函数满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中，值域为[1， +∞)的是（    ） A． B． C． D． 5．设函数则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知，满足，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（多选）设，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 8．设，则下列选项中正确的有（    ） A．若有两个不同的实数解，则 B．若有三个不同的实数解，则 C．的解集是 D．的解集是 三、填空题 9．若的定义域为，值域，则的定义域为 ，值域为 ． 10．已知函数满足，则 ；若函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题 11．求下列函数的值域： (1)； (2)． 12．已知（，且），． (1)求，的值； (2)求，的值； (3)求和的值域． 13．已知函数． (1)当时， ①求的值； ②求的图象与直线的交点坐标； (2)若的值域为R，求实数a的取值范围． 14．如图所示，函数的定义域为，的图象为折线，其中．    (1)求的解析式； (2)解不等式 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1函数的概念及其表示 题型一 函数的概念 题型七 构造函数方程求解析式 题型二 求具体函数的定义域 题型八 分段函数求自变量或函数值 题型三 同一函数的判断 题型九 分段函数与不等式 题型四 求抽象函数的定义域 题型十 求函数的值域 题型五 待定系数法求解析式 题型十一 根据值域求其他 题型六 换元法求解析式 知识点1函数 1.函数的定义域、值域 在函数中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2.构成函数的三要素 函数的三要素为定义域、值域、对应关系. 注意：相等函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等． （1）两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数． （2）函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如均表示相等函数. 3.函数的表示方法 函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法. 解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域； 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； 图象法：注意定义域对图象的影响. 题型一 函数的概念 例1．设f：是集合A到集合B的函数，如果集合，那么集合A不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，解得或， 所以集合可以为，或，或， 故选：D 例2．（多选）对于集合，，由下列图形给出的对应中，不能构成从到的函数有（  ）个 A．   B．   C．   D．   【答案】ABC 【详解】对于A，集合A中有一部分x值没有与之对应的y值，A不能构成函数； 对于BC，存在垂直于的直线与图形有两个交点，BC不能构成函数； 对于D，给定图形符合函数的定义，D能构成函数. 故选：ABC 练习1．如图所示，是半圆的直径，点从点出发，沿弧的路径运动一周，设点到点的距离为，运动时间为，则下列图象能大致地刻画与之间的关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当点在段运动时，随的增大而匀速增大， 点在弧上运动时，（定值）， 点在上运动时，随着的增大而减小． 故选：C． 练习2．已知集合，下列对应关系能够构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于，当时，， 对于任意，在中都存在唯一确定的元素与之对应，满足函数定义，A正确； 对于，当时，， 当时，在中无元素与之对应，不满足函数定义，B错误； 对于，当时，， 当时，在中无元素与之对应，不满足函数定义，C错误； 对于，当时，， 当或时，在中无元素与之对应，不满足函数定义，D错误． 故选：A． 练习3．（多选）如图所示，连接棱长为2的正方体各面的中心得到一个多面体容器，从顶点处向该容器内注水，直至注满水为止.图中水面的高度为，水面对应四边形的面积为，容器内水的体积为，则下列说法正确的是（    ） A．是的函数 B．是的函数 C．是的函数 D．是的函数 【答案】AC 【详解】对于A，当水面的高度确定时，水面对应四边形的面积也唯一确定，则是的函数，A正确； 对于B，当水面对应四边形的面积确定时，水面高度可能出现两种可能，则不是的函数，B错误； 对于C，随的增大而增大，是的函数，也是的函数，因此是的函数，C正确； 对于D，当水面对应四边形的面积确定时，可能出现两个值，不是的函数，D错误. 故选：AC 练习4．（多选）设集合，则下列图象能表示集合到集合Q的函数关系的有（　　） A．       B．   C．   D． 【答案】BD 【详解】对于A：由图象可知定义域不是，不满足； 对于B：定义域为，值域为的子集，故符合函数的定义，满足； 对于C：集合中有的元素在集合中对应两个值，不符合函数定义，不满足； 对于D： 由函数定义可知D满足． 故选：BD． 知识点2函数的定义域 函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为： 1.分式函数中分母不等于零. 2.偶次根式函数的被开方式大于或等于0. 3.一次函数、二次函数的定义域均为R. 4.的定义域是. 5.且的定义域均为R. 6.且的定义域为. 7.的定义域为. 题型二 求具体函数的定义域 例3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使有意义，则需，但这不可能，即， 则. 故选：D． 例4．求下列函数的定义域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)且． 【详解】（1）要使函数有意义，则，解得，所以函数的定义域为． （2）由题意知解得且，， 所以函数的定义域为且． 练习1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵， ∴函数的定义域为， 故选：A. 练习2．函数的定义域是 ． 【答案】 【详解】要使函数有意义，只需要，即， 所以，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 练习3．函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】由解析式知，解得， 所以的定义域为． 故答案为：. 练习4．求下列函数的定义域： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）由条件知， 即得或， 故定义域为. （2）由条件知， 即.故此函数的定义域为. 题型三 同一函数的判断 例5．下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】对于A，的定义域为,而的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，A错误， 对于B,与的定义域均为，且对应关系相同，故为相同函数，B正确， 对于C，的定义域为,而的定义域为，定义域不相同，故不是相同函数,C错误， 对于D，的定义域为，与的定义域为,定义域不相同，故不是相同函数,D错误， 故选：B 例6．下列各组函数：①，；②，；③，；④，；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系与一次函数．其中表示相同函数的是 （填入所有正确项的序号）． 【答案】③⑤ 【详解】①不同，定义域不同，的定义域为，的定义域为； ②不同，对应关系不同，，； ③中，，解得， 中，令，解得， 故定义域、对应关系都相同，③相同； ④，， 故对应关系不同，④不同； ⑤相同，定义域、对应关系都相同． 故答案为：③⑤ 练习1．在下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于A，（），与（）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数； 对于B，（），与（）的对应关系不同，不是同一函数； 对于C，（），与（）的定义域不同，不是同一函数； 对于D，（），与（）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数． 故选：D． 练习2．下列各组中的两个函数为相同函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】对A，的定义域为，的定义域为，则两个函数不是相同函数，故A错误； 对B，，且两函数的定义域均为，则两个函数相同函数，故B正确； 对C，，则两个函数不是相同函数，故C错误； 对D，与，两函数对应法则完全不同，故两函数不是相同函数，故D错误. 故选：B. 练习3．（多选）下列各组函数为同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】CD 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为， 则两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数； 对于B，，的定义域均为，， 则两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数； 对于C，，的定义域均为，， 则两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数是同一个函数； 对于D，的定义域均为， 则两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数是同一个函数． 故选：CD 练习4．（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ） A．和 B．和 C． D．和 【答案】AC 【详解】A：与定义域和对应法则都相同，为同一函数； B：定义域为，而定义域为R，它们的定义域、对应法则都不同，不为同一函数； C：与定义域和对应法则都相同，为同一函数； D：定义域为，而定义域为或，它们定义域不同，不为同一函数. 故选：AC 题型四 求抽象函数的定义域 例7．已知函数定义域为，则函数的定义域为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数定义域为，由函数有意义，得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 例8．（1）已知的定义域为，求的定义域； （2）若函数的定义域为，求的定义域． 【答案】（1）；（2）． 【详解】（1）∵的定义域为，∴要求的定义域， 即解不等式组，解得或， 故的定义域为． （2）∵的定义域为，∴， 则，即的定义域为， ∴要求的定义域，即解不等式组， 解得，故的定义域为． 练习1．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得且，解得且， 故的定义域为. 故选：B 练习2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的定义域满足，解得， 故选：C 练习3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域为，所以， 则函数可知，解得或 函数的定义域为. 故选：D. 练习4．已知的定义域为，则的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】利用抽象函数定义域的解法即可得解. 【详解】因为一次函数的图象经过点， 所以，解得， 所以，所以， 故答案为:3. 知识点3函数的解析式 1.函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是的形式，可根据题目的条件转化为该形式. 2.求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误. 题型五 待定系数法求解析式 例9．已知函数定义域为，则函数的定义域为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用复合函数的定义域的意义列式求解即得. 【详解】函数定义域为，由函数有意义，得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 例10．已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且. (1)求与的解析式； (2)求函数在上的值域. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设，，， 则， 解得， 则，； （2）由（1）知，， 令，，则， 记， 当时，， 当或1时，， 故在上的值域为. 练习1．已知是二次函数，且，，则 ． 【答案】 【详解】因为，是二次函数，所以设， 又因为， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 练习2．若指数型函数，满足，，则 ． 【答案】 【详解】指数型函数，有且， 由，解得，所以. 故答案为：. 练习3．已知与x成反比例，当时，，则y与x间的函数关系式为 . 【答案】 【详解】由题意可设，又时，， ∴，即，故. 故答案为： 练习4．已知一次函数满足，且. (1)求的函数关系式； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1），， ，解得：或， 又为一次函数，，则，. （2）由（1）知：； 令，解得：或； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. 题型六 换元法求解析式 例11．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 所以， 即. 故选：B. 例12．已知函数为一次函数，若， (1)求的解析式； (2)若为定义在R上的增函数，且，.求的最值. 【答案】(1)或 (2)最小值，无最大值 【详解】（1）设 (a)，∴， 即，∴且，解得：或 ∴或 （2）∵为R上的增函数，∴ ∴ ∴ 当且仅当，即时取“=”    ∴有最小值，无最大值. 练习1．已知，求的解析式 【答案】， 【详解】设，，则， 因为， 所以，， 即，. 练习2．已知，则的解析式是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则，而，于是， 因此， 所以的解析式是. 故选：A 练习3．（多选）已知函数，且，则a的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】AB 【详解】令,则, 所以, 所以 所以, 即, 解得或, 故选：AB. 练习4．（1）已知，求的解析式； （2）已知为一次函数，且，求的解析式. 【答案】（1）；（2）或. 【详解】（1）由，令，则， 所以， 故的解析式为； （2）设，则， 所以，因此或， 故或. 题型七 构造函数方程求解析式 例13．已知定义在上的函数满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为定义在上的函数满足， 所以，所以， 所以，解得， 所以， 故选：D 例14．设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令代换，则， 因为为偶函数，为奇函数， 则上式化为：， 又， 俩式相加，得. 故选：C 练习1．（多选）已知和分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（    ）． A．是增函数 B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为①，所以， 根据和的奇偶性知，， 从而②，联立①②， 解得，，显然是增函数，选项A正确； 因为当时，，所以，故在上单调递增， 又为偶函数，所以，选项B正唃； ，选项C正确； ， 而，选项D错误． 故选：ABC． 练习2．设是定义在上的函数，已知满足，则的解析式为 ． 【答案】 【详解】由①， 用代替可得②， 由①②可得. 故答案为：. 练习3．已知函数满足，则 . 【答案】 【详解】由①， 得②， 由①②得，则， 令，则， 所以， 故. 故答案为：. 练习4．（1）已知，求； （2）已知函数对于任意的x都有，求． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）， 令，则， ∴． （2）在中，以代替x可得， 联立得 消去可得． 知识点4分段函数 分段函数的概念 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 注意： 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 题型八 分段函数求自变量或函数值 例15．设函数，则等于（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 故选：C. 例16．已知，若，则 . 【答案】或 【详解】因为且， 所以或， 解得或. 故答案为：或 练习1．已知函数是上的奇函数，，则 . 【答案】2 【详解】因为函数是上的奇函数，所以， 所以， 故答案为：2 练习2．已知，则 . 【答案】1 【详解】. 故答案为：1. 练习3．已知函数若，则实数 ． 【答案】3 【详解】由， 故答案为： 练习4．设函数，若，则实数a的值为（    ） A．或 B．或4 C．或 D．或4 【答案】C 【详解】设，则， 当时，由，解得，当时，由，解得， 于是或， 当时，由或，解得或，因此； 当时，由或，解得或，因此， 所以实数a的值为或. 故选：C 题型九 分段函数与不等式 例17．设函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 不等式等价于或， 解得或或， 所以不等式的解集为. 故选：B 例18．已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】当时，，， 得，所以； 当时，，， 得，所以； 当时，，， 得，所以无解； 综上所述，不等式的解集为. 故答案为： 练习1．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在上单调递增， 在上单调递增， 且连续不断，可知函数在R上单调递增， 则，可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 练习2．已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， 若，则，即，解得，所以 若，则，即，解得，所以， 综上，不等式的解为. 故选：D 练习3．已知函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，， 所以； 当时，， 解得， 综上，的取值范围为. 故答案为：. 练习4．设函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】当，即时， 则，解得； 当，即时， 则， 即，解得； 当时，恒成立； 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 题型十 求函数的值域 例19．已知集合，，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】,,,A选项错误； ，B选项正确；D选项错误； ，C选项错误； 故选：B. 例20．求下列函数的值域： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 显然，所以， 故函数的值域为： （2）设，则，且， 所以，，    结合函数的图象可得原函数的值域为. 练习1．函数的值域为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 当时，. 则. 故选：B. 练习2．函数在区间的值域为 ． 【答案】 【详解】因为，令得， 令得，所以在上单调递增， 令得，所以在上单调递减， 所以，， 所以的值域为. 故答案为：. 练习3．求函数，的值域． 【答案】 【详解】因为，所以，，所以， 所以，即函数值域为． 练习4．已知函数的值域为，则函数的值域为 . 【答案】 【详解】函数的图象是通过一下操作得到的： 首先将函数上所有点的横坐标缩小到原来的得到， 然后将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象， 以上操作过程中不改变函数图象的“高度”， 也就是说函数的值域和函数的值域一样，都是. 故答案为：. 题型十一 根据值域求其他 例21．若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】①时，，值域为，满足题意； ②时，若的值域为， 则，解得， 综上，. 故选：C. 例22．已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【详解】的对称轴为，则，解得， 则在上单调递增， 所以，即， 所以，为方程的两个根， 即为方程的两个根，所以. 故选：D. 练习1．已知函数，的值域为，则 . 【答案】 【详解】已知函数，的值域为， 则是一次函数且在区间上单调递减，， 所以当时，， 解得. 故答案为：. 练习2．已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】结合题意：函数 所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为， 所以，易知：， 由图可知,要使函数的定义域是，值域为， 则的取值范围是， 故选：B. 练习3．已知函数y＝的定义域为（－∞,＋∞），值域为[1，9]，则m的值为 ，n的值为 ． 【答案】 5 5 【详解】由,得, 由，得若，则, 即, 由知，关于y的一元二次方程的两根为1和9, 故有，解得. 当时,也符合题意, ∴. 故答案为：5；5. 练习4．函数的定义域为，值域为，则 【答案】 【详解】当时，显然不符合题意， 当时，因为该函数的定义域为全体实数，值域为， 所以，解得， 故答案为：． 一、单选题 1．下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】A.的定义域为，的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数，故A错误； B. 的定义域为，的定义域为，所以不是同一函数，故B错误； C. 的定义域为，的定义域为，故C错误； D.两个函数的定义域都是，，函数的解析式也相同，所以是同一函数，故D正确. 故选：D 2．已知，且，则=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由题意知，且， 用代换x，则， 即得， 故选：B 3．已知函数满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令得； 令得，所以； 令得，所以； 令得，所以； 令4得. 综上只有正确. 故选：A 4．下列函数中，值域为[1， +∞)的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项，令，则， 则函数在上单调递增，则，故A错误； B选项，，则，故B错误； C选项，因，则，又注意到，当且仅当时取等号， 则，故C错误. D选项，注意到函数均在上单调递增，则，故D正确. 故选：D 5．设函数则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，则不成立； 当时，， 由，得，得，与矛盾，舍去， 当时，， 由，得，则，得． 综上，满足的的取值范围是． 故选：B． 6．已知，满足，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 故，，解得，故， ，函数定义域为， 设，，则，， 当时，函数有最小值为，故函数值域为. 故选：C. 二、多选题 7．（多选）设，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】，，，     所以，，BD正确，AC错误， 故选：BD 8．设，则下列选项中正确的有（    ） A．若有两个不同的实数解，则 B．若有三个不同的实数解，则 C．的解集是 D．的解集是 【答案】BC 【详解】因为， 当时，令，解得，令， 即，解得或， 令，即，解得； 当时，显然，令，即，解得， 令，即，解得； 所以的图象如下所示：    对于A：若有两个不同的实数解，即与的图象有两个交点， 由图可知，即，故A错误； 对于B：若有三个不同的实数解，即与的图象有三个交点， 由图可知，即，故B正确； 对于C：由图可得的解集是，故C正确； 对于D：令，则不等式，即， 则，即， 当时解得， 当时由图可得或， 综上可得的解集是，故D错误； 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是准确作出函数的图象，数形结合判断，对于选项D中的复合不等式，经常采用换元法，结合图象可解决. 三、填空题 9．若的定义域为，值域，则的定义域为 ，值域为 ． 【答案】 【详解】因为的定义域为， 所以要使有意义，则，所以， 所以的定义域为， 的图象是的图象向左平移所得，所以值域不变，即的值域为． 故答案为：，. 10．已知函数满足，则 ；若函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由知， 将原式中的代换成得 ，消去得； 由，得， 即对任意，恒成立， ∴， 当时，取得最大值86. ∴实数的取值范围为. 故答案为：； 四、解答题 11．求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）解：设，则， 因为，所以， 所以． 因为，所以， 故函数的值域为． （2）解：设，则，， 所以， 显然的最大值是4， 所以函数的值域为． 12．已知（，且），． (1)求，的值； (2)求，的值； (3)求和的值域． 【答案】(1)； (2)； (3)值域：且；值域：． 【详解】（1）∵，∴． 又∵，∴． （2）． ． （3）∵的定义域为，且，∴的值域为且． ∵，显然该式的最小值为2，∴的值域为． 13．已知函数． (1)当时， ①求的值； ②求的图象与直线的交点坐标； (2)若的值域为R，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）①当时，，所以， 当时，，所以， 所以； ②当时，，得，解得； 当时，，即，解得或-1（舍去）， 所以函数的图象与直线的交点坐标为； （2）当时，，所以， 即当时，； 当时，， 由，得， 即当时，， 所以，得，解得， 即实数a的取值范围为. 14．如图所示，函数的定义域为，的图象为折线，其中．    (1)求的解析式； (2)解不等式 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴直线方程为，即， 直线方程为，即， ∵函数的定义域为，的图象为折线， ∴. （2）解：当时，由得， 即，解得：； 当时，由得， 即，解得：； 综上知，，即不等式的解集为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$