精品解析：黑龙江省哈尔滨市巴彦县华山乡中学2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题A

2023－2024学年度九年级上期末模拟测试题A（人教版） 数学试卷 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4、选择题必须使用2B 铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第I卷（选择题）（共30分，每题3分）涂卡 一、单选题 1. 下列成语描述的事件为随机事件的是（　　） A 旭日东升 B. 水中捞月 C. 守株待兔 D. 瓜熟蒂落 2. 年月日三星堆遗址的最新考古发现又一次让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 4. 用配方法解方程，配方后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点C按逆时针方向旋转至，使点D落在的延长线上．已知，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示是二次函数图象，则的值是（ ） A. B. C. D. 或 7. 如图，是的外接圆，，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是两条切线，切点分别是A，B，已知，，则所对的弧长为（ ） A B. C. D. 9. 如图，已知点，是以为直径的半圆的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，内接于，，它的外角的平分线交于点D，连接，，交于点F．若，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题）（共30分，每题3分） 二、填空题 11. 点关于原点对称的点的坐标是________． 12. 函数的最小值为_______． 13. 如图，在中，弦，相较于点，，，则的大小是___________度． 14. 二次函数的图象如图，当函数值时，自变量的取值范围是___________． 15. 如图，在中，点A在弧上，，则_________度． 16. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，则度数为__________． 17. 已知某扇形的半径为5cm，圆心角为120°，那么这个扇形的弧长为 _____cm． 18. 如图，，是的切线，，为切点，是的直径，，则的度数是______． 19. 如图，是的直径，C、D是上两点，，若，则______． 20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，把线段AC绕点C旋转得到线段CE，点E恰好落在AB的延长线上，，△BCD的面积是8，则BC的长为________． 三、解答题（共60分，21，22每题7分，23，24每题8分，25，26，27，每题10分） 21. 解方程： （1）（用配方法）； （2）． 22. 如图所示，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的各顶点坐标分别为，，． （1）画出关于原点中心对称的图形； （2）将绕点顺时针旋转得到，请画出； （3）连接并直接写出线段的长． 23. 数学课上，李老师在讲授“中心对称”时，设计了如下四种教学方法：A学生合作交流，探索规律；B教师讲授，学生练习；C教师引导学生总结规律，学生练习；D教师引导学生总结规律，学生合作交流．李老师将上述教学方法作为调研内容发到九年级所有同学手中，要求每位同学选出自己最喜欢的一种（仅选一项），然后李老师从所有调查问卷中随机抽取了m份调查问卷作为样本，并将调查的结果绘制成如图两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）　 ，　　；并补全条形统计图； （2）根据抽样调查的结果，请估计全校1200名九年级学生中，大约有多少人选择D项教学方法； （3）在选择A项教学方法的10人中，有甲、乙、丙、丁四名女生，现计划从这四人中选出两人参加座谈会，求甲、乙同时被选中的概率是多少？ 24. 如图，为的直径，弦，垂足为点E，直线与延长线交于点F，且． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的半径． 25. 无锡春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准： 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用28000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？ 26. 内接于，点为上一点，连接和，于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作的垂线，垂足为点，交于点，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点为上一点，连接、和，与相交于点，延长到点，使，过点作的垂线，垂足为点，延长交于点，，在的延长线上取一点，连接，使，若，，求的长． 27. 如图，以点D为顶点的抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，直线的解析式为 （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标 （2）求四边形的面积 （3）在轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023－2024学年度九年级上期末模拟测试题A（人教版） 数学试卷 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4、选择题必须使用2B 铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第I卷（选择题）（共30分，每题3分）涂卡 一、单选题 1. 下列成语描述的事件为随机事件的是（　　） A. 旭日东升 B. 水中捞月 C. 守株待兔 D. 瓜熟蒂落 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可判断，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 【详解】A、旭日东升，是必然事件，故A不符合题意； B、水中捞月，是不可能事件，故B不符合题意； C、守株待兔，是随机事件，故C符合题意； D、瓜熟蒂落，是必然事件，故D不符合题意； 故选：C． 2. 年月日三星堆遗址的最新考古发现又一次让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形、中心对称图形的识别，据轴对称图形的定义一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）和中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心），逐项判断即可． 【详解】A、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，该选项不符合题意； B、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，该选项符合题意； C、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，该选项不符合题意； D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意； 故选：B 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可，熟练选择解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， ， 解得， 故选：C． 4. 用配方法解方程，配方后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，根据一除，二移，三配，四变形的步骤进行配方即可． 【详解】解： ∴， ∴； 故选B． 5. 如图，将绕点C按逆时针方向旋转至，使点D落在的延长线上．已知，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 先根据三角形外角的性质求出，再由绕点C按逆时针方向旋转至，得到，证明，利用平角为即可解答． 【详解】解：，， ， 绕点C按逆时针方向旋转至， ， ， ， ， ． 故选：A． 6. 如图所示是二次函数的图象，则的值是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象．由图象得，此二次函数过原点，把点代入函数解析式得，解得的值． 【详解】解：由图象得，此二次函数过原点， 把点代入函数解析式得，解得； 又因为此二次函数的开口向上，所以； 所以． 故选：C． 7. 如图，是的外接圆，，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，垂径定理的应用，圆的内接四边形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键；如图，连接，，求解，证明，再利用圆的内接四边形可得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，是两条切线，切点分别是A，B，已知，，则所对的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质定理以及弧长的求解，由切线的性质推出，求出，由弧长公式即可得到的长． 【详解】解：∵是两条切线，切点分别是A，B， ∴半径，半径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的长， 故选：D． 9. 如图，已知点，是以为直径的半圆的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，连接，，根据，是以为直径的半圆的三等分点，可得，是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，根据求解即可． 【详解】解：连接，，， ，是以为直径的半圆的三等分点， ，， 又， 、是等边三角形， ， ， ， 弧的长为， ， 解得：， ． 故选：A． 10. 如图，内接于，，它的外角的平分线交于点D，连接，，交于点F．若，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，再证明，可得，进而可得，然后可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，圆内接四边形对角互补， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第II卷（非选择题）（共30分，每题3分） 二、填空题 11. 点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的特征，利用关于原点对称的点的坐标的特征，即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 函数的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上， ∴函数的最小值为． 故答案为： 13. 如图，在中，弦，相较于点，，，则的大小是___________度． 【答案】42 【解析】 【分析】利用三角形外角和同弧所对的圆周角相等解题． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：42． 【点睛】本题考查三角形的外角性质和圆周角的性质，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 14. 二次函数的图象如图，当函数值时，自变量的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值时，自变量的取值范围，就是求当函数图象在轴下方时，对应的的取值范围，由此得到答案． 【详解】解：观察图象知，当函数值时， 自变量的取值范围是， 故答案为：． 15. 如图，在中，点A在弧上，，则_________度． 【答案】130 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 作所对的圆周角，如图，利用圆周角定理求出，然后根据圆内接四边形的性质求的度数． 【详解】解：作所对的圆周角，如图， ， ， ， 故答案为：130． 16. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，则的度数为__________． 【答案】##18度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，根据旋转的性质得，，，，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出的度数，再由平行线的性质即可得到的大小，利用和差关系即可得结果． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转，得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 已知某扇形的半径为5cm，圆心角为120°，那么这个扇形的弧长为 _____cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式代入求解即可． 【详解】解：∵扇形的半径为5cm，圆心角为120°， ∴扇形的弧长＝． 故答案为：． 【点睛】此题考查了扇形的弧长公式，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式：，其中n是扇形圆心角的度数，r是扇形的半径． 18. 如图，，是的切线，，为切点，是的直径，，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，则由四边形内角和为360度即可求出答案． 【详解】解；如图所示，连接， ∵，是的切线，，为切点， ∴， ∵是的直径，， ∴ ， ∴， 故答案为：． 19. 如图，是的直径，C、D是上两点，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质；连接，由等腰三角形的性质得，由角的和差得，由圆的基本性质得，即可求解；理解圆的基本性质是解题的关键. 【详解】解：如图，连接， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，把线段AC绕点C旋转得到线段CE，点E恰好落在AB的延长线上，，△BCD的面积是8，则BC的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作CF⊥AB于点F，通过证明△BFC≌△CDB，得到BF=CD，BD=CF；设CD=a，则BF=2a，利用等腰三角形的性质和勾股定理得到BD=4a，利用三角形的面积公式求得a值，再利用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：过点C作CF⊥AB于点F，如图， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB． 在△BFC和△CDB中， ， ∴△BFC≌△CDB（AAS）， ∴BF=CD，BD=CF． ∵BE=CD， ∴BE=BF． 设BE=a，则BF=2a， ∴EF=3a． ∵AC=CE，CF⊥AB， ∴AF=EF=3a， ∴AB=5a， ∴AC=5a． ∴AD=AC-CD=3a． ∴BD==4a． ∵△BCD的面积是8， ∴×BD•CD=8． ∴×4a•2a=8， ∵a＞0， ∴a=． ∴BD=4，CD=2， ∴BC==2． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，过点C作CF⊥AB于点F，构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（共60分，21，22每题7分，23，24每题8分，25，26，27，每题10分） 21. 解方程： （1）（用配方法）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握配方法是解题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ，， 解得：，； 【小问2详解】 解得：，． 22. 如图所示，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的各顶点坐标分别为，，． （1）画出关于原点中心对称的图形； （2）将绕点顺时针旋转得到，请画出； （3）连接并直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）本题主要考查点的对称，根据点关于原点对称的点的坐标特征即可求解，解答本题的关键在于熟练掌握点关于原点对称的特征． （2）本题主要考查图形的旋转，解答本题的关键在于确定图形的旋转中心、旋转方向和旋转角度，作图过程中注意旋转前后线段长度保持不变． （3）本题主要考查在格点图中求线段的长度，解答本题的关键在于确定线段端点的位置，运用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵关于原点对称的点的坐标互为相反数， 又∵，，， ∴，，． 再将、、依次连接起来即可，如图 ∴即为诉求． 小问2详解】 ∵要将绕点顺时针旋转， ∴将线段饶点顺时针旋转得到； 将线段饶点顺时针旋转得到， 依次连接、、， 即可得到，如图 ∴即为所求． 【小问3详解】 由（1）、（2）可知，点和均在格点上， 且，，， ∴以和构造直角三角形， 勾股定理可得， ． 故答案为：． 23. 数学课上，李老师在讲授“中心对称”时，设计了如下四种教学方法：A学生合作交流，探索规律；B教师讲授，学生练习；C教师引导学生总结规律，学生练习；D教师引导学生总结规律，学生合作交流．李老师将上述教学方法作为调研内容发到九年级所有同学手中，要求每位同学选出自己最喜欢的一种（仅选一项），然后李老师从所有调查问卷中随机抽取了m份调查问卷作为样本，并将调查的结果绘制成如图两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）　 ，　　；并补全条形统计图； （2）根据抽样调查的结果，请估计全校1200名九年级学生中，大约有多少人选择D项教学方法； （3）在选择A项教学方法的10人中，有甲、乙、丙、丁四名女生，现计划从这四人中选出两人参加座谈会，求甲、乙同时被选中的概率是多少？ 【答案】（1）100，35，补全统计图见解析 （2）大约有480人选择D项教学方法 （3）甲、乙被分在同一组的概率是 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）用学生合作交流，探索规律人数和所占的百分比，求出的值，再分别求出、的人数及所占的百分比，然后补全统计图即可； （2）用总人数乘以选择项教学方法的人数所占的百分比即可； （3）列表得出所有等可能的情况数，找出甲、乙同时被选中的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 ； 教师引导学生总结规律，学生练习的人数有：（人， 教师讲授，学生练习的人数有：（人， ，即， 补全统计图如下： 故答案为：100，35； 【小问2详解】 根据题意得： （人， 答：大约有480人选择项教学方法； 【小问3详解】 由题意列表得： 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 共有12种等可能的结果数，其中恰好选择甲、乙两名同学的情况有有2种， 则甲、乙同时被选中的概率是． 24. 如图，为的直径，弦，垂足为点E，直线与延长线交于点F，且． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的判定定理，勾股定理， （1）利用圆周角定理，等量代换，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）设的半径为R，连接，利用垂径定理求得线段，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径． ∴直线是的切线； 【小问2详解】 解：设的半径为R，连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 中， ∵， ∴， 解得：， 即的半径为． 25. 无锡春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准： 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用28000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？ 【答案】该单位这次共有40名员工去天水湾风景区旅游 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解法及应用，关键是表示出参加旅游每人所付费用是解决问题的关键．首先根据共支付给春秋旅行社旅游费用28000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用人数总费用，列出方程，解方程，并对方程的解进行检验． 详解】解：设该单位这次共有名员工去天水湾风景区旅游， ∵， ∴员工人数一定超过30人， 可得方程， 整理，得， 解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意 ，舍去； 答：该单位这次共有40名员工去天水湾风景区旅游． 26. 内接于，点为上一点，连接和，于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作的垂线，垂足为点，交于点，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点为上一点，连接、和，与相交于点，延长到点，使，过点作的垂线，垂足为点，延长交于点，，在的延长线上取一点，连接，使，若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）10． 【解析】 【分析】（1）连接，设，则，由圆周角定理得，由等腰三角形的性质求出即可求解； （2）连接，由“8”字三角形得，根据证明，可得，，然后证明即可求解； （3）过点作的平行线交于点，根据证明得，可证．过点分别作和的垂线，垂足分别为点和点，由圆的性质证明，根据证明得，根据证明得，．设，根据求出a，证明得，从而，设，则， 在中利用勾股定理求解即可． 小问1详解】 如图1，连接． 于点， ， 设，则， ， ∴， ， ， ； 【小问2详解】 如图2，连接． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 如图3，过点作的平行线交于点． ， ， ， ，， ， ， ， ， 过点分别作和的垂线，垂足分别为点和点． 四边形内接于， ， ， ，， ， ， ， ，，， ， 设，，， ∴ 解得， ，， ， ， 设，则， 在中 ∵， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，角平分线的性质，勾股定理，难度较大，属中考压轴题． 27. 如图，以点D为顶点的抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，直线的解析式为 （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标 （2）求四边形的面积 （3）在轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1）， （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）由直线的解析式可求出点的坐标，再将其代入抛物线的解析式即可求解； （2）过点D作于点E，根据即可求解； （3）过点D作轴于F可证，①当点Q与点O重合时满足题意；②过点C作交轴于点Q可证，可推出，据此即可求解． 【小问1详解】 解：在中， 当时，；当时， ∴， 把，分别代入得 解得： ∴抛物线解析式为 ∵ ∴顶点D的坐标为 【小问2详解】 解：过点D作于点E ∵D ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 【小问3详解】 解：过点D作轴于F ∵D ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 当时， 解得 ∴ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴当点Q与点O重合时， ∴Q点坐标为 过点C作交轴于点Q ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴Q（9,0） 综上所述点Q的坐标为或 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合、二次函数与面积综合、二次函数与相似三角形综合问题等，熟练掌握二次函数的相关性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$