精品解析：浙江省杭州市西湖区之江实验中学2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题

2023-2024学年浙江省杭州市西湖区之江实验中学八年级（下）月考数学试卷（5月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 当时，二次根式的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入计算即可得． 【详解】解：当时，， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的值，熟练掌握二次根式的运算是解题关键． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可． 【详解】解：A．该图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； D．该图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 在平行四边形中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的两个对角相等，邻角互补求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可. 【详解】， ， ， 所以， 故选D. 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 5. 用反证法证明命题“在四边形中至少有一个内角不大于90°”时，首先应假设（ ） A. 每个内角都小于90° B. 每个内角都大于90° C. 没有一个内角大于90° D. 每个内角都等于90° 【答案】B 【解析】 【分析】至少有一个内角不大于90°的反面是每一个内角都大于90°，据此即可假设. 【详解】用反证法证明“中至少有一个内角不大于”时，等于应先假设：每一个内角都大于90°. 故选：B. 【点睛】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定. 6. 点点同学对数据26，36，26，46，5■，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 标准差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方差：方差描述了数据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平均数和标准差的概念． 利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为36与46的平均数，与被涂污数字无关． 故选：B． 7. 如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，，，则的长为（ ）． A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义得，，从而得，，再根据求出，即可得出答案． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD=7，BC=AD，AD∥BC， ∵BF平分∠ABC交AD于F，CE平分∠BCD交AD于E， ∴∠ABF=∠CBF=∠AFB，∠BCE=∠DCE=∠CED， ∴AB=AF=7，DC=DE=7， ∴EF=AF+DE−AD=7+7−AD=3， ∴AD=11， ∴BC=11． 故选A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质以及等腰三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于常见题． 8. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：C 9. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排3天，每天安排12场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共36场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设比赛组织者应邀请个队参赛， 根据题意得：， 故选：B． 10. 对于反比例函数，给出下列结论：①其图像经过点；②其图像与直线一定有两个交点；③当时，y的取值范围是；④若，是其图像上的两点，且，则点A，B一定不在同一象限． 其中正确的选项是（ ）． A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数图像上点的坐标特点及函数的增减性进行逐一分析解答． 【详解】解：①当时，，所以，其图像经过点，故①正确， ②令，整理得，此时，其图像与直线一定有两个交点，故②正确， ③当时，y的取值范围是或；故③错误； ④， ∴在每一个象限内，随的增大而减小， 当，时，，此时点A，B在同一象限；当，时，，此时点A，B一定不在同一象限，故④正确； ∴正确的是①②④， 故选：D 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 13. 某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这个数据的平均数等于______. 【答案】. 【解析】 【分析】根据加权平均数的基本求法，平均数等于总和除以个数，即可得到答案. 【详解】平均数等于总和除以个数，所以平均数. 【点睛】本题考查求加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的基本求法. 14. 已知m，n是方程的两根，则的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得到，再把展开整理得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得， 所以 ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形如图放置，反比例函数的图象经过点B，当点A的坐标为时，k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握正方形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 根据正方形的性质以及全等三角形的判定和性质得到，，进而求出点B的坐标，由反比例函数图象上点的坐标特征即可解答． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，过点B作于点D，过点C作于点F，交y轴于点G， ∵点， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， 同理， ， ∴点， ∵反比例函数的图象经过点B， ． 故答案为：． 16. 如图，将矩形纸片的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形．若，且，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的判定与性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，证明是解题的关键． 如图：作于点P，则四边形是矩形，所以，由折叠得，则，同理，所以四边形是矩形，则，再证明，则，而，则，即可求得，于是得到问题答案． 【详解】解：作于点P，则， ∵四边形是矩形，， ， ∴四边形是矩形， ， 由折叠得， ， 同理， ∴四边形是矩形， ， ，且， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算二次根式的乘法，再合并同类二次根式； （2）根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18. 用适当方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）配方法解方程； （2）因式分解法解方程． 小问1详解】 ， ， 解得：； 【小问2详解】 ， ， 解得：． 【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 19. 乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目．某乒乓球训练班中甲、乙两名选手在5次训练中的成绩（单位：分）依次为甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9．教练根据他们的成绩绘制了如下的统计表： 成绩/分 平均数 众数 中位数 甲 8 b 8 乙 a 9 c 根据以上信息，解答下面的问题： （1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ； （2）计算甲同学成绩的方差； （3）已知乙同学的成绩的方差是，请问谁的成绩更稳定？ 【答案】（1）8，8，9 （2） （3）甲的成绩比较稳定 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数以及方差，掌握众数、中位数以及方差的定义是解题的关键．方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． （1）根据平均数、众数和中位数的定义求解； （2）根据方差公式求解； （3）根据方差意义求解． 【小问1详解】 解：由题意可得 甲的众数， 乙的平均数， 乙的中位数； 故答案为：8，8，9； 【小问2详解】 解：甲同学的方差为： 【小问3详解】 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差，说明甲的成绩比较稳定 20. 定义：若一元二次方程满足．则称此方程为“蛟龙”方程． （1）当时，判断此时“蛟龙”方程解的情况，并说明理由． （2）若“蛟龙”方程有两个相等的实数根，请解出此方程． 【答案】（1）“蛟龙”方程有两个不相等的实数根，理由见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据“蛟龙”方程的定义得，故△，当时，，根据判别式的意义即可得出结论； （2）根据“蛟龙”方程的定义得，根据判别式的意义得，求出，进而得到方程的解． 【小问1详解】 解：“蛟龙”方程有两个不相等的实数根， 理由如下： 一元二次方程为“蛟龙”方程， ， ， ， “蛟龙”方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解: 方程“蛟龙”方程， ， 方程 有两个相等的实数根， ， 或2， 当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得． “蛟龙”方程的解为0或． 【点睛】本题考查了根判别式，解一元二次方程等知识，解题的关键是了解“蛟龙”方程的定义，难度不大． 21. 如图，D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点F，若FA=FC． （1）求证：四边形ADCE是平行四边形； （2）若AE⊥EC，EF=EC=5，求四边形ADCE的面积． 【答案】（1）见解析；（2）25 【解析】 【分析】（1）首先利用ASA得出△DAF≌△ECF，进而利用全等三角形的性质得出CE=AD，即可得出四边形ACDE是平行四边形；（2）由AE⊥EC，四边形ADCE是平行四边形，可推出四边形ADCE是矩形，由F为AC的中点，求出AC，根据勾股定理即可求得AE，由矩形面积公式即可求得结论． 【详解】（1）证明：∵CE∥AB， ∴∠BAC=∠ECA， 在△DAF和△ECF中， ∴△DAF≌△ECF （ASA）， ∴CE=AD， ∴四边形ADCE是平行四边形； （2）∵AE⊥EC，四边形ADCE是平行四边形， ∴四边形ADCE是矩形， 在Rt△AEC中，F为AC的中点， ∴AC=2EF=10， ∴AE2=AC2-EC2=102-52=75， ∴AE=5， ∴四边形ADCE的面积=AE•EC=25． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，勾股定理，得出△DAF≌△ECF 是解题关键． 22. 如图，某课外兴趣小组计划利用已有的篱笆圈成一个一边靠墙，面积为的矩形花园，其中墙长为，现在可用的篱笆总长为． （1）若设，．请写出关于的函数表达式； （2）若要使的篱笆全部用完，能否围成面积为的花园？若能，请求出长和宽；若不能，请说明理由； （3）假设围成矩形花园的三边材料总长不超过，材料和的长都是整米数，求满足条件的所有围建方案． 【答案】（1） （2）能，长为，宽为 （3）， 【解析】 【分析】（1）由矩形的面积得，即可求解； （2）设，则，由题意围成的面积为的花园，列出一元二次方程，解方程即可； （3）由（1）可知， 的取值1，3，5，15，再由，，得 时，，即可得出结论． 【小问1详解】 解：依题意，，即， 关于的函数表达式为． 【小问2详解】 能 理由：设，则 依题意，，解得，即长为，宽为． 【小问3详解】 由，且，都为正整数，∴可取1，3，5，15． ∵，， ∴符合条件的有：时，． ∴满足条件的所有围建方案：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23. 已知反比例函数的图象经过，两点． （1）求的函数表达式； （2）当时，求的取值范围； （3）设一次函数，当时，比较与的大小． 【答案】（1）；（2）或；（3）当时，，当时，，当时，． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求得y1的函数表达式； （2）求得m＝1时的函数值，根据反比例函数的性质即可求得n的取值范围； （3）求出两函数图象的交点坐标，然后根据数形结合的思想即可解答本题． 【详解】解：（1）反比例函数的图象经过， ， 的函数表达式为； （2）把代入得，， ， 图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ， 或； （3）由可知，直线经过点， 反比例函数的图象经过， 当，两函数图象的交点为， ， 随的增大而增大， 当时，， 当时，， 当时，． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，待定系数法法求反比例函数的解析式，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 24. 问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由． 类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长． 【答案】问题解决：（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析；类比迁移：8 【解析】 【分析】问题解决：（1）证明矩形ABCD是正方形，则只需证明一组邻边相等即可．结合和可知，再利用矩形的边角性质即可证明，即，即可求解； （2）由（1）中结论可知，再结合已知，即可证明，从而求得是等腰三角形； 类比迁移：由前面问题的结论想到延长到点，使得，结合菱形的性质，可以得到，再结合已知可得等边，最后利用线段BF长度即可求解． 【详解】解：问题解决： （1）证明：如图1，∵四边形是矩形， ． ． ． ． 又． ∴矩形是正方形． （2）是等腰三角形．理由如下： ， ． 又，即是等腰三角形． 类比迁移： 如图2，延长到点，使得，连接． ∵四边形是菱形， ． ． ． 又． 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等问题，属于中档难度的几何综合题．理解题意并灵活运用，做出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 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C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 平行四边形中，，则等于（ ） A B. C. D. 4. 用配方法解方程，变形后结果正确的是( ) A. B. C. D. 5. 用反证法证明命题“在四边形中至少有一个内角不大于90°”时，首先应假设（ ） A. 每个内角都小于90° B. 每个内角都大于90° C 没有一个内角大于90° D. 每个内角都等于90° 6. 点点同学对数据26，36，26，46，5■，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 标准差 7. 如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，，，则的长为（ ）． A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 8. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 9. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排3天，每天安排12场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 10. 对于反比例函数，给出下列结论：①其图像经过点；②其图像与直线一定有两个交点；③当时，y的取值范围是；④若，是其图像上的两点，且，则点A，B一定不在同一象限． 其中正确的选项是（ ）． A ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围为________． 12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 13. 某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这个数据的平均数等于______. 14. 已知m，n是方程的两根，则的值为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形如图放置，反比例函数的图象经过点B，当点A的坐标为时，k的值为______． 16. 如图，将矩形纸片的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形．若，且，则的长为______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 18. 用适当方法解方程： （1）； （2）． 19. 乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目．某乒乓球训练班中甲、乙两名选手在5次训练中的成绩（单位：分）依次为甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9．教练根据他们的成绩绘制了如下的统计表： 成绩/分 平均数 众数 中位数 甲 8 b 8 乙 a 9 c 根据以上信息，解答下面的问题： （1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ； （2）计算甲同学成绩的方差； （3）已知乙同学的成绩的方差是，请问谁的成绩更稳定？ 20. 定义：若一元二次方程满足．则称此方程为“蛟龙”方程． （1）当时，判断此时“蛟龙”方程解的情况，并说明理由． （2）若“蛟龙”方程有两个相等的实数根，请解出此方程． 21. 如图，D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点F，若FA=FC． （1）求证：四边形ADCE是平行四边形； （2）若AE⊥EC，EF=EC=5，求四边形ADCE的面积． 22. 如图，某课外兴趣小组计划利用已有的篱笆圈成一个一边靠墙，面积为的矩形花园，其中墙长为，现在可用的篱笆总长为． （1）若设，．请写出关于的函数表达式； （2）若要使的篱笆全部用完，能否围成面积为的花园？若能，请求出长和宽；若不能，请说明理由； （3）假设围成矩形花园的三边材料总长不超过，材料和的长都是整米数，求满足条件的所有围建方案． 23. 已知反比例函数的图象经过，两点． （1）求的函数表达式； （2）当时，求的取值范围； （3）设一次函数，当时，比较与的大小． 24. 问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由． 类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$