7.1.1 角的推广课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

7．1.1　角的推广 新知初探·自主学习 课堂探究·素养提升 【课程标准】 1.了解任意角的概念． 2．掌握象限角的概念． 新知初探·自主学习 教 材 要 点 知识点一　角的概念 (1)角的形成：角可以看成是________绕着它的________从一个位置________到另一个位置所成的图形． (2)角的分类： 按旋转方向可将角分为如下三类： ①正角：按照______________而成的角； ②负角：按照______________而成的角； ③零角：当射线_________时，我们也把它看成一个角，称为零角． 一条射线 端点 旋转 逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 没有旋转 知识点二　利用转角给出角的加减法运算的几何意义 (1)射线OA绕端点O旋转到OB所成的角，记作∠AOB，其中________叫做∠AOB的始边，__________叫做∠AOB的________． (2)引入正角、负角的概念以后，角的加法运算可以转化为角的终边绕始边逆时针旋转，减法运算可以转化为角的终边绕始边顺时针旋转． 知识点三　象限角 角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，那么，角的终边在第几象限，就把这个角称为___________．如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限． OA OB 终边 第几象限角 状元随笔　零角是终边和始边重合的角，但终边和始边重合的角不一定是零角，如－360°，360°，720°等角的终边和始边也重合． 知识点四　终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝_____________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与__________的和． {β|β＝α＋k·360°，k∈Z} 整数个周角 基 础 自 测 1．钟表的分针在一个半小时内转了(　　) A．180° B．－180° C．540° D．－540° 答案：D 解析：钟表的分针是顺时针转动，每转一周，转过－360°，当分针转过一个半小时时，它转了－540°. 2．(多选)下列各角中，与330°角的终边相同的角是(　　) A．510° B．1050° C．－150° D．－390° 答案：BD 解析：与330°终边相同的角的集合为S＝{β|β＝330°＋k·360°，k∈Z}，当k＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，当k＝2时，β＝1 050°，故选BD. 3．已知角α是第一象限角，则α＋180°是第________象限角． 三 解析：∵角α是第一象限角， α＋180°是将α的终边绕原点逆时针旋转180°得到， ∴α＋180°的终边在第三象限， ∴α＋180°是第三象限角． 故答案为三． 课堂探究·素养提升 题型1　任意角的概念 例1　(1)已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是(　　) A．A＝B＝C B．A⊆C C．A＝B D．B 【答案】　D 【解析】　第一象限角可表示为k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z；锐角可表示为0°<β<90°；小于90°的角可表示为γ<90°；由三者之间的关系可知，选D. (2)将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角的度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角的度数为________. －25° 395° 【解析】　把35°角的终边按顺时针方向旋转60°得35°－60°＝－25°；把35°角的终边按逆时针方向旋转一周后得35°＋360°＝395°. 方法归纳 利用角的概念进行判断 判断角的概念问题的关键与技巧： ①关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念． ②技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可． 跟踪训练1　(1)下列关于角的叙述，正确的是(　　) A．终边相同的角一定相等 B．钟表的时针旋转而成的角是负角 C．终边相同的角之间相差180°的整数倍 D．大于90°的角都是钝角 答案：B 解析：终边相同的角不一定相等，可能相隔k·360°(k∈Z)，A错；钟表的时针是顺时针旋转，故是负角，所以B对；终边相同的角之间相差360°的整数倍，C错；200°>90°，但200°不是钝角，D错． (2)喜羊羊步行从家里到草原学校去上学，一般需要10分钟，则10分钟内，钟表的分针走过的角度是(　　) A．30° B．－30° C．60° D．－60° 答案：D 解析：利用定义，分针是顺时针走的，形成的角度是负角，又周角为360°，所以有×10＝60°，即分针走过的角度是－60°. 题型2　终边相同的角的概念 例2　(1)写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来； 【解析】　直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°到360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合： S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}＝225°＋k·360°，k∈Z} ＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}． 所以S中适合－360°≤β<720°的元素是： 45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°； 45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°； 45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°. 状元随笔　(1)对终边相同的角的说明 所有与角α终边相同的角，连同角α在内(而且只有这样的角)，可以用式子α＋k·360°，k∈Z表示．在运用时，需注意以下三点： ①k是整数，这个条件不能漏掉． ②α是任意角． ③k·360 °与α之间用“＋”号连接，如k·360 °－30 °应看成k·360 °＋(－30 °)(k∈Z)． (2)在0 °到360 °范围内找出与直线y＝x终边相同的角，再推广到任意角． (3)终边相同的角的取值是由k的取值决定的． (2)终边与坐标轴重合的角α的集合是(　　) A．{α|α＝k·360°，k∈Z} B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} C．{α|α＝k·180°，k∈Z} D．{α|α＝k·90°，k∈Z} 【答案】　D 【解析】　终边在坐标轴上的角为90°角或90°的整数倍角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}． 状元随笔　终边在坐标轴上的角的集合表示 角α的终边位置 角α的集合表示 在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z} 在y轴上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} 在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z} 方法归纳 在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法： ①一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角． ②如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止． 跟踪训练2　(1)下面与－850°12′终边相同的角是(　　) A．230°12′ B．229°48′ C．129°48′ D．130°12′ 答案：B 解析：与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′. (2)终边在x轴上的角的集合是(　　) A．{α│α=k·180°，k∈Z} B．{α│α=90°+k·360°，k∈Z} C．{α│α=－90°+k·360°，k∈Z} D．{α│α=k·360°+180°，k∈Z} 答案：A 解析：终边在x轴正半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}， 终边在x轴负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}＝{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}， 所以，终边在x轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，故选A. 题型3　象限角与区域角的表示及(k∈N*)所在象限的判定方法 【思考探究】　1.象限角的集合表示 象限角 象限角α的集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z} 2.由α所在象限如何求(k∈N*)所在象限？ [提示]　(1)代数推导法：先表示出角α所在的象限范围，再求出所在的范围，进一步由k值确定．如：当角α在第二象限时，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，则30°＋k·120°<<60°＋k·120°，k∈Z，所以在第一、二、四象限． (2)等分象限法：将各象限k等分，从x轴正半轴开始逆时针方向依次标注1，2，3，4，循环下去，直到填满为止，则当α在第n象限时，就在n号区域．例如：当角α在第二象限时，在图k＝2时的2号区域，在图k＝3时的2号区域．但此规律有局限性，如在已知角α的范围求角2α的范围时上述规律就不好用了，所以还应该掌握求范围的一般方法． 例3　(1)如图，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是(　　) A．{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋45°，k∈Z} B．{α|k·180°＋150°<α<k·180°＋225°，k∈Z} C．{α|k·360°＋150°<α<k·360°＋225°，k∈Z} D．{α|k·360°＋30°<α<k·180°＋45°，k∈Z} 【答案】　C 【解析】　在0°～360°内落在阴影部分角的范围为大于150°而小于225°，所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为{α|k·360°＋150°<α<k·360°＋225°，k∈Z}． (2)已知角β的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角β的取值范围； 【解析】　阴影在x轴上方部分的角的集合为 A＝{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}． 阴影在x轴下方部分的角的集合为B＝{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}． 所以阴影部分内角β的取值范围是A即{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}≤β<k·360°＋285°，k∈Z}． 其中B可以化为：{β|k·360°＋180°＋60°≤β<k·360°＋180°＋105°，k∈Z}． 即{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}． 集合A可以化为{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}． 故A可化为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}． (3)已知α为第二象限角，则2α，分别是第几象限角？ 【解析】　∵α是第二象限角， ∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z， ∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°，k∈Z， ∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角． 同理45°＋·360°<<90°＋·360°. 当k为偶数时，不妨令k＝2n，n∈Z，则45°＋n·360°<<90°＋n·360°，此时，为第一象限角； 当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，则225°＋n·360°<<270°＋n·360°，此时，为第三象限角． ∴为第一或第三象限角． 状元随笔　(2)可由α范围写出2α，的范围后，直接求得2α的范围，然后分k为奇数或偶数两种情况确定的位置． 方法归纳 1．表示区间角的三个步骤： 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°； 第三步：扇形区域起始、终止边界对应角α，β再加上k·360°，即得区间角集合．对顶区域，始边、终边再加上k·180°即得区间角集合．(k∈Z)． 2．解决所在象限的问题，要先确定α的范围，进一步确定出nα或的范围，再根据k与n的关系进行讨论． 跟踪训练3　(1)写出图中阴影部分(不含边界)表示的角的集合； 解析：在－180°～180°内落在阴影部分角的集合为大于－45°小于45°，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为{α|－45°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}． (2)已知α为第二象限角，试判断是第几象限角？ 解析：∵α是第二象限角， ∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z， ∴30°＋k·120°<<60°＋k·120°，k∈Z. 当k＝3n，n∈Z时，30°＋n·360°<<60°＋n·360°，n∈Z，此时为第一象限角； 当k＝3n＋1，n∈Z时，150°＋n·360°<<180°＋n·360°，n∈Z，此时为第二象限角； 当k＝3n＋2，n∈Z时，270°＋n·360°<<300°＋n·360°，n∈Z，此时为第四象限角． ∴为第一、第二或第四象限角． 题型4　关于角的对称问题[逻辑推理] 例4　若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是(　　) A．90°－α B．90°＋α C．360°－α D．180°＋α 【答案】　C 【解析】　因为α是第一象限角， 所以0°＋n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)， 所以－n·360°<90°－α<90°－n·360°(n∈Z)， 90°＋n·360°<90°＋α<180°＋n·360°(n∈Z)， 270°－n·360°<360°－α<360°－n·360°(n∈Z)， 180°＋n·360°<180°＋α<270°＋n·360°(n∈Z)， 90°－α位于第一象限，90°＋α位于第二象限， 360°－α位于第四象限，180°＋α位于第三象限． 状元随笔　因为α为第一象限角， 所以0 °＋n ·360 °<α<90 °＋n ·360 °(n∈Z)，结合不等式判断题中各选项中的角所在象限． 方法归纳 角的终边的对称问题 若角α与β的终边关于x轴、y轴、原点、直线y＝x对称，则角α与β分别具有怎样的关系？ [提示]　(1)关于y轴对称：若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180 °－α＋k·360 °，k∈Z. (2)关于x轴对称：若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·360 °，k∈Z. (3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180 °＋α＋k·360 °，k∈Z. (4)关于直线y ＝x对称：若角α与β的终边关于直线y ＝x对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90 °＋k·360°，k∈Z. 跟踪训练4　(1)若α是第四象限角，则90°－α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：B 解析：由题知，α∈(－90°＋360°·k，360°·k)，k∈Z， 则90°－α∈(90°－360°·k，180°－360°·k)在第二象限， 故选B. (2)若α是第四象限角，则180°－α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：C 解析：因为α是第四象限角，则角α应满足： k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z， 所以－k·360°<－α<－k·360°＋90°， 则－k·360°＋180°<180°－α<－k·360°＋90°＋180°，k∈Z， 当k＝0时，180°<180°－α<270°， 故180°－α为第三象限角． $$