7.1.1 角的推广 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

7.1 任意角的概念与弧度制7.1.1 角的推广 新授课 1. 通过观察圆的周期性变化，理解任意角的概念； 2. 理解象限角的概念及终边相同的角的含义； 3. 通过对任意角的建构过程，掌握用集合表示终边相同的角. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 O A 知识点 1：角的概念的推广 思考：在初中角是如何定义的？ B α 定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫作角. O A B 定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫作角. 注：初中所学角都是大于 0°，小于或等于360°的角. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 1 ：如图，当摩天轮在持续不断地转动时， （1）摩天轮所转过的角度大小是否会超过360°？ 只要时间足够长，摩天轮所转过的角度大小一定会超过360° （2）如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察，那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗？ 甲、乙两人所观察到的摩天轮旋转方向相反：如果其中一人观察到的是逆时针旋转，则另一人观察到的是顺时针旋转. 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念讲解 角的分类：按一条射线绕其端点的旋转方向，角可以分为三类： 正角：按逆时针方向旋转形成的角，如图∠α； 负角：按顺时针方向旋转形成的角，如图∠β ； 零角：没有做任何旋转形成的角； O A B α 正角 O1 A1 B1 β 负角 注意：如果角 α 与角 β 的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称 α = β； 用图像表示角时，箭头的方向体现角的正负，因此箭头不能少. 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 O A B （1） （2） α O A B β 1. 根据任意角的定义，说说下图中的角分别为多少度. （1）逆时针旋转，正角，即 α = 450°； （2）顺时针旋转，负角，即 β = – 630°. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 2 ：如图，类比实数的加减运算，说说将 α 的终边再次逆时针旋转 β 后该如何表示？ α β 把角 α 的终边旋转角 β，这时终边所对应的角是 α + β ； 思考：若将 α 的终边顺时针旋转 β 后又该如何表示？ 顺时针旋转的角 β 为负角，这时终边所对应的角是 α – | β |； 注：字母 α、β 表示任意角，本身即是带有符号的. 新课讲授 学习目标 课堂总结 任意角的运算 当 α，β 的符号为正时，射线的旋转方向为逆时针；符号为负时，射线的旋转方向为顺时针；为了方便，可用 |α| 、|β| 表示相应的旋转量； 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角； 即：角 α 的相反角记为 – α. 总结归纳 O A B1 α B2 - α O A B1 - α B2 α 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 2. 利用转角给出 60°+ 90°与 90°– 30°的几何意义. 如图（1），射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为60°，OB逆时针方向旋转到OC所形成的角为 90°，则OA 逆时针方向旋转到OC所形成的角为 60°+ 90°= 150°； O A B （1） C 60° 90° 150° C （2） 90° –30° O A B 60° 如图（2），射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为90°，OB顺时针方向旋转到OC所形成的角为 -30°，则OA 逆时针方向旋转到OC所形成的角为 90°- 30°= 60°. 新课讲授 学习目标 课堂总结 O α = 25° β = – 120° x y 知识点 2：象限角与轴线角 问题 3 ：如图，角 α 是第一象限角，角 β 是第三象限角，试计算 α + β 的值，并说说结果所得的角位于第几象限？ α + β = 25°+ (-120°) = -95°； -95°的角位于第三象限. 象限角：将角放在平面直角坐标系中来讨论，约定：角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在 x 轴的正半轴上，此时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角. 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：若角 α 的终边在坐标轴上，那么角 α 还是象限角吗？ 若角的终边在坐标轴（x / y）上，那么这个角不属于任何一个象限，我们把这样的叫轴线角，如右图的角γ. O x y γ 新课讲授 学习目标 课堂总结 O x y B – 30° 330° – 390° 问题 4：分别将 30°、 – 390°及 330°的角，画在坐标系中，结合图象说说你有什么发现？ 即： 30°、 – 390°及 330°是终边相同的角. 由图可知，角的终边 OB 除了可以表示 -30°的角之外，还可以表示 -390°，330°等角； 思考：结合上述问题，你发现了终边相同的角的变化规律吗？ 新课讲授 学习