7.3.4正切函数的性质与图象课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

7．3.4　正切函数的性质与图象 新知初探·自主学习 课堂探究·素养提升 【课程标准】 1.借助单位圆能画出正切函数的图象． 2．了解正切函数的周期性、单调性、奇偶性、最大 (小)值． 3．借助图象理解正切函数在(－)上的性质． 新知初探·自主学习 教 材 要 点 知识点一　正切函数的图象 (1)正切函数的图象： y＝tan x(x∈R且x≠＋kπ，k∈Z)的图象如图． (2)正切函数的图象称为________． (3)正切函数的图象特征： 正切曲线是由通过点_______________且与________平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成． 正切曲线 (＋kπ，0)(k∈Z) y轴 知识点二　正切函数的性质 (1)函数y＝tan x(x∈R且x≠kπ＋，k∈Z)的图象与性质表： 解析式 y＝tan x 图象 定义域 ______________________ 值域 ______ {x|x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z} R (2)函数y＝tan ωx(ω≠0)的最小正周期是________． 周期 ________________ 奇偶性 ________________ 单调性 在开区间____________________内都是增函数 π 奇函数 (－＋kπ，＋kπ)(k∈Z) 状元随笔　正切函数的图象是对称的吗？ [提示]　正切函数是奇函数，其图象关于原点对称，并且有无数个对称中心，对称中心的坐标为(，0)(k∈Z)，正切函数的图象不是轴对称图形． 基 础 自 测 1．下列是函数f(x)＝tan (2x－)的对称中心的是(　　) A．(－，0)　 B．(，0) C．(0，0)　 D．(，0) 答案：D 解析：令2x－＝(k∈Z)，解得x＝(k∈Z)，所以f(x)的对称中心为(，0)，k∈Z，当k＝1时，＝，故(，0)是f(x)的一个对称中心． 2．函数y＝tan x(－≤x≤且x≠0)的值域是(　　) A．[－1，1] B．[－1，0) C．(－∞，1] D．[－1，＋∞) 答案：B 解析：由于函数y＝tan x在上单调递增，当x＝－时，y＝－1；当x＝0时，y＝0；当x＝时，y＝1，故该函数的值域为[－1，0)故选B. 3．y＝tan (2x－)的定义域为__________________． {x|x≠，k∈Z} 解析：∵2x－≠kπ＋，k∈Z，∴x≠π，k∈Z. 4．函数y＝tan (x＋)的单调增区间为___________________． (kπ－，kπ＋)，k∈Z 解析：令kπ－<x＋<kπ＋，k∈Z， 得kπ－<x<kπ＋， 即y＝tan (x＋)的单调增区间为 (kπ－，kπ＋)，k∈Z. 课堂探究·素养提升 题型1　正切函数的定义域、值域问题 例1　(1)求下列函数的定义域： ①y＝； ②y＝tan ()． (2)求函数y＝－tan2x＋2tanx＋5，x∈[－)的值域． 【解析】　(1)①要使函数y＝有意义，需使 所以函数的定义域为{x|x∈R且x≠kπ－，x≠kπ＋，k∈Z}． ②令x＋≠kπ＋(k∈Z)，解得x≠2kπ＋(k∈Z)，故函数的定义域为{x|x≠2kπ＋，k∈Z}． (2)令t＝tan x，∵x∈[－)，∴t＝tan x∈[－)， ∴y＝－t2＋2t＋5＝－(t－1)2＋6，抛物线开口向下，对称轴为t＝1， ∴t＝1时，取最大值6，t＝－时，取最小值2－2， ∴函数y＝－tan2x＋2tanx＋5，x∈[－)的值域为[2－2，6]. 状元随笔　(1)列出使各部分有意义的条件，注意正切函数自身的定义域． (2)换元转化为二次函数在给定区间上求值域问题． 方法归纳 (1)求正切函数定义域的方法及求值域的注意点： ①求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠＋kπ，k∈Z； ②求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围． (2)解正切不等式的两种方法： ①图象法：先画出函数图象，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合； ②三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域．要特别注意函数的定义域． 跟踪训练1　(1)求函数y＝的定义域； 解析：根据题意， 得解得(k∈Z)． 所以函数的定义域为 [＋kπ，＋kπ)＋kπ，＋kπ)(k∈Z)． (2)函数y＝tan2x－tanx＋2，x∈的值域为(　　) A．[，＋∞) B． C． D．[2，4] 答案：C 解析：函数y＝tan2x－tanx＋2＝(tan x－)2＋， 由x∈[－]，则tan x∈[－1，1]， 所以函数的值域为[，4]. 题型2　正切函数的奇偶性、周期性 例2　(1)函数y＝4tan (3x＋)的周期为________． 【解析】　由于ω＝3，故函数的周期为T＝＝. (2)判断y＝sin x＋tan x的奇偶性． 【解析】　定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}， 关于原点对称， ∵f(－x)＝sin (－x)＋tan (－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)， ∴函数是奇函数． 状元随笔　(1)可用定义法求，也可用公式法求，也可作出函数图象来求． (2)可按定义法的步骤判断． 方法归纳 (1)函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)周期的求解方法： ①定义法． ②公式法：对于函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝. ③观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现． (2)判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法： 先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系． 跟踪训练2　(1)求f(x)＝tan (2x＋)的周期； (2)判断y＝cos x＋tan x的奇偶性． 解析：(1)∵tan (2x＋＋π)＝tan (2x＋)， 即tan [2(x＋)＋]＝tan (2x＋)， ∴f(x)＝tan (2x＋)的周期是. (2)定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}，关于原点对称， ∵f(－x)＝cos (－x)＋tan (－x)＝cos x－tan x， ∴函数是非奇非偶函数． 题型3　正切函数的单调性 【思考探究】　1.正切函数y ＝tan x在其定义域内是否为增函数？ [提示]　不是．函数的单调性是相对于定义域内的某个区间而言的．正切函数的图象被直线x ＝kπ＋(k∈Z)隔开，所以它的单调区间只在(kπ －，kπ ＋)(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x1 ＝，x2 ＝π，x1 <x2，但tan x1 ＝tan x2. 2．正切函数的定义域能写成( － ＋kπ， ＋kπ) (k∈Z)吗？为什么？ [提示]　不能．因为正切函数的定义域是{x|x≠＋kπ，k∈Z}，它表示x是不等于＋kπ(k∈Z)的全体实数，而(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)只表示k取某个整数时的一个区间，而不是所有区间的并集． 例3　(1)求函数y＝tan (－x＋)的单调区间； (2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小． 【解析】　(1)y＝tan (－x＋)＝－tan (x－)， 由kπ－<x－<kπ＋(k∈Z)， 得2kπ－<x<2kπ＋，(k∈Z)， ∴函数y＝tan (－x＋)的单调递减区间是(2kπ－，2kπ＋)(k∈Z)，无增区间． (2)∵tan 2＝tan (2－π)，tan 3＝tan (3－π)， 又∵<2<π，∴－<2－π<0， ∵<3<π，∴－<3－π<0， 显然－<2－π<3－π<1<， 且y＝tan x在(－)内是增函数， ∴tan (2－π)<tan (3－π)<tan 1，即tan 2<tan 3<tan 1. 状元随笔　(1)可先令y ＝－tan (x －)，从而把x －整体代入(－ ＋kπ， ＋kπ)，k∈Z这个区间内解出x便可． (2)可先把角化归到同一单调区间内，即利用tan 2＝tan (2 －π)，tan 3 ＝tan (3 －π)，最后利用y ＝tan x在(－)上的单调性判断大小关系． 方法归纳 求y＝A tan (ωx＋φ)的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，由kπ－<ωx＋φ<kπ＋求得x的范围即可．比较两个同名函数的大小，应保证自变量在同一单调区间内． 跟踪训练3　(1)求函数y＝tan (2x－)的单调区间； (2)比较tan (－)与tan (－)的大小． 解析：(1)∵y＝tan x的单调增区间为(kπ－，kπ＋)(k∈Z)， ∴kπ－<2x－<kπ＋(k∈Z)， <x<(k∈Z)， ∴函数y＝tan (2x－)的单调递增区间为()(k∈Z)． (2)由于tan (－)＝tan (－4π＋)＝tan ＝－tan ， tan (－)＝－tan (2π＋)＝－tan ， 又0<<<， 而y＝tan x在(0，)上单调递增， 所以tan <tan ，－tan >－tan ， 即tan (－)>tan (－)． 教材反思 (1)对函数y＝A tan (ωx＋φ)＋k(ω≠0)周期的两点说明 ①一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)＋k(ω≠0)的最小正周期T＝. ②当ω>0时，函数y＝A tan (ωx＋φ)＋k具有周期性，最小正周期是. (2)“三点两线法”作正切曲线的简图 ①“三点”分别为(kπ，0)，(kπ＋，1)，(kπ－，－1)，其中k∈Z；两线为直线x＝kπ＋和直线x＝kπ－，其中k∈Z(两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交)． ②作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周期内即可． (3)解答正切函数图象与性质问题应注意的两点 ①对称性：正切函数图象的对称中心是(，0)(k∈Z)，不存在对称轴． ②单调性：正切函数在每个(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的． $$