7.3.3 余弦函数的性质与图象课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

7．3.3　余弦函数的性质与图象 新知初探·自主学习 课堂探究·素养提升 【课程标准】 1.借助单位圆能画出余弦函数的图象． 2．了解余弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大 (小)值． 3．借助图象理解余弦函数在[0，2π]上的性质． 新知初探·自主学习 教 材 要 点 知识点一　余弦函数的图象 把正弦函数y＝sin x的图象__________________就得到余弦函数y＝cos x的图象，该图象叫做余弦曲线． 向左平移个单位长度 知识点二　余弦函数的性质 函数 y＝cos x 定义域 R 值域 [－1，1] 奇偶性 偶函数 周期性 以________为周期(k∈Z，k≠0)，2π为最小正周期 单调性 当x∈____________________时，递增； 当x∈__________________时，递减 最大值与最小值 当x＝________(k∈Z)时，最大值为____； 当x＝________(k∈Z)时，最小值为____ 2kπ [2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z) [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 2kπ 1 2kπ＋π －1 知识点三　余弦型函数y＝A cos (ωx＋φ)(x∈R)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝________． 状元随笔　在[0，2π]上画余弦函数图象的五个关键点是什么？ [提示]　画余弦曲线的五个关键点分别是(0，1)，(，0)，(π，－1)，(π，0)，(2π，1)． 基 础 自 测 1．用“五点法”作函数y＝cos 2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是(　　) A．0，，π，，2π　　　 B．0，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0， 答案：B 解析：令2x＝0，，π，和2π，得x＝0，，π，故选B. 2．使cos x＝1－m有意义的m的值为(　　) A．m≥0 B．0≤m≤2 C．－1<m<1 D．m<－1或m>1 答案：B 解析：∵－1≤cos x≤1，∴－1≤1－m≤1， 解得0≤m≤2.故选B. 3．下列函数中，周期为的是(　　) A．y＝sin B．y＝sin 2x C．y＝cos D．y＝cos 4x 答案：D 解析：∵T＝＝，∴ω＝4. 4．比较大小：(1)cos 15°________cos 35°； (2)cos (－)________cos (－)． > < 解析：(1)∵y＝cos x在[0°，180°]上为减函数，并且0°<15°<35°<180°， 所以cos 15°>cos 35°. (2)∵cos (－)＝cos ，cos (－)＝cos ， 并且y＝cos x在x∈[0，π]上为减函数， 又∵0<<<π， ∴cos >cos ，即cos (－)<cos (－)． 课堂探究·素养提升 课堂探究·素养提升——强化创新性 题型1　用“五点法”作余弦型函数的图象 例1　用“五点法”作函数y＝2＋cos x，x∈[0，2π]的简图． 在[0，2π]上找出五个关键点，用平滑的曲线连接即可． 【解析】　列表： 描点连线，如图 x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 2＋cos x 3 2 1 2 3 方法归纳 (1)“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点、与x轴的交点． (2)列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用平滑的曲线连接五个关键点． 跟踪训练1　用“五点法”作函数y＝3－2cos x，x∈[0，2π]的简图． 解析：按五个关键点列表、描点画出图象(如图)． x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 y＝3－2cos x 1 3 5 3 1 题型2　求余弦型函数的单调区间 例2　(1)函数f(x)＝5cos (3x＋)的一个单调递减区间是(　　) A． B． C． D． 【解析】　f(x)＝5cos (3x＋)， 由2kπ≤3x＋≤π＋2kπ(k∈Z)， 得≤x≤(k∈Z)， 所以[－]是f(x)的一个单调递减区间． 【答案】　B (2)设a＝cos ，b＝sin ，c＝cos ，则(　　) A．a>c>b B．c>b>a C．c>a>b D．b>c>a 【解析】　sin ＝sin (8π－)＝－sin ＝sin ＝cos ， cos ＝cos (2π－)＝cos (－)＝cos ， 因为y＝cos x在(0，)上是减函数， 所以cos >cos >cos ，即a>c>b. 【答案】　A (3)函数y＝cos (－2x)的单调递增区间是______________________. 【解析】　函数y＝cos (－2x)＝cos (2x－)， 令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数y＝cos (2x－)的单调递增区间是[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z. [－＋kπ，＋kπ]，k∈Z 状元随笔　(1)先求出函数在定义域上的单调减区间，再验证． (2)利用诱导公式化到一个单调区间，再利用单调性比较． (3)将x的系数负化正后利用单调性求解． 方法归纳 1．余弦型函数单调区间的求法 (1)如果x的系数为负，则利用诱导公式变为正． (2)将ωx＋φ看作整体，代入到余弦函数的单调区间解出x的范围． (3)若求具体的或一个范围内的单调区间，则给k赋值，即可求出符合条件的单调区间． 2．关于三角函数值比较大小 利用诱导公式，统一成正弦或余弦函数，统一化到一个单调区间内，利用单调性比较大小． 跟踪训练2　(1)将cos (－1)，cos (－2)，cos (－3)按大小顺序排列为_______________________．(用“<”连接) 解析：y＝cos x在区间(－π，0)为增函数， 因为－π<－3<－2<－1<0， 所以cos (－3)<cos (－2)<cos (－1)． cos (－3)<cos (－2)<cos (－1) (2)函数f(x)＝cos (3x＋)的最小正周期为________；若x∈，则f(x)的单调递增区间为____________. [] 解析：函数f(x)＝cos (3x＋)的最小正周期为； 令2kπ＋π≤3x＋≤2kπ＋2π，k∈Z， 求得≤x≤，k∈Z， 可得函数的增区间为[]，k∈Z. 结合x∈[0，]，可得增区间为[]. 题型3　有关三角函数的最值问题 例3　(1)已知函数y1＝a－b cos x的最大值是，最小值是－，求函数y＝－4a sin 3bx的最大值． 欲求函数y的最大值，须先求出a，b，为此可利用函数y 1的最大、最小值，结合分类讨论求解． 【解析】　∵函数y1的最大值是， 最小值是－， 当b>0时，由题意得∴ 当b<0时，由题意得∴ 因此y＝－2sin 3x或y＝2sin 3x. 函数的最大值均为2. (2)求函数f(x)＝cos x，x∈上的值域． 利用余弦函数的单调性求最值． 【解析】　由余弦函数的性质可知，f(x)＝cos x在[－，0]上递增，在[0，]上递减， 又因为f(－)＝，f(0)＝1，f()＝， 所以函数的最大值为1，最小值为， 故值域为[，1]. (3)求函数g(x)＝cos (2x－), x∈上的值域． (4)求函数y＝sin2x＋cosx的值域． 利用同角三角函数关系转化为关于余弦的二次函数求最值． 【解析】　(3)因为－≤x≤，所以－≤2x－， 令t＝2x－，则y＝cos t在区间[－，0]上递增， 在[0，]上递减，所以y＝cos t的最大值为1， 因为cos (－)＝cos <cos ， 故最小值为cos (－)＝－， 故原函数的值域为[－，1]. (4)y＝sin2x＋cosx＝1－cos2x＋cosx ＝－cos2x＋cosx＋1＝－(cos x－)2＋， 令t＝cos x，则y＝－(t－)2＋，t∈[－1，1]. 因为－1≤t≤1，所以当t＝时，ymax＝； 当t＝－1时，ymin＝－. 因此函数y＝sin2x＋cosx的值域为[－]. 方法归纳 (1)对于求形如y＝a cos x＋b的函数值域问题，一般情况下只要注意到余弦函数的性质“有界性”即可解决．注意当x有具体范围限制时，需考虑cos x的范围． (2)求解此类问题时，要先求三角函数值的范围，然后再根据其系数的正负性质求解． 跟踪训练3　函数y＝sin2x＋cosx(－≤x≤)的值域为________． 解析：设cos x＝t，因为－≤x≤， 则t∈[，1]，所以y＝1－cos2x＋cosx＝－(t－)2＋，t∈[，1]，即y在区间上递减，即y在区间上递减， 故当t＝，即x＝±时，ymax＝； 当t＝1，即x＝0时，ymin＝1. 所以函数的值域为[1，]. [1，] 题型4　正、余弦函数的对称性 【思考探究】　1. 观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有何发现？ [提示]　正弦曲线关于原点对称、余弦曲线关于y轴对称，是轴对称图形，也是中心对称图形． 2．正弦曲线、余弦曲线的对称中心、对称轴分别是什么？ [提示]　正弦曲线的对称中心坐标为(kπ，0)(k∈Z)，其对称轴方程为x ＝ ＋kπ(k∈Z)． 余弦曲线的对称中心坐标为(kπ ＋，0)(k∈Z)，对称轴方程为x＝kπ(k∈Z)． 3．如何求y＝A cos (ωx＋φ)的对称中心及对称轴方程？ [提示]　只需令ωx＋φ＝kπ＋即可求得其对称中心的横坐标． 令ωx＋φ＝kπ，可求得其对称轴方程． 例4　已知函数y＝2cos (2x＋)． (1)在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程； (2)把该函数的图象向右平移φ个单位后，图象关于原点对称，求φ的最小正值． 【解析】　(1)令2x＋＝kπ，k∈Z， 解得x＝(k∈Z)． 令k＝0，x＝－； 令k＝1，x＝. ∴函数y＝2cos (2x＋)的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x＝. (2)设该函数向右平移φ个单位后解析式为y＝f(x)， 则f(x)＝2cos [2(x－φ)＋]＝2cos (2x＋－2φ)． ∵y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称， ∴f(0)＝2cos (－2φ)＝0. ∴－2φ＝kπ＋，k∈Z. 解得φ＝(k∈Z)． 令k＝0，得φ＝. ∴φ的最小正值是. 方法归纳 关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论： (1)f(x)＝A sin (ωx＋φ)(或A cos (ωx＋φ))的图象关于x＝x0对称⇔f(x0)＝A或－A. (2)f(x)＝A sin (ωx＋φ)(或A cos (ωx＋φ))的图象关于点(x0，0)中心对称⇔f(x0)＝0. 跟踪训练4　把函数y＝cos (x＋)的图象向右平移φ个单位，正好关于y轴对称，求φ的最小正值． 解析：由题意平移后的函数为y＝cos (x＋－φ)，它是偶函数，因此，当x＝0时，cos (－φ)取得最大值1或最小值－1，故－φ＝2nπ或(2n＋1)π(n∈Z)，即－φ＝kπ(k∈Z)． ∴φ＝－kπ(k∈Z)，当k＝1时，φ取最小正值. 教材反思 (1)余弦曲线和正弦曲线的关系 (2)余弦函数周期性的释疑 余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π. (3)余弦函数的奇偶性 ①余弦函数是偶函数，反映在图象上，余弦曲线关于y轴对称． ②余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形． (4)余弦函数单调性的说明 ①余弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间． ②求解(或判断)余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步． ③确定含有余弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断． (5)余弦函数最值的释疑 ①明确余弦函数的有界性，即|cos x|≤1. ②对有些余弦函数，其最值不一定是1或－1，要依据函数定义域来决定． ③形如y＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝A cos z的形式求最值． $$