7.3.3 余弦函数的性质与图象 教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

7.3.3 余弦函数的性质与图象 【课程基本信息】 年级 高一 课题 余弦函数的性质与图象 课时 1课时 授课教师 【教学目标】 1.会用“五点法”“图象变换法”作余弦函数和y＝Acos(ωx＋φ)的图象. 2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值. 【教学重点】 求余弦函数的周期、单调区间及最值. 【教学难点】 会作余弦函数和y＝Acos(ωx＋φ)的图象. 【教学过程】 一、余弦函数的性质 新课引入：前面学习了正弦函数与正弦型函数的图象与性质，那么余弦函数与余弦型是否与正弦函数的性质有关系？是否可以由正弦函数的性质得到余弦函数的性质？正弦曲线与余弦曲线有什么关系呢？ 设计意图：根据前面的性质，更好地理解余弦函数的性质. 余弦函数的定义：对于任意一个角x，都有唯一确定的余弦cos x与之对应，因此y =cos x是一个函数，一般称为余弦函数． 教师提问：研究余弦函数y=cos x的性质，你能给出几种不同的方案呢？请你选择其中一个方案，研究余弦函数的性质. 设计意图：通过类比余弦线给出余弦函数的性质. 我们可以通过余弦线来研究余弦函数的性质，由cos x=sin(x+)，y=cos x的性质与图象和正弦型函数y=sin(x+)的相同，因此余弦函数的定义域为R；值域为[-1，1]；余弦函数也是周期函数，且其周期为2π；在区间[-π+2kπ，2kπ](k∈Z)上递增，在[2kπ，π+2kπ](k∈Z)上递减；另外，由诱导公式cos(-x)=cos x可知，y=cos x是一个偶函数. 二、余弦函数的图象 余弦曲线的定义：函数y=cos x的图象称为余弦曲线. 正弦函数与余弦函数的关系：由于y=cos x=sin(x+)，因此余弦曲线可由正弦曲线向左平移个单位得到. 余弦函数的性质：余弦曲线的对称轴为x＝kπ，对称中心为(+kπ，0)，其中k∈Z． 教师提问：y=Acos(ωx+φ)(其中A，ω，φ都是常数，且A≠0，ω≠0)具有什么性质？ 1.定义域：R； 2.值域：[-|A|，|A|]； 3.周期：； 4.单调区间：(2k-1)π≤ωx+φ≤2kπ（k∈Z），单调递增；2kπ≤ωx+φ≤(2k+1)π（k∈Z），单调递减； 5.奇偶性：φ=kπ(k∈Z)时为偶函数；φ=kπ+(k∈Z)时为奇函数； 6.对称中心与对称轴：对称中心：(k∈Z)；对称轴：x=(k∈Z).总结一下：cos x的性质： 定义域 R 值域 [-1，1] 最值 当x=2kπ(k∈Z)时，ymax=1；当x=(2k+1)π(k∈Z)时，ymin=-1 周期性 周期函数，最小周期2π 奇偶性 偶函数，图象关于y轴对称 单调性 当x∈[(2k-1)π，2kπ](k∈Z)时，函数单调递增；当x∈[2kπ，(2k+1)π](k∈Z)时，函数单调递减. 【课堂例题】 例1：求下列函数的值域. （1）y=-3cos x+1； （2）y＝(cos x＋)2－3 解：（1）因为-1≤cos x≤1，所以3≥-3cos x≥－3，且-2≤-3cos x＋1≤4，即-2≤y≤4.当cos x=1时，ymin=－2；当cos x＝－1时，ymax＝4，因此y＝-3cos x＋1的值域为[-2，4]． （2）令t＝cos x，则y＝(t＋)2－3，t∈[-1，1]，因为-1≤t≤1时，≤t+1≤，所以0≤(t＋)2≤，因此－3≤(t＋)2-3≤.当t＝1时，ymax＝；当t＝时，ymin＝－3，因此y＝(cos x＋)2－3的值域为[-3，]. 例2：判断下列函数的奇偶性. （1）y=cos x+2； （2）y＝sin xcos x． 解：（1）把函数y＝cos x＋2记作f (x)=cos x＋2，因为定义域为R，且f (-x)＝cos(-x)＋2＝cos x＋2＝f (x)，所以y＝cos x＋2是偶函数． （2）把函数y＝sin xcos x记作f (x)=sin xcos x，因为定义域为R，且f (-x)＝sin(-x)cos(-x)＝-sin xcos x＝-f (x)，所以y＝sin xcos x是奇函数． 例3：求函数y=2cos的周期和其图象的对称轴方程. 解：因为y=2cos=2sin[+]=2sin，所以T=，令(k∈Z)，解得x＝＋3kπ(k∈Z)．所以函数y=2cos的周期为6π，其图象的对称轴方程为x＝＋3kπ(k∈Z)． 例4：求函数f (x)=cos x，x∈[，]的最大值和最小值． 解：方法一：由余弦函数的性质可知，f (x)＝cos x在[，0]递增，在[0，]递减，又因为，f (0)＝cos 0=1，，所以函数的最大值为1，最小值为. 方法二：如图所示，作出示意图，其中OP为角的终边，OP′为角的终边. 区间[，]内的角的终边只能在直线PP′的右上方，因此当角的余弦线为时，f (x)取得最大值f(0)＝cos 0＝1．当角的余弦线为时，f (x)取得最小值. 【课堂巩固】 1.函数的图象中与y轴最近的最高点的坐标为( ) A. B. C. D. 2.已知将函数的图象向右平移个单位长度后关于原点对称，则的值可能为( ) A. B. C. D. 3.已知函数，则下列结论正确的是( ) A.它是奇函数 B.值域为 C.不是周期函数 D.定义域为 【小结作业】 53页的课后习题 【板书设计】 7.3.3 余弦函数的性质与图象 1.余弦函数的定义 2.余弦曲线的定义 3.余弦函数的性质 【教学反思】 课后 反思 优点： 不足： 改进措施： 课堂 评价 学科网（北京）股份有限公司 $