2024年陕西省西安国际港务区铁一中陆港初级中学中考数学适应性训练试题(五)

2024年陕西省西安国际港务区铁一中陆港初级中学中考数学适应性训练试题(五) 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（3分）计算：（﹣3）﹣2＝（　　） A．9 B． C． D．﹣9 2．（3分）下列图形中是圆锥展开图的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列说法中不正确的是（　　） A．正数的平方根有两个，立方根也有两个 B．64的立方根是4 C．3是27的立方根 D．任何一个数都有立方根 4．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，过点C作DE∥AF，如果∠ADE＝105°，那么∠CAF等于（　　） A．75° B．60° C．45° D．30° 5．（3分）已知点A（3，m），B（﹣2，n）在一次函数y＝﹣3x+1的图象上，则m与n的大小关系是（　　） A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．无法确定 6．（3分）如图，已知菱形ABCD的周长为40，对角线AC、BD交于点O，且AO+BO＝14，则该菱形的面积等于（　　） A．24 B．56 C．96 D．48 7．（3分）如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以OB为直径作半圆交AB于点D，连接OD，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C．π﹣2 D．π﹣1 8．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝2x2﹣2mx+m2﹣2m（m为常数）的图象经过点（0，8），其对称轴在y轴右侧，则该二次函数有（　　） A．最大值0 B．最小值0 C．最大值6 D．最小值6 二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9．（3分）已知分式的值为0，那么x的值为 　 　． 10．（3分）如图，正六边形ABCDEF的顶点B、C分别在正方形AGHI的边AG、GH上，若AB＝4，则AG的长度为 　 　． 11．（3分）如图，一个长方体的底面是边长为2的正方形，高为9，一只蚂蚁沿着长方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，那么BC的长为 　 　． 12．（3分）一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象的两个交点分别是A（﹣2，﹣4），B（4，m），则a+b＝　 　． 13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，点D为AC上一点，且满足CD＝2AD，E为BD上一点，∠AEB＝60°，延长AE交BC于F，则FC的长是 　 　． 三、简答题（共14小题，共计81分） 14．（4分）计算：． 15．（4分）因式分解：x3y﹣6x2y+9xy． 16．（4分）解方程：3（x﹣1）＝2﹣2x． 17．（4分）解分式方程：． 18．（4分）如图，已知△ABC，在BC上确定一点D，使得△ABC∽△DAC．（保留作图痕迹，不写作法）． 19．（5分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（3，﹣1）．将△ABC关于y轴对称后得到△A1B1C1，且点A、B、C的对应点分别为A1，B1，∁l． （1）请在图中画出△A1B1C1； （2）点C与C1之间的距离为 　 　． 20．（5分）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°．求证：四边形ACFD是矩形． 21．（5分）某中学要在全校学生中举办“中国梦•我的梦”主题演讲比赛，要求每班选一名代表参赛．九年级（1）班经过投票初选，小亮和小丽票数并列班级第一，现在他们都想代表本班参赛．经班长与他们协商决定，用他们学过的掷骰子游戏来确定谁去参赛（胜者参赛）． 规则如下：两人同时随机各掷一枚完全相同且质地均匀的骰子一次，向上一面的点数都是奇数，则小亮胜；向上一面的点数都是偶数，则小丽胜；否则，视为平局，若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负为止． 如果小亮和小丽按上述规则各掷一次骰子，那么请你解答下列问题： （1）小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少？ （2）该游戏是否公平？请用列表或树状图等方法说明理由．（骰子：六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6个小圆点的小正方体） 22．（6分）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”，某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： a．成绩频数分布表： 成绩x（分） 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 频数 7 9 12 16 6 b．成绩在70≤x＜80这一组的是（单位：分）：70，71，72，72，74，77，78，78，78，79，79，79． 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，成绩的中位数是 　 　分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 　 　； （2）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． （3）若测试成绩不低于80分，则认定学生对“航空航天知识”的掌握情况较好．请估计该校1000名学生中对“航空航天知识”掌握情况较好的人数． 23．（7分）为了测量物体AB的高度，小小带着工具进行测量，方案如下：如图，小小在C处放置一平面镜，她从点C沿BC后退，当退行2米到D处时，恰好在镜子中看到物体顶点A的像，此时测得小小眼睛到地面的距离ED为1.5米；然后，小小在F处竖立了一根高1.8米的标杆FG，发现地面上的点H、标杆顶点G和物体顶点A在一条直线上，此时测得FH为2.6米，DF为3.5米，已知AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH，点B、C、D、F、H在一条直线上．请根据以上所测数据，计算AB的高度． 24．（7分）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值： 输入x … 2 5 7 9 11 … 输出y … 5 4 10 16 22 … 根据以上信息，解答下列问题： （1）当输入的x值为﹣3时，输出的y值为 　 　； （2）求k，b的值； （3）当输出的y值为6时，求输入的x值． 25．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，PD是⊙O的切线，D为切点，交CA的延长线于点P．连接AD，BD． （1）求证：PD∥AB； （2）若⊙O的半径为1，，求BC的长． 26．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数表达式． （2）若点P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，点G为y轴上一动点，过点E作∠EGC＝30°，设点P的横坐标为m．求的最大值． 27．（10分）在探究“折叠问题”时，同学们的兴趣被激发，他们进行了如下操作： （1）在探究过程中，学生发现运用了一条数学“公理”，解决了如下问题：如图1，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝6，则A到BC边的距离是 　 　． （2）如图2有一张三角形纸片ABC，AB＝6，∠B＝30°，D在AB上，且AD＝2，点E为边BC上一个动点．将纸片沿AE折叠，点D的对应点为点D'，点B的对应点为点B'，求点D'到边BC距离的最小值． （3）如图3，有一矩形纸片ABCD，AB＝4，AD＝8，点Q为边BC上一个动点，将纸片沿DQ折叠，点C的对应点为点E．做点D关于点C的对称点D'，连接AD'，连接AE并延长交DD'于点H，过点E作EF∥AB，交AD'于点F，连接FH，试求△AFH面积的最小值． 参考答案与试题解析 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（3分）计算：（﹣3）﹣2＝（　　） A．9 B． C． D．﹣9 【分析】根据负整数指数幂公式计算即可． 【解答】解：， 故选：B． 【点评】本题考查负整数指数幂，熟练掌握负整数指数幂的运算法则是解题的关键． 2．（3分）下列图形中是圆锥展开图的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由圆锥的展开图特点：侧面是扇形，底面是个圆． 【解答】解：A．圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，故本选项符合题意； B．该图形是三棱柱的展开图，故本选项不符合题意； C．该图形是圆柱的展开图，故本选项不符合题意； D．该图形是正方体的展开图，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了几何体的展开图，熟悉圆锥的展开图特点，是解答此题的关键． 3．（3分）下列说法中不正确的是（　　） A．正数的平方根有两个，立方根也有两个 B．64的立方根是4 C．3是27的立方根 D．任何一个数都有立方根 【分析】根据平方根、立方根的定义分别判断即可． 【解答】解：A、正数的平方根有两个，立方根有一个，所以原说法错误，故此选项符合题意； B、64的立方根是4，说法正确，故此选项不符合题意； C、3是27的立方根，说法正确，故此选项不符合题意； D、任何一个数都有立方根，说法正确，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握这两个定义及性质是解题的关键． 4．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，过点C作DE∥AF，如果∠ADE＝105°，那么∠CAF等于（　　） A．75° B．60° C．45° D．30° 【分析】由平行线的性质推出∠ADE+∠DAF＝180°，求出∠DAF＝75°，即可得到∠CAF＝75°﹣45°＝30°． 【解答】解：∵DE∥AF， ∴∠ADE+∠DAF＝180°， ∵∠ADE＝105°， ∴∠DAF＝75°， ∵∠DAC＝45°， ∴∠CAF＝75°﹣45°＝30°． 故选：D． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠ADE+∠DAF＝180°． 5．（3分）已知点A（3，m），B（﹣2，n）在一次函数y＝﹣3x+1的图象上，则m与n的大小关系是（　　） A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．无法确定 【分析】由k＝﹣3＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合3＞﹣2可得出m＜n． 【解答】解：∵k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点A（3，m），B（﹣2，n）在一次函数y＝﹣3x+1的图象上，且3＞﹣2， ∴m＜n， 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 6．（3分）如图，已知菱形ABCD的周长为40，对角线AC、BD交于点O，且AO+BO＝14，则该菱形的面积等于（　　） A．24 B．56 C．96 D．48 【分析】首先根据题意求出AD的长度，然后利用菱形的性质以及勾股定理的知识求出AO•BO的值，最后结合三角形的面积公式即可得出结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA， ∵菱形ABCD的周长为20， ∴AD＝AB＝10， ∵AO+BO＝14， ∴AO2+BO2+2AO•BO＝142， ∵AO2+BO2＝AB2， ∴102+2AO•BO＝142， ∴AO•BO＝48， ∴菱形的面积＝4×S△AOD＝4×AO•BO＝2×48＝96， 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理、三角形与菱形面积的计算等知识；解题的关键是利用菱形的性质以及勾股定理的知识求出AO•BO的值． 7．（3分）如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以OB为直径作半圆交AB于点D，连接OD，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C．π﹣2 D．π﹣1 【分析】先根据题意可知OA＝OB＝2，∠AOB＝∠ODB＝90°，从而证明OD＝BD，最后根据阴影部分的面积＝扇形AOB的面积﹣△AOB的面积，进行解答即可． 【解答】解：由题意可知：OA＝OB＝2，∠AOB＝90°， ∴∠ABO＝∠BAO＝45°， ∵OB为直径， ∴∠ODB＝90°， ∴∠DOB＝∠DBO＝45°， ∴OD＝BD， ∴弓形OD的面积＝弓形BD的面积， ∴阴影部分的面积 ＝扇形AOB的面积﹣△AOB的面积 ＝ ＝π﹣2， 故选：C． 【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，解题关键是正确结合图形得出阴影部分的面积＝扇形AOB的面积﹣△AOB的面积． 8．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝2x2﹣2mx+m2﹣2m（m为常数）的图象经过点（0，8），其对称轴在y轴右侧，则该二次函数有（　　） A．最大值0 B．最小值0 C．最大值6 D．最小值6 【分析】由y＝2x2﹣2mx+m2﹣2m（m为常数）的图象经过点（0，8），其对称轴在y轴右侧，得m2﹣2m＝8，得m＝4或﹣2（舍），故二次函数为y＝2x2﹣8x+8＝2（x﹣2）2，故二次函数有最小值0． 【解答】解：由y＝2x2﹣2mx+m2﹣2m（m为常数）的图象经过点（0，8），其对称轴在y轴右侧， 得m2﹣2m＝8， 得m＝4或﹣2（舍）， 故二次函数为y＝2x2﹣8x+8＝2（x﹣2）2， 故二次函数有最小值0． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的表达式，解题关键是正确应用对称轴与最值的知识解决问题． 二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9．（3分）已知分式的值为0，那么x的值为 　﹣3　． 【分析】首先根据分式的值为0的条件得x+3＝0且x﹣3≠0，由此解出x即可． 【解答】解：∵分式的值为0， ∴x+3＝0且x﹣3≠0， 由x+3＝0，解得：x＝﹣3，此时x﹣3＝﹣6≠0， ∴当分式的值为0，x＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】此题主要考查了分式的值为0的条件，理解分式的值为0时，分式等于0且分母不等于0是解决问题的关键． 10．（3分）如图，正六边形ABCDEF的顶点B、C分别在正方形AGHI的边AG、GH上，若AB＝4，则AG的长度为 　6　． 【分析】求出正六边形的内角的度数，根据直角三角形的性质求出BG，即可求出AG． 【解答】解：正六边形的内角的度数＝＝120°，BC＝AB＝4， 则∠CBG＝180°﹣120°＝60°， ∴∠BCG＝30°， ∴BG＝BC＝2， ∴AG＝AB+BG＝4+2＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查的是正多边形的有关计算，掌握正多边形的性质、内角的计算公式是解题的关键． 11．（3分）如图，一个长方体的底面是边长为2的正方形，高为9，一只蚂蚁沿着长方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，那么BC的长为 　5　． 【分析】根据题意将正方体侧面展开，如图所示进行点标注，则△BCM∽△ACN，接下来由相似三角形的性质可得MC＝2NC，进而即可求出CN，至此，再应用勾股定理进行求解即可． 【解答】解：将正方体侧面展开如图： 由已知条件可知：△BCM∽△ACN， ∴，即＝＝2，即MC＝2NC， ∴CN＝MN＝3， 在Rt△ACN中， AC＝＝＝． 【点评】本题考查了几何图形展开为平面图形的最短路径问题，解答此题的关键是根据两点之间，线段最短将正方体的侧面展开，然后利用勾股定理解答． 12．（3分）一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象的两个交点分别是A（﹣2，﹣4），B（4，m），则a+b＝　﹣1　． 【分析】将点A坐标代入反比例函数解析式求出k，再将B点坐标代入，求出m，最后将A，B两点坐标代入y＝ax+b即可解决问题． 【解答】解：由题知， 将点A坐标代入y＝得， k＝﹣2×（﹣4）＝8， 所以反比例函数解析式为y＝． 将点B坐标代入反比例函数解析式得， m＝， 所以点B的坐标为（4，2）． 将A，B两点坐标代入y＝ax+b得， ， 两式相加得，2a+2b＝﹣2， 所以a+b＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键． 13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，点D为AC上一点，且满足CD＝2AD，E为BD上一点，∠AEB＝60°，延长AE交BC于F，则FC的长是 　　． 【分析】过点C作CG⊥BC，交AF的延长线于点G，过点A作AH⊥BC，垂足为H，从而可得∠BCG＝∠AHC＝90°，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝30°，从而可得∠BAD＝∠ACG＝120°，进而可得∠ABD+∠ADB＝60°，然后利用三角形的外角性质可得∠AEB＝∠DAE+∠ADB＝60°，从而可得∠ABD＝∠DAE，进而可证△ABD≌△CAG，再利用全等三角形的性质可得AD＝CG，从而可得AD＝CG＝AC＝，最后在Rt△ACH中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出AH和CH的长，再证明8字模型相似△AFH∽△GFC，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【解答】解：过点C作CG⊥BC，交AF的延长线于点G，过点A作AH⊥BC，垂足为H， ∴∠BCG＝∠AHC＝90°， ∵AB＝AC＝4，∠BAC＝120°， ∴∠ABC＝∠ACB＝＝30°， ∴∠ACG＝∠ACB+∠BCG＝120°， ∴∠BAD＝∠ACG＝120°， ∴∠ABD+∠ADB＝180°﹣∠BAD＝60°， ∵∠AEB是△AED的一个外角， ∴∠AEB＝∠DAE+∠ADB＝60°， ∴∠ABD＝∠DAE， ∴△ABD≌△CAG（ASA）， ∴AD＝CG， ∵CD＝2AD， ∴AD＝CG＝AC＝， 在Rt△ACH中，∠ACH＝30°， ∴AH＝AC＝2，CH＝AH＝2， ∵∠AFH＝∠CFG， ∴△AFH∽△GFC， ∴＝＝＝， ∴CF＝CH＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 三、简答题（共14小题，共计81分） 14．（4分）计算：． 【分析】根据零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值分别计算即可． 【解答】解： ＝1﹣ ＝ ＝． 【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值是解题的关键． 15．（4分）因式分解：x3y﹣6x2y+9xy． 【分析】利用提公因式法与公式法将原式进行变形并计算即可． 【解答】解：原式＝xy（x2﹣6x+9） ＝xy（x﹣3）2． 【点评】本题考查的是提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提公因式法与公式法是解题的关键． 16．（4分）解方程：3（x﹣1）＝2﹣2x． 【分析】方程去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解． 【解答】解：去括号得：3x﹣3＝2﹣2x， 移项得：3x+2x＝2+3， 合并得：5x＝5， 系数化为1得：x＝1． 【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解本题的关键． 17．（4分）解分式方程：． 【分析】先去分母化为整式方程，解整式方程，再进行检验即可求解． 【解答】解：方程两边同时乘以（x﹣3）， 得2﹣（x﹣1）＝x﹣3， 解得 x＝3， 检验：当x＝3时，x﹣3＝0， ∴原分式方程无解． 【点评】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键，注意解分式方式中检验是必备步骤，不能省略． 18．（4分）如图，已知△ABC，在BC上确定一点D，使得△ABC∽△DAC．（保留作图痕迹，不写作法）． 【分析】根据作一个角等于已知角的作法作出∠CAD＝∠B即可． 【解答】解：如图所示，△ABC∽△DAC． 【点评】本题考查了作图﹣相似变换，正确地作出图形是解题的关键． 19．（5分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（3，﹣1）．将△ABC关于y轴对称后得到△A1B1C1，且点A、B、C的对应点分别为A1，B1，∁l． （1）请在图中画出△A1B1C1； （2）点C与C1之间的距离为 　6　． 【分析】（1）由轴对称的性质先确定A1、B1、C1的坐标，然后再描点、连线即可； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）点C与C1之间的距离为3﹣（﹣3）＝6， 故答案为：6． 【点评】此题考查的是作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 20．（5分）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°．求证：四边形ACFD是矩形． 【分析】证明△ADE≌△FCE（ASA），得AE＝FE，再证明四边形ACFD是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADE＝∠FCE， ∵E为线段CD的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴AE＝FE， ∴四边形ACFD是平行四边形， ∵∠ACF＝90°， ∴平行四边形ACFD是矩形． 【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 21．（5分）某中学要在全校学生中举办“中国梦•我的梦”主题演讲比赛，要求每班选一名代表参赛．九年级（1）班经过投票初选，小亮和小丽票数并列班级第一，现在他们都想代表本班参赛．经班长与他们协商决定，用他们学过的掷骰子游戏来确定谁去参赛（胜者参赛）． 规则如下：两人同时随机各掷一枚完全相同且质地均匀的骰子一次，向上一面的点数都是奇数，则小亮胜；向上一面的点数都是偶数，则小丽胜；否则，视为平局，若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负为止． 如果小亮和小丽按上述规则各掷一次骰子，那么请你解答下列问题： （1）小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少？ （2）该游戏是否公平？请用列表或树状图等方法说明理由．（骰子：六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6个小圆点的小正方体） 【分析】（1）首先判断出向上一面的点数为奇数有3种情况，然后根据概率公式，求出小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少即可． （2）首先应用列表法，列举出所有可能的结果，然后分别判断出小亮、小丽获胜的概率是多少，再比较它们的大小，判断出该游戏是否公平即可． 【解答】解：（1）∵向上一面的点数为奇数有3种情况， ∴小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是：． （2）填表如下： 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） 由上表可知，一共有36种等可能的结果，其中小亮、小丽获胜各有9种结果． ∴P（小亮胜）＝，P（小丽胜）＝＝， ∴游戏是公平的． 【点评】（1）此题主要考查了判断游戏公平性问题，要熟练掌握，首先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （2）此题主要考查了列举法（树形图法）求概率问题，解答此类问题的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． 22．（6分）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”，某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： a．成绩频数分布表： 成绩x（分） 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 频数 7 9 12 16 6 b．成绩在70≤x＜80这一组的是（单位：分）：70，71，72，72，74，77，78，78，78，79，79，79． 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，成绩的中位数是 　78.5　分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 　44%　； （2）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． （3）若测试成绩不低于80分，则认定学生对“航空航天知识”的掌握情况较好．请估计该校1000名学生中对“航空航天知识”掌握情况较好的人数． 【分析】（1）根据中位数的定义求解即可，用不低于80分的人数除以被测试人数即可； （2）根据中位数的意义求解即可； （3）用1000乘以样本中不低于80分人数所占的百分比即可． 【解答】解：（1）这次测试成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据的平均数为＝78.5（分）， 所以这组数据的中位数是78.5分， 成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为×100%＝44%， 故答案为：78.5，44%； （2）不正确， 因为甲的成绩77分低于中位数78.5， 所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩； （3）1000×＝440（人）． 答：估计该校1000名学生中对“航空航天知识”掌握情况较好的人数有440人． 【点评】本题考查了中位数，频数分布表等知识，掌握中位数的定义及其意义是解决问题的关键． 23．（7分）为了测量物体AB的高度，小小带着工具进行测量，方案如下：如图，小小在C处放置一平面镜，她从点C沿BC后退，当退行2米到D处时，恰好在镜子中看到物体顶点A的像，此时测得小小眼睛到地面的距离ED为1.5米；然后，小小在F处竖立了一根高1.8米的标杆FG，发现地面上的点H、标杆顶点G和物体顶点A在一条直线上，此时测得FH为2.6米，DF为3.5米，已知AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH，点B、C、D、F、H在一条直线上．请根据以上所测数据，计算AB的高度． 【分析】根据题意可得：∠ACB＝∠ECD，再根据垂直定义可得∠B＝∠EDC＝∠GFH＝90°，从而可得△ABC∽△EDC，然后利用相似三角形的性质可得BC＝AB，再证明A字模型相似△GFH∽△ABH，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：∠ACB＝∠ECD， ∵AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH， ∴∠B＝∠EDC＝∠GFH＝90°， ∴△ABC∽△EDC， ∴＝， ∴＝， 解得：BC＝AB， ∵∠H＝∠H， ∴△GFH∽△ABH， ∴＝， ∴＝， 解得：AB＝72.9， ∴AB的高度为72.9米． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 24．（7分）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值： 输入x … 2 5 7 9 11 … 输出y … 5 4 10 16 22 … 根据以上信息，解答下列问题： （1）当输入的x值为﹣3时，输出的y值为 　﹣5　； （2）求k，b的值； （3）当输出的y值为6时，求输入的x值． 【分析】（1）把x＝﹣3代入y＝2x+1，即可得到结论； （2）将（7，10），（5，4）代入y＝kx+b解方程即可得到结论； （3）解方程即可得到结论． 【解答】解：（1）当输入的x值为﹣3时，输出的y值为y＝2x+1＝2×（﹣3）+1＝﹣5， 故答案为：﹣5； （2）将（7，10），（5，4）代入y＝kx+b， 得， 解得； （3）把y＝6代入y＝2x+1， 得2x+1＝6， 解得， 把y＝6代入y＝3x﹣11， 得3x﹣11＝6， 解得， ∴输出的y值为6时，输入的x值为或． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，函数值，正确地求得函数的解析式是解题的关键． 25．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，PD是⊙O的切线，D为切点，交CA的延长线于点P．连接AD，BD． （1）求证：PD∥AB； （2）若⊙O的半径为1，，求BC的长． 【分析】（1）连接OD，由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，则∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，所以∠BOD＝2∠BCD＝90°，由切线的性质得∠ODP＝90°，则∠ODP＝∠BOD，所以PD∥AB； （2）作AF⊥PD于点F，可证明四边形OAFD是正方形，则AF＝OA＝1，AB＝2OA＝2，而AP＝，∠BAC＝∠P，则＝sin∠BAC＝sin∠P＝＝，所以BC＝AB＝． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ACB的平分线交⊙O于点D， ∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°， ∴∠BOD＝2∠BCD＝90°， ∵PD是⊙O的切线，D为切点， ∴PD⊥OD， ∴∠ODP＝90°， ∴∠ODP＝∠BOD， ∴PD∥AB． （2）解：作AF⊥PD于点F，则∠AFD＝∠AFP＝90°， ∴∠ODF＝90°，∠AOD＝2∠ACD＝90°， ∴四边形OAFD是矩形， ∵OA＝OD＝1， ∴四边形OAFD是正方形， ∴AF＝OA＝1， ∵AB＝2OA＝2，AP＝，∠BAC＝∠P， ∴＝sin∠BAC＝sin∠P＝＝＝， ∴BC＝AB＝×2＝， ∴BC的长是． 【点评】此题重点考查切线的性质、圆周角定理、平行线的判定、正方形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 26．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数表达式． （2）若点P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，点G为y轴上一动点，过点E作∠EGC＝30°，设点P的横坐标为m．求的最大值． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）证明PE+EG＝PE+EH，则PE+EG＝PE+EH＝（﹣m﹣3﹣m2﹣2m+3）﹣m＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4≤4，即可求解． 【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）， 则y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a， 则﹣3a＝﹣3， 解得：a＝1， 则抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3； （2）过点E作HE⊥GC于点H， ∵∠EGC＝30°，则EH＝EG， 即PE+EG＝PE+EH， 由点C、A的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3， 则点P（m，m2+2m﹣3）、则点E（m，﹣m﹣3）， 则PE+EG＝PE+EH＝（﹣m﹣3﹣m2﹣2m+3）﹣m＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4≤4， ∴PE+EG的最大值为4． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、二次函数的图象和性质，确定PE+EG＝PE+EH是解题的关键． 27．（10分）在探究“折叠问题”时，同学们的兴趣被激发，他们进行了如下操作： （1）在探究过程中，学生发现运用了一条数学“公理”，解决了如下问题：如图1，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝6，则A到BC边的距离是 　3　． （2）如图2有一张三角形纸片ABC，AB＝6，∠B＝30°，D在AB上，且AD＝2，点E为边BC上一个动点．将纸片沿AE折叠，点D的对应点为点D'，点B的对应点为点B'，求点D'到边BC距离的最小值． （3）如图3，有一矩形纸片ABCD，AB＝4，AD＝8，点Q为边BC上一个动点，将纸片沿DQ折叠，点C的对应点为点E．做点D关于点C的对称点D'，连接AD'，连接AE并延长交DD'于点H，过点E作EF∥AB，交AD'于点F，连接FH，试求△AFH面积的最小值． 【分析】（1）作AH⊥BC．根据三角函数的定义即可求出AH； （2）根据垂线段最短，知AB′⊥BC时，点D'到边BC距离的最小．由（1）知AH＝3，又AD'＝AD＝2，D'H＝1．故点D'到边BC距离的最小值为1． （3）由题意S△AFH＝S△AEF+S△EFD＝S△AEF+S△EFD′＝S△AED′，当且仅当点E到A Dˊ的距离最小时，△AEDˊ面积的最小． 【解答】解：（1）如图1中，作AH⊥BC． 在Rt△ABH中，∠B＝30°，AB＝6， ∴AH＝AB•sin30°＝6×＝3， ∴A到BC边的距离是3， 故答案为：3； （2）根据垂线段最短，知AB′⊥BC时， 点D'到边BC距离的最小． 由（1）知AH＝3， 又AD'＝AD＝2， ∴D'H＝1． ∴点D'到边BC距离的最小值为1． （3）如图3中，连接EDˊ，DF，过点D作DG⊥A Dˊ的于点G． ∵EF∥AB∥CD， ∴S△EFD＝S△EFH， ∴S△AFH＝S△AEF+S△EFD＝S△AEF+S△EFD′＝S△AED′， 当且仅当点E到A Dˊ的距离最小时，△AEDˊ面积的最小． 由对称可知，DDˊ＝8． ∴△DADˊ为等腰直角三角形，且A D′＝8， ∵DG⊥AD′， ∴AG＝GD′， ∴DG＝AD′＝4 ∵DE＝DC＝4， ∴点E在以点D为圆心，DC为4的半径的弧上运动， ∴点E到A Dˊ的距离最小值为4﹣4， ∴△AEDˊ面积的最小值为×8×（4﹣4）＝32﹣16． 故△AFH面积的最小值为（32﹣16）． 【点评】本题考查了几何变换综合题，掌握直角三角形中30°的角的性质，以及矩形的性质，是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$