3.1椭圆同步练习卷-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

3.1椭圆同步练习卷-高二数学上学期苏教版（2019）选择性必修第二册 一、单选题 1．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 2．“方程表示椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知椭圆的左、右焦分别为、，过点的直线交该椭圆于、两点，若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．已知椭圆的左，右焦点分别为，点P为E的上顶点，点Q在E上且满足，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆内一点,直线l与椭圆C交于A,B两点，且M为线段的中点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C．3 D． 6．已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于点两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B． C． D． 8．我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上．已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知椭圆与直线相交于两个不同的点，点为线段的中点，则（   ） A． B．或 C．弦长的最大值为 D．点一定在直线上 10．已知椭圆C：的左焦点为F，点P是C上任意一点，则的值可能是（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 11．已知曲线表示椭圆，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B．若该椭圆的焦点在轴上，则 C．若，则该椭圆的焦距为 D．若椭圆的离心率为，则 三、填空题 12．椭圆的长轴长是 ，短轴长是 ，离心率是 ；焦点坐标是 ，顶点坐标是 ． 13．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 . 14．已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，且，则该椭圆的方程是 ． 四、解答题 15．已知椭圆C的两焦点为，，P为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若已知直线，当m为何值时，直线与椭圆C有公共点？ 16．已知椭圆C：经过点，、是椭圆C的左、右两个焦点，，P是椭圆C上的一个动点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点P在第一象限，且，求点P的横坐标的取值范围． 17．已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，，长轴的长为4．过右焦点的直线l与椭圆交于M、N两点（非长轴端点）．    (1)求椭圆的方程； (2)若直线l过椭圆的上顶点A，求的面积． 18．设常数且，椭圆：，点P是上的动点. (1)若点P的坐标为，求椭圆的焦点坐标； (2)设，若定点A的坐标为，求的最大值与最小值. 19．在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，平面内一动点满足，记的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)已知为的右焦点，过点且斜率为的直线交于两点，过点且斜率为的直线交于两点，且，求四边形面积的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】根据椭圆的定义且焦点在轴，列出相应方程组，从而可求解. 【详解】由题知表示焦点在y轴上的椭圆， 则有：，解得或，故D正确. 故选：D. 2．A 【分析】由方程表示椭圆，列出不等式求解，再根据充分必要条件与集合的关系得出答案. 【详解】方程表示椭圆，则，解得且， 因此“方程表示椭圆”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．C 【分析】根据椭圆定义得，得到的周长即可求解. 【详解】椭圆，，， 、在圆上，，， 的周长为， ，. 故选：C. 4．A 【分析】向量坐标化得Q坐标，代入椭圆方程计算求解离心率. 【详解】由题意,其中. 设，由，得，即， 代入椭圆得，解得离心率. 故选：A 5．D 【分析】设，利用点差法即可求解. 【详解】设，则①，②， 联立①②整理得， 又，， 所以，即直线的斜率为. 故选：D. 6．B 【分析】根据椭圆的定义直接求解即可. 【详解】因为平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，且， 所以动点P的轨迹方程为焦点位于轴的椭圆， 设椭圆方程为，焦距为， 则，解得，故动点P的轨迹方程为. 故选：B 7．C 【分析】由三角形的面积关系得出并用含m的关系式表示，再由直曲联立判别式大于零得出m的取值范围即可. 【详解】设直线与轴的交点为，则. 所以，. 因为所以. 由得，即 ，. 所以，解得 或. 因为与有两个交点， 联立 消得， 则,解得. 所以. 故选：C. 8．C 【分析】根据给定条件，列出变轨前后椭圆长半轴长和离心率的关系等式，即可求解得答案. 【详解】设变轨前椭圆的长半轴长和离心率分别为，则半焦距为， 设变轨后椭圆的长半轴长为，显然变轨后椭圆离心率为，半焦距为， 依题意，，整理得，即， 而，解得， 此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为. 故选：C 9．AD 【分析】先联立椭圆与直线的方程，得一元二次方程，用判别式求的取值范围，进而判断选项A、B；得出韦达定理形式，求弦长的表达式，判断选项C；得到中点的坐标形式，判断选项D. 【详解】设两点的坐标为：， 联立椭圆与直线的方程， 得：， 由判别式，得，即，选项A正确，选项B不正确； 韦达定理：， 弦长， 当时，弦长取最大值，，选项C不正确； 由直线，线段中点的坐标为， 即，所以点的坐标满足直线方程，选项D正确. 故选：AD. 10．ABC 【分析】根据求出的范围即可. 【详解】由题意可知，， 所以，即． 故选:ABC． 11．BC 【分析】由方程表示椭圆可得判断A，再根据其它各项描述及椭圆的性质判断正误即可. 【详解】由题意，A错； 椭圆的焦点在y轴上，则，B对； 若，则，故，该椭圆的焦距为，C对； 若椭圆的离心率为，则或，可得或，D错. 故选:BC. 12． 4 ， ， ， ，． 【分析】将方程化为标准的方程，后按照长短轴概念，离心率，焦点，顶点概念求解即可. 【详解】化为标准方程，即，则. 则长轴，短轴，离心率，焦点，，顶点， ， ，． 故答案为：；4；； ，；， ， ，． 13． 【分析】根据椭圆的标准方程列不等式求解范围. 【详解】因为椭圆的焦点在x轴上可得 , 所以. 故答案为：. 14． 【分析】先设点的坐标，再根据已知模长及向量垂直化简得出椭圆方程. 【详解】设点, 又因为,,， 所以， 所以， 所以，根据椭圆定义可得, 所以椭圆的方程是. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）由焦点坐标得到c，由椭圆的定义求出a，进而求出b的值，即可得出椭圆的方程； （2）联立直线与椭圆方程，消去y，直线与椭圆C有公共点即所得一元二次方程有解，计算得出m的范围. 【详解】（1）由题意可得：，即，可得， 且椭圆焦点在x轴上，所以所求的椭圆方程为. （2）联立方程，消去y得. 由，得，则. 所以当时，直线与椭圆有公共点. 16．(1) (2)． 【分析】（1）依题意得焦点坐标，再利用椭圆的定义求得，进而求得即可； （2）设，从而可求得，再把代入求解即可. 【详解】（1）由已知得，， ，，， 同理， ， ，， 椭圆的标准方程为． （2）设，且，则，，   ． 由椭圆方程可得， 整理得，所以， 即点的横坐标的取值范围是． 17．(1) (2)． 【分析】（1）运用待定系数法求出，，，即可得出方程. （2）将直线方程求出来，直线曲线联立求出，运用点到直线距离公式求出到直线l的距离，即可求出面积 【详解】（1）因为，长轴的长为4， 所以，，，所以椭圆的方程为． （2）因为，，若直线l过椭圆的上顶点A和右焦点. 所以l：，则点到直线l的距离为， 由得， 所以，，则， 所以． 18．(1)， (2)最大值为5，最小值为 【分析】（1）由题可得，，即可求解； （2）由题可得，利用二次函数的性质即可求解； 【详解】（1） 椭圆：，点的坐标为，，， 椭圆的焦点坐标为，. （2）设，又，由题知，即， . 又， 当时，取得最大值为25； 当时，取得最小值为， 的最大值为5，最小值为. 19．(1) (2) 【分析】（1）设点的坐标为，则点的坐标为，利用题中的条件，求得向量的坐标之间的关系，从而得到，代入圆的方程求得结果； （2）设直线与直线斜率为，根据，得，设，与第一问中所求的椭圆方程联立，消元，利用韦达定理以及弦长公式，化简代入，得，，再把四边形面积拆成三角形即可求解. 【详解】（1）    设，则，由，得. 因为点在圆上，所以. 把代入方程，得， 所以的方程为. （2）设的倾斜角为，由题意得，则， 设的倾斜角为，由题意得， 因为，所以，即. 综上，. 由题意得，设， 联立得， 则 所以 . 同理可得. . 令，由， 得，则. 由，得，所以， 因为在上单调递增，所以， 故四边形面积的最大值为. 【点睛】该题考查的是有关直线与圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有利用相关点法求轨迹方程，直线与椭圆相交的问题，弦长公式，韦达定理等，在解题的过程中，需要细心运算，思路清晰. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$