2.5.2向量数量积的坐标表示、2.5.3利用数量积计算长度与角度课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

2.5.2　向量数量积的坐标表示 2.5.3　利用数量积计算长度与角度 最新课标 (1)能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角． (2)能用坐标表示平面向量垂直的条件. 新知初探-课前预习 [教材要点] 要点一　平面向量数量积的坐标表示 若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝________，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． x1x2＋y1y2 eq \x(状元随笔)　对于eq \o(a,\s\up14(→))·eq \o(b,\s\up14(→))＝|eq \o(a,\s\up14(→))|·|eq \o(b,\s\up14(→))|·cos θ和eq \o(a,\s\up14(→))·eq \o(b,\s\up14(→))＝x1x2＋y1y2，两者无本质区别，计算时根据已知条件选用即可．可用坐标运算的结果判断cos θ的正负． 要点二　两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔________________. x1x2＋y1y2＝0 eq \x(状元随笔)　这个结论与eq \o(a,\s\up14(→))∥eq \o(b,\s\up14(→))⇔x1y2－x2y1＝0不能混淆．可以从平行与垂直的定义理解．设非零向量eq \o(a,\s\up14(→))，eq \o(b,\s\up14(→))的起点均为原点O，eq \o(a,\s\up14(→))的终点为A，eq \o(b,\s\up14(→))的终点为B，eq \o(a,\s\up14(→)) ＝(x1，y1)，eq \o(b,\s\up14(→)) ＝(x2，y2)．若eq \o(a,\s\up14(→))∥eq \o(b,\s\up14(→))，且x1，x2不为0，则kOA ＝kOB，即eq \f(y1,x1) ＝eq \f(y2,x2)，得x2y1－x1y2 ＝0.垂直则是从数量积的角度理解，若eq \o(a,\s\up14(→))⊥eq \o(b,\s\up14(→))，则cos θ ＝0(θ为向量eq \o(a,\s\up14(→))与eq \o(b,\s\up14(→))的夹角)，eq \o(a,\s\up14(→))·eq \o(b,\s\up14(→)) ＝0，即x1x2＋y1y2 ＝0. 要点三　向量模的坐标表示 1．向量模的坐标表示 若a＝(x，y)，则|a|2＝________，或|a|＝________. 在平面直角坐标系中，若eq \o(OA,\s\up14(→))＝a＝(x，y)， 则|eq \o(OA,\s\up14(→))|＝|a|，即|a|为点A到原点的距离． 2．两点间的距离公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \o(AB,\s\up14(→))＝eq \o(OB,\s\up14(→))－eq \o(OA,\s\up14(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \o(AB,\s\up14(→))|＝________________. x2＋y2 eq \r(x2＋y2) eq \r(x2－x12＋y2－y12) eq \x(状元随笔)　如何准确把握向量的模的坐标表示与两点间的距离公式 (1)向量的长度(或模)是该向量与其自身的数量积的算术平方根，由数量积的坐标公式即可推出向量长度的坐标计算公式； (2)|eq \o(AB,\s\up14(→))|即为A，B两点间的距离，|eq \o(AB,\s\up14(→))|的计算公式与解析几何中两点间的距离公式是完全一致的； (3)若已知向量的坐标或表示向量的有向线段的起点和终点的坐标，可分别利用上述两个公式求向量的模，它们在本质上是一致的． 3．向量a的单位向量的坐标表示 因为向量a的单位向量a0＝±eq \f(a,|a|)， 若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2)，所以a0＝±eq \f(a,|a|)＝____________________. ±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,\r(x2＋y2))，\f(y,\r(x2＋y2)))) 要点四　两向量夹角余弦的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则 cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝________________(|a||b|≠0)． eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))) √ [基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和．(　　) (2)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1x2＋y1y2>0，则向量a，b的夹角为锐角．(　　) (3)|eq \o(AB,\s\up14(→))|的计算公式与A，B两点间的距离公式是一致的．(　　) (4)两向量a与b的夹角公式cos θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)) \r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))的使用条件是a≠0且b≠0.(　　) √ × √ 2．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是(　　) A．23　　　　B．7　　　　C．－23　　　　D．－7 解析：由数量积的计算公式得a·b＝(－3,4)·(5,2)＝－3×5＋4×2＝－7. 答案：D 3．已知a＝(－2,1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则x的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：由题意，a·b＝(－2,1)·(x，－2)＝－2x－2＝0，解得x＝－1. 答案：A 4．已知a＝(1，eq \r(3))，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________. 解析：因为a＋b＝(－1, eq \r(3))，所以|a＋b|＝eq \r(－12＋\r(3)2)＝2. 答案：2 题型一　平面向量数量积的坐标运算——自主完成 1．设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，则向量(a＋2b)·c＝(　　) A．(－15,12) B．0 C．－3 D．－11 解析：依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，所以(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3. 答案：C 2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，x)，且a·b＝－1，则x的值等于(　　) A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(3,2) D．－eq \f(3,2) 解析：因为a＝(1,2)，b＝(2，x)，所以a·b＝(1,2)·(2，x)＝1×2＋2x＝－1，解得x＝－eq \f(3,2). 答案：D 3.已知a＝(2，－1)，b＝(3,2)，若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝________. 解析：设c＝(x，y)，因为a·c＝2，b·c＝5，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－y＝2，,3x＋2y＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(9,7)，,y＝\f(4,7)，))所以c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,7)，\f(4,7))). 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,7)，\f(4,7))) 4．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则eq \o(AE,\s\up14(→))·eq \o(BD,\s\up14(→))＝________. 解析：以AB的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系(也可以以A点为坐标原点)．则A(－1,0)，B(1,0)，D(－1,2)，E(0,2)，则eq \o(BD,\s\up13(→))＝(－2,2)，eq \o(AE,\s\up13(→))＝(1,2)， 于是eq \o(AE,\s\up13(→))·eq \o(BD,\s\up13(→))＝1×(－2)＋2×2＝2. 答案：2 方法归纳 向量数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算． (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，看到题目中的直角条件要敏锐地产生建系的想法，并写出相应点的坐标求解． 题型二　平面向量共线、垂直的坐标表示的应用——师生共研 例1　已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，若向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为(　　) A.eq \f(1,7)　　　　B．－eq \f(1,7)　　　　C.eq \f(1,6)　　　　D．－eq \f(1,6) 解析：由向量λa＋b与a－2b垂直，得(λa＋b)·(a－2b)＝0.因为a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，所以(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－eq \f(1,7). 答案：B 变式探究　将本例中的条件“λa＋b与a－2b垂直”改为“λa＋b与a－2b共线”，则实数λ的值为________． 解析：由已知得：λa＋b＝(－3λ－1,2λ) a－2b＝(－1,2) 又(λa＋b)∥(a－2b) ∴(－3λ－1)×2－2λ×(－1)＝0，解得λ＝－eq \f(1,2). 答案：－eq \f(1,2) 方法归纳 根据向量共线、垂直求参数的值的基本思路 借助两向量平行和垂直的条件求解某参数的值，是向量坐标运算的重要应用之一，具体做法就是先借助a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0或a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))，列关于某参数的方程(或方程组)，然后解之即可． 跟踪训练1　已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c的坐标为________． 解析：设c的坐标为(x，y)，则a＋c＝(1＋x,2＋y)． ∵(a＋c)∥b，∴(1＋x)×3－2×(2＋y)＝0，即3x－2y＝1　① 又a＋b＝(3,5)，且(a＋b)⊥c，∴3x＋5y＝0　② 联立①②，得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－2y＝1，,3x＋5y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,21)，,y＝－\f(1,7).)) 故c的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,21)，－\f(1,7))). 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,21)，－\f(1,7))) 题型三　平面向量的模与夹角——微点探究 微点1　向量的模 例2　设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a∥b，则|a＋b|＝(　　) A.eq \r(5) B.eq \f(\r(5),2) C．2eq \r(5) D．5 解析：因为a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a∥b，所以－2x－1×1＝0，解得x＝－eq \f(1,2). 所以a＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))＋(1，－2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))，|a＋b|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋－12)＝eq \f(\r(5),2). 答案：B 方法归纳 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算 利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算 若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝eq \r(x2＋y2). 微点2　向量的夹角 例3　已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝eq \r(5).若(a＋b)·c＝eq \f(5,2)，则a与c的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：依题意，得a＋b＝(－1，－2)，|a|＝eq \r(5).设c＝(x，y)，a与c的夹角为θ，∵(a＋b)·c＝eq \f(5,2)，∴x＋2y＝－eq \f(5,2).又∵a·c＝x＋2y，∴cos θ＝eq \f(a·c,|a||c|)＝eq \f(x＋2y,\r(5)×\r(5))＝eq \f(－\f(5,2),5)＝－eq \f(1,2).又θ∈[0°，180°]，∴a与c的夹角为120°. 答案：C 变式探究　将本例中的条件“|c|＝eq \r(5)，(a＋b)·c＝eq \f(5,2)”改为“c＝(－1，m)，若(a＋b)与c的夹角为锐角”，其它条件不变，则实数m的取值范围是________． 解析：∵a＝(1,2)，b＝(－2,4)，∴a＋b＝(－1，－2)，∵a＋b与c的夹角为锐角，∴(a＋b)·c>0且a＋b与c不共线． 即(－1，－2)·(－1，m)＝1－2m>0，且(－1)×m－(－2)(－1)≠0， 解得m<eq \f(1,2)且m≠－2. 故实数m的取值范围是(－∞，－2)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2))). 方法归纳 根据向量的夹角求参数：由于两个非零向量a，b的夹角θ满足0≤θ≤π，且cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)，故当θ＝0时，a·b＝|a|·|b|；当0<θ<eq \f(π,2)时，a·b>0且eq \f(a·b,|a||b|)<1；当θ＝eq \f(π,2)时，a·b＝0；当eq \f(π,2)<θ<π时，a·b<0且eq \f(a·b,|a||b|)>－1；当θ＝π时，a·b＝－|a||b|. 微点3　三角形形状的判断 例4　已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均不正确 解析：∵eq \o(AB,\s\up13(→))＝(3，－1)，eq \o(AC,\s\up13(→))＝(－1，－3)，∴eq \o(AB,\s\up13(→))·eq \o(AC,\s\up13(→))＝(3，－1)·(－1，－3)＝－3＋3＝0，∴eq \o(AB,\s\up13(→))⊥eq \o(AC,\s\up13(→))，又|eq \o(AB,\s\up13(→))|＝eq \r(10)，eq \o(AC,\s\up13(→))＝eq \r(10)，∴|eq \o(AB,\s\up13(→))|＝|eq \o(AC,\s\up13(→))|，∴△ABC为等腰直角三角形． 答案：C 方法归纳 判断三角形的形状要两判 一判三角形三边所在的向量两两数量积的大小． 二判三角形三边边长的关系． 跟踪训练2　(1)已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，则向量a，b的夹角为(　　) A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2) (2)已知A(2,5)，B(5,2)，C(10,7)，则△ABC的形状为________． 解析：(1)由2a＋b＝(4,2)得b＝2a＋b－2a＝(4,2)－2(1,1)＝(2,0) ∴a·b＝2，|a|＝eq \r(2)，|b|＝2 设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\r(2),2)又∵θ∈[0，π]， ∴θ＝eq \f(π,4)，故选B. (2)∵eq \o(AB,\s\up13(→))＝(3,3)，eq \o(BC,\s\up13(→))＝(5,5)， ∴eq \o(AB,\s\up13(→))·eq \o(BC,\s\up13(→))＝0，∴eq \o(AB,\s\up13(→))⊥eq \o(BC,\s\up13(→))，∴∠B＝90°. 故△ABC为直角三角形． 答案：(1)B　(2)直角三角形 易错辨析　考虑不全面致错 例5　已知A(1,2)，B(4,0)，C(8,6)，D(5,8)，判断由此四点构成的四边形的形状． 解析：因为eq \o(AB,\s\up14(→))＝(4,0)－(1,2)＝(3，－2)，eq \o(DC,\s\up14(→))＝(8,6)－(5,8)＝(3，－2)， 所以eq \o(AB,\s\up14(→))＝eq \o(DC,\s\up14(→))，故四边形ABCD是平行四边形． 因为eq \o(AD,\s\up14(→))＝(5,8)－(1,2)＝(4,6)， 所以eq \o(AB,\s\up14(→))·eq \o(AD,\s\up14(→))＝3×4＋(－2)×6＝0， 所以eq \o(AB,\s\up14(→))⊥eq \o(AD,\s\up14(→))，故四边形ABCD是矩形． 因为|eq \o(AB,\s\up14(→))|＝eq \r(13)，|eq \o(AD,\s\up14(→))|＝2eq \r(13)，|eq \o(AB,\s\up14(→))|≠|eq \o(AD,\s\up14(→))|， 所以四边形ABCD不是正方形． 综上，四边形ABCD是矩形． 易错警示 易错原因 纠错心得 有的同学只求出eq \o(AB,\s\up14(→))＝eq \o(DC,\s\up14(→))，就判断四边形ABCD是平行四边形，没有进一步分析eq \o(AB,\s\up14(→))与eq \o(AD,\s\up14(→))是否垂直，以及它们的模是否相等，从而得到错误答案. 在判断图形的形状时，要从边和角两方面来考虑，从而判断出一个最准确的形状. $$