2.6.1.1余弦定理课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

2.6.1.1　余弦定理 两 b2＋c2－2bccos A a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcos C eq \f(b2＋c2－a2,2bc) 新知初探-课前预习 [教材要点] 要点一　余弦定理 文字语言 三角形中任何一边的________，等于其他两边的________减去这两边与它们夹角________的________倍 符号语言 a2＝________________， b2＝________________， c2＝________________. 推论 cos A＝________________， cos B＝________________， cos C＝________________. eq \f(a2＋c2－b2,2ac) eq \f(a2＋b2－c2,2ab) 平方 平方和 余弦的积 eq \x(状元随笔)　对余弦定理的理解 1．余弦定理对任意的三角形都成立． 2．在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量． 3．余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角． 要点二　三角形面积公式 S△ABC＝____________＝____________＝____________. eq \f(1,2)absin C　 eq \f(1,2)acsin B eq \f(1,2)bcsin A √ [基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．(　　) (2)余弦定理只适用于锐角三角形．(　　) (3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．(　　) (4)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．(　　) √ × √ 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝eq \r(3)ac，则角B的值为(　　) A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,6)或eq \f(5π,6) D.eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) 解析：由余弦定理的推论知cos B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(\r(3)ac,2ac)＝eq \f(\r(3),2)，又0<B<π，故B＝eq \f(π,6). 答案：A 3．在△ABC中，已知a＝2eq \r(3)，b＝3，C＝30°，则c＝________. 解析：由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋9－2×2eq \r(3)×3×eq \f(\r(3),2)＝3 ∴c＝eq \r(3). 答案：eq \r(3) 题型一　利用余弦定理解三角形——微点探究 微点1　已知两边及一角解三角形 例1　(1)在△ABC中，若AB＝2，AC＝3，A＝60°，则BC的长为(　　) A.eq \r(19) B.eq \r(13) C．3 D.eq \r(7) (2)在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2eq \r(3)，b＝eq \r(6)，A＝45°，则c＝________. 解析：(1)由题意，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，A＝60°， 由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝4＋9－6＝7，则BC＝eq \r(7)，故选D. (2)在△ABC中，根据余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，即c2－2eq \r(3)c－6＝0， 所以c＝eq \r(3)±3. 因为c>0，所以c＝eq \r(3)＋3. 答案：(1)D　(2)3＋eq \r(3) 方法归纳 1．已知两边及其中一边的对角解三角形的方法 用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． 2．已知两边及其夹角解三角形的方法 首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角． 微点2　已知三角形三边及其关系 例2　(1)已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝eq \r(2)，b＝eq \r(2)，c＝2，则角A等于(　　) A．90° B．60° C．30° D．45° (2)在△ABC中，已知a:b:c＝2:eq \r(6) : (eq \r(3)＋1)，则A＝________，B＝________，C＝________. 解析：(1)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A 得：cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(2＋4－2,2×\r(2)×2)＝eq \f(\r(2),2)， ∴A＝45°. (2)已知abc＝2eq \r(6)(eq \r(3)＋1)， 令a＝2k，b＝eq \r(6)k，c＝(eq \r(3)＋1)k(k>0)． 由余弦定理，得cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(6k2＋\r(3)＋12k2－4k2,2×\r(6)k×\r(3)＋1k)＝eq \f(\r(2),2)， cos B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(4k2＋\r(3)＋12k2－6k2,2×2k×\r(3)＋1k)＝eq \f(1,2)， ∴A＝45°，B＝60°.∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°. 答案：(1)D　(2)45°　60°　75° 方法归纳 (1)余弦定理及其推论在结构上有所不同，因此在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择； (2)由于余弦函数在区间(0，π)内是单调的，因此由余弦定理的推论可知，由任意一个内角的余弦值确定的角是唯一的，因此用余弦定理求三角形内角时不必进行分类讨论． 跟踪训练1　(1)在△ABC中，已知a＝8，B＝30°，b＝4，则c等于(　　) A.eq \r(3) B．2eq \r(3) C．3eq \r(3) D．4eq \r(3) (2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋eq \r(2)ac，则角B的大小是(　　) A．45° B．60° C．90° D．135° (3)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝C，2b＝eq \r(3)a，则cos A＝________. 解析：(1)在△ABC中，由余弦定理得： b2＝a2＋c2－2accos B 即16＝64＋c2－16c×cos 30° 即c2－8eq \r(3)c＋48＝0 解得c＝4eq \r(3). 故选D. (2)由已知得a2＋c2－b2＝eq \r(2)ac， 所以cos B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(\r(2)ac,2ac)＝eq \f(\r(2),2)， 又0°<B<180°，所以B＝45°. (3)由已知得，2b＝2c＝eq \r(3)a 于是可设a＝2k(k>0) 则b＝eq \r(3)k，c＝eq \r(3)k， 所以cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\r(3)k2＋\r(3)k2－4k2,2×\r(3)k×\r(3)k)＝eq \f(6－4,6)＝eq \f(1,3). 答案：(1)D　(2)A　(3)eq \f(1,3) 题型二　判断三角形的形状——师生共研 例3　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝acos B＋bcos A，则△ABC的形状为(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 解析：∵a＝acos B＋bcos A， ∴由余弦定理可得a＝a·eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＋b·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)， 整理可得a＝c，则△ABC的形状为等腰三角形．故选D. 答案：D 变式探究　将本例中的条件改为“acos B＝bcos A”，则三角形ABC的形状是________． 解析：利用余弦定理得： a×eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝b×eq \f(b2＋c2－a2,2bc) 即a2＋c2－b2＝b2＋c2－a2 整理得a2＝b2，∴a＝b 故△ABC为等腰三角形． 方法归纳 利用余弦定理推断三角形形状时，采用角化边进行化简． 题型三　余弦定理与三角形面积公式的应用——师生共研 例4　四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2. (1)求C和BD； (2)求四边形ABCD的面积． 解析：(1)由题设及余弦定理得 BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C＝13－12cos C　①， BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcos A＝5＋4cos C　②. 由①②得cos C＝eq \f(1,2)，故C＝60°，BD＝eq \r(7). (2)四边形ABCD的面积S＝eq \f(1,2)AB·DAsin A＋eq \f(1,2)BC·CDsin C ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×2＋\f(1,2)×3×2))sin 60° ＝2eq \r(3). eq \x(状元随笔)　(1)根据内角A，C互补，利用余弦定理列出关于角C和BD的方程组，即可求出角C和BD； (2)利用三角形面积公式可得S四边形ABCD ＝S△ABD＋S△BCD ＝eq \f(1,2)AB·ADsin A ＋eq \f(1,2)BC·CDsin C，即可求得四边形ABCD的面积． 方法归纳 给出三角形的两边及其夹角可求三角形的面积，反过来，给出三角形的面积，利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式． 三角形面积公式的选取取决于三角形中哪个角可求或三角形哪个角的正弦值可求． 跟踪训练2　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且c＝2，C＝eq \f(π,3)，S△ABC＝eq \r(3)，求a，b. 解析：由余弦定理，得a2＋b2－ab＝4　①，又△ABC的面积等于eq \r(3)，所以eq \f(1,2)absin C＝eq \r(3)，得ab＝4　②， 联立①②得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＋b2－ab＝4，,ab＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝2.)) 易错辨析　忽略构成三角形的条件出错 例5　已知2a＋1，a,2a－1是钝角三角形的三边，则实数a的取值范围为________． 解析：∵2a＋1，a,2a－1是三角形的三边 ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＋1>0，,a>0，,2a－1>0，))解得a>eq \f(1,2). 要使2a＋1，a,2a－1 构成三角形，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＋1＋a>2a－1，,a＋2a－1>2a＋1，,2a＋1＋2a－1>a，)) 解得a>2. 由题知2a＋1是三角形的最大边，设其对应的角为θ(钝角)， 则cos θ＝eq \f(a2＋2a－12－2a＋12,2a2a－1)<0， ∴a2＋(2a－1)2－(2a＋1)2<0，即a2－8a<0，解得0<a<8. 又a>2，∴a的取值范围为(2,8)． 答案：(2,8) 易错警示 易错原因 纠错心得 a>eq \f(1,2)只能保证2a＋1，a,2a－1都是正数，而要表示三角形的三边，还需满足三角形的隐含条件“两边之和大于第三边”. 由于余弦定理的变形较多，且涉及平方和开方等运算，易因不细心而导致错误．在利用余弦定理求三角形的三边时，除了要保证三边长均为正数，还要判断一下三边能否构成三角形. $$