2.5.1向量的数量积课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

2.5.1　向量的数量积 0 |a|cos θ　 |b|cos θ [教材要点] 要点　向量的数量积 　　　　　 |a||b|cos θ a·b |a||b|cos θ a∥b　 b·a λ(a·b) a·(λb) a·c＋b·c |a|cos〈a，e〉 a·b eq \r(a·a) eq \f(a·b,|a||b|) 　关于向量数量积应注意的问题 (1)若向量eq \o(a,\s\up14(→))与eq \o(b,\s\up14(→))的夹角为θ，θ＝0时，eq \o(a,\s\up14(→))与eq \o(b,\s\up14(→))同向；θ＝π时，eq \o(a,\s\up14(→))与eq \o(b,\s\up14(→))反向；θ＝eq \f(π,2)时，eq \o(a,\s\up14(→))⊥eq \o(b,\s\up14(→)). (2)求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，需平移． (3)向量的数量积结果是一个数量，符号由cosθ的符号所决定，而向量的加减法和实数与向量的积的结果仍是向量． (4)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替． × √ [基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两向量的数量积仍是一个向量．(　　) (2)设非零向量a与b的夹角为θ，则cos θ>0⇔a·b>0.(　　) (3)对于向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　) (4)对于任意向量a，b，总有(a·b)2＝a2·b2.(　　) (5)若a，b，c为非零向量，|a|＝|b|，则|a·c|＝|b·c|.(　　) (6)若两个非零向量a，b满足a⊥b，则|a＋b|＝|a－b|.(　　) × √ × × 2．已知单位向量a，b的夹角为60°，则a·b＝(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C．1 D．－eq \f(1,2) 解析：由向量的数量积公式a·b＝|a||b|cos θ＝1×1×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2). 答案：A 3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝(　　) A.eq \r(7) B.eq \r(10) C.eq \r(13) D．4 解析：|a＋3b|2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6×cos 60°＋9＝13， 所以|a＋3b|＝eq \r(13). 答案：C 4．若|a|＝6eq \r(3)，|b|＝1，a·b＝－9，则a与b的夹角是________. 解析：设a与b的夹角为θ. ∵a·b＝|a||b|cos θ， ∴cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－9,6\r(3)×1)＝－eq \f(\r(3),2). 又θ∈[0，π]， ∴θ＝eq \f(5π,6). 答案：eq \f(5π,6) 题型一　向量数量积的计算及其几何意义——自主完成 1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2×1－(－1)＝3. 答案：B 2．在边长为1的正三角形ABC中，设eq \o(BC,\s\up14(→))＝2eq \o(BD,\s\up14(→))，eq \o(CA,\s\up14(→))＝3eq \o(CE,\s\up14(→))，则eq \o(AD,\s\up14(→))·eq \o(BE,\s\up14(→))＝________. 解析：由已知得eq \o(AD,\s\up13(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(AC,\s\up13(→)))，eq \o(AE,\s\up13(→))＝eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up13(→))，eq \o(BE,\s\up13(→))＝eq \o(BA,\s\up13(→))＋eq \o(AE,\s\up13(→))＝eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up13(→))－eq \o(AB,\s\up13(→))，所以eq \o(AD,\s\up13(→))·eq \o(BE,\s\up13(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(AC,\s\up13(→)))·(eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up13(→))－eq \o(AB,\s\up13(→)))＝eq \f(1,2)×(eq \f(2,3)|eq \o(AC,\s\up13(→))|2－|eq \o(AB,\s\up13(→))|2－eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up13(→))·eq \o(AC,\s\up13(→)))＝eq \f(1,2)×(eq \f(2,3)－1－eq \f(1,3)cos 60°)＝－eq \f(1,4). 答案：－eq \f(1,4) 3．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，则a在b方向上的投影为________，b在a方向上的投影为________． 解析：设a与b的夹角为θ，则有a·b＝|a|·|b|cos θ＝－12，所以向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos θ＝eq \f(a·b,|b|)＝eq \f(－12,5)＝－eq \f(12,5)；向量b在向量a方向上的投影为|b|·cos θ＝eq \f(a·b,|a|)＝eq \f(－12,3)＝－4. －eq \f(12,5) －4 方法归纳 向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键． (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算． 题型二　求向量的模——师生共研 例1　(1)已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝(　　) A.eq \r(3)　　　　B．2eq \r(3)　　　　C．4　　　　D．12 解析：(1)|a＋2b|＝ eq \r(a＋2b2)＝ eq \r(a2＋4a·b＋4b2) ＝eq \r(|a|2＋4|a||b|cos 60°＋4|b|2) ＝eq \r(4＋4×2×1×\f(1,2)＋4) ＝2eq \r(3). 答案：B (2)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝eq \f(\r(3),2)，a与b的夹角为60°，则|b|＝(　　) A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,5) D.eq \f(1,4) 解析：(2)由题意得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos 60°＝eq \f(3,4)，即1＋|b|2－|b|＝eq \f(3,4)，解得|b|＝eq \f(1,2). 答案：B　 先由|eq \o(a,\s\up14(→))|＝|eq \o(a,\s\up14(→))＋eq \o(b,\s\up14(→))|寻找|eq \o(a,\s\up14(→))|与|eq \o(b,\s\up14(→))|的关系． (3)设非零向量a与b的夹角是eq \f(5π,6)，且|a|＝|a＋b|，则eq \f(|2a＋tb|,|b|)的最小值是________． 解析：(3)∵非零向量a与b的夹角是eq \f(5π,6)，且|a|＝|a＋b|， ∴|a|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos eq \f(5π,6)， ∴|b|2－eq \r(3)|a||b|＝0.∵|b|≠0，∴|b|＝eq \r(3)|a|， ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|2a＋tb|,|b|)))2＝eq \f(4|a|2＋t2|b|2＋4ta·b,|b|2)＝eq \f(4|a|2＋t2·3|a|2－6t|a|2,3|a|2) ＝t2－2t＋eq \f(4,3)＝(t－1)2＋eq \f(1,3)， ∴当t＝1时，eq \f(|2a＋tb|,|b|)取得最小值，最小值是eq \r(\f(1,3))＝eq \f(\r(3),3). 答案： eq \f(\r(3),3) 方法归纳 求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq \r(a2)，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 跟踪训练1　(1)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为eq \f(π,3)，则|4a－b|＝(　　) A．2 B．6 C．2eq \r(3) D．12 (2)设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，|a|＝1，则|b|＝________； (3)已知向量a是与单位向量b夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t，|ta－b|的最小值是________． 解析：(1)由已知得a·b＝|a||b|cos eq \f(π,3)＝1×2×eq \f(1,2)＝1，则|4a－b|＝ eq \r(16a2－8a·b＋b2)＝eq \r(16－8＋4)＝2eq \r(3)，故选C. (2)因为a＋b＋c＝0，所以c＝－(a＋b)． 因为(a－b)⊥c，所以c·(a－b)＝0， 所以－(a＋b)·(a－b)＝0， 所以a2－b2＝0，所以|b|＝|a|＝1. (3)∵a·b＝|a|cos 60°＝eq \f(1,2)|a|，∴|ta－b|＝ eq \r(t2a2－2ta·b＋b2)＝eq \r(t2a2－t|a|＋1).设x＝t|a|(x∈R)，则|ta－b|＝eq \r(x2－x＋1)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))≥eq \r(\f(3,4))＝eq \f(\r(3),2). 答案：(1)C　(2)1　(3)eq \f(\r(3),2) 题型三　向量的夹角与垂直问题——微点探究 微点1　求向量的夹角 例2　已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝2e1＋e2与b＝2e2－3e1的夹角θ. 先求|eq \o(a,\s\up14(→))|、|eq \o(b,\s\up14(→))|及eq \o(a,\s\up14(→))·eq \o(b,\s\up14(→)). 解析：∵e1·e2＝|e1||e2|cos 60°＝cos 60°＝eq \f(1,2)， ∴a·b＝(2e1＋e2)·(2e2－3e1) ＝－6eeq \o\al(2,1)＋e1·e2＋2eeq \o\al(2,2)＝－eq \f(7,2). 又∵a2＝(2e1＋e2)2＝4eeq \o\al(2,1)＋4e1·e2＋eeq \o\al(2,2)＝7， b2＝(2e2－3e1)2＝4eeq \o\al(2,2)－12e1·e2＋9eeq \o\al(2,1)＝7， ∴|a|＝|b|＝eq \r(7)， 则cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－\f(7,2),\r(7)×\r(7))＝－eq \f(1,2). ∵0≤θ≤π，∴θ＝eq \f(2,3)π. 变式探究　将本例中的条件改为“|a|＝1，a·b＝eq \f(1,2)，(a－b)(a＋b)＝eq \f(1,2)”，求a与b的夹角． 解析：因为(a－b)·(a＋b)＝eq \f(1,2)，所以|a|2－|b|2＝eq \f(1,2).又因为|a|＝1，所以|b|＝eq \r(|a|2－\f(1,2))＝eq \f(\r(2),2)，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(\f(1,2),1×\f(\r(2),2))＝eq \f(\r(2),2).又因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq \f(π,4). 方法归纳 求向量a，b的夹角θ有两步：第一步，利用公式cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)求cos θ；第二步，根据θ∈[0，π]确定θ.而求cos θ有两种情形，一种是求出a·b，|a|，|b|的值；另一种是得到a·b，|a|，|b|之间的关系分别代入公式计算． 微点2　已知两向量的夹角求相关参数的值 例3　已知两个向量a，b的夹角为30°，|a|＝eq \r(3)，b为单位向量，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________. 解析：因为向量a，b的夹角为30°，|a|＝eq \r(3)，b为单位向量， 所以a·b＝|a||b|cos 30°＝eq \r(3)×1×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3,2)， 由于c＝ta＋(1－t)b，b·c＝0，则ta·b＋(1－t)b2＝0， 即eq \f(3,2)t＋1－t＝0，解得t＝－2. 答案：－2 微点3　向量垂直的问题 例4　已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝ma－2b.求当m为何值时，c与d垂直． 解析：由已知得a·b＝2×1×cos 60°＝1. 若c⊥d，则c·d＝0，∴c·d＝(a＋5b)·(ma－2b)＝ma2＋(5m－2)a·b－10b2＝4m＋5m－2－10＝9m－12＝0，解得m＝eq \f(4,3). 故当m＝eq \f(4,3)时，c与d垂直． 方法归纳 向量垂直问题的处理思路 解决与垂直相关题目的依据是a⊥b⇔a·b＝0，利用数量积的运算律代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题． 跟踪训练2　(1)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　) A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6) (2)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－eq \r(5)b，则cos 〈a，c〉＝________. 解析：(1)方法一(向量的代数运算)　由(a－b)·b＝0，得a·b＝|b|2， ∴|a||b|cos 〈a，b〉＝|b|2，∵|a|＝2|b|，∴2|b|2cos 〈a，b〉＝|b|2，即cos 〈a，b〉＝eq \f(1,2)，又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝eq \f(π,3). 方法二(数形结合，聚焦图形特征)　如图，设eq \o(OA,\s\up13(→))＝a，eq \o(OB,\s\up13(→))＝b，则eq \o(BA,\s\up13(→))＝a－b，又(a－b)⊥b，∴B＝eq \f(π,2)，|eq \o(OA,\s\up13(→))|＝2|eq \o(OB,\s\up13(→))|，∴∠AOB＝eq \f(π,3)，即〈a，b〉＝eq \f(π,3). (2)易知c2＝(2a－eq \r(5)b)2即c2＝4a2－4eq \r(5)a·b＋5b2＝9， ∴|c|＝3. ∴cos 〈a，c〉＝eq \f(a·c,|a||c|)＝eq \f(a·2a－\r(5)b,|a||c|)＝eq \f(2×1－\r(5)×0,1×3)＝eq \f(2,3). 答案：(1)B　(2)eq \f(2,3) 易错辨析　忽视向量共线的特殊情况出错 例5　设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，求实数t的取值范围． 解析：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得 cos θ＝eq \f(2te1＋7e2·e1＋te2,|2te1＋7e2|·|e1＋te2|)<0， ∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，化简得2t2＋15t＋7<0. 解得－7<t<－eq \f(1,2). 当向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为180°时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角． 设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2t＝λ，,7＝λt，,λ<0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝－\r(14)，,t＝－\f(\r(14),2).)) ∴所求实数t的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－7，－\f(\r(14),2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(14),2)，－\f(1,2))). 易错警示 易错原因 纠错心得 (2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0包括了向量共线反向的情况，若忽视了这种情况，就得到了错误的答案eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－7，－\f(1,2))) 若两向量的夹角为钝角，则这两向量的数量积为负，反之不成立．所以解题时注意结论的应用. $$