浙江省宁波市江北区2023-2024学年七年级下学期期末数学试卷

2023-2024学年浙江省宁波市江北区七年级（下）期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）为配合全科大阅读活动，学校团委对全校学生阅读兴趣调查的数据进行整理．欲反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是（　　） A．条形统计图 B．频数分布直方图 C．折线统计图 D．扇形统计图 2．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞1 B．x＜1 C．x≠1 D．x≠0 3．（3分）科学家发现人体最小的细胞是淋巴细胞，直径约为0.0000061米，将数据0.0000061用科学记数法表示正确的是（　　） A．6.1×10﹣5 B．0.61×10﹣5 C．6.1×10﹣6 D．0.61×10﹣6 4．（3分）计算a6÷（﹣a2）的结果是（　　） A．a3 B．a4 C．﹣a3 D．﹣a4 5．（3分）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2+4y2 B．﹣x2+4y2 C．x2﹣2y+1 D．﹣x2﹣4y2 6．（3分）若方程组用代入法消去x，所得关于y的一元一次方程为（　　） A．3﹣2y﹣1﹣4y＝2 B．3（1﹣2y）﹣4y＝2 C．3（2y﹣1）﹣4y＝2 D．3﹣2y﹣4y＝2 7．（3分）已知直线a∥b，将一块含60°角的直角三角板按如图方式放置，其中60°角的顶点在直线a上，30°角的顶点在直线b上，若∠1＝40°，则∠2的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 8．（3分）已知关于x的二次三项式x2+mx﹣n分解因式的结果为（x﹣4）•（x﹣2），则m和n的值分别是（　　） A．m＝8，n＝2 B．m＝﹣6，n＝﹣8 C．m＝6，n＝8 D．m＝﹣8，n＝﹣2 9．（3分）已知a是实数，若分式方程＝1无解，则a的值为（　　） A．6 B．3 C．0 D．﹣3 10．（3分）若A＝（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+2，则A的末位数字是（　　） A．6 B．7 C．3 D．5 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．（3分）计算：20＝　 　． 12．（3分）将容量为100的样本分成3个组，第一组的频数是30，第二组的频率是0.4，那么第三组的频率是 　 　． 13．（3分）如果两数x，y满足，那么x﹣y＝　 　． 14．（3分）因式分解：x2y﹣16y 　 　． 15．（3分）A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程 　 　． 16．（3分）如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于　 　． 17．（3分）已知，x2+4x﹣4＝0，则3（x﹣2）2﹣6（x+1）（x﹣1）的值为 　 　． 18．（3分）如图所示，长方形中放入5张长为x，宽为y的相同的小长方形，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为54，大长方形的周长为42，则一张小长方形的面积为 　 　． 三、解答题（共46分） 19．（8分）计算： （1）（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）； （2）先化简，再求值：，再从0，1，2三个数中选一个代入求值． 20．（8分）解方程（组）： （1）； （2）． 21．（6分）某中学为了了解学生每天完成家庭作业所用时间的情况，从每班抽取相同数量的学生进行调查，并将所得数据进行整理，制成条形统计图和扇形统计图如图： （1）补全条形统计图； （2）求扇形统计图扇形D的圆心角的度数； （3）若该中学有2000名学生，请估计其中有多少名学生能在1.5小时内完成家庭作业？ 22．（8分）已知：如图点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM，CE⊥CD． （1）若∠O＝50°，求∠BCD的度数； （2）求证：CE平分∠OCA． 23．（8分）学校捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 （1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （2）为了节省运费，该学校打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？ 24．（8分）阅读材料 若两个正数a，b，则有下面不等式，当a＝b时取等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 不等式可以变形为不等式，当且仅当a＝b时取到等号．（a，b均为正数） 例：已知x＞0，求的最小值． 解：由得，当且仅当，即x＝1时，有最小值，最小值为2． 根据上面材料回答下列问题： （1）5+6 　 　；6+6 　 　；（用“＝”“＜”“＞”填空） （2）当x＞0，则的最小值为 　 　，此时x＝　 　； （3）当x＞2，则的最小值为 　 　； （4）用篱笆围一个面积为100m2的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短篱笆是多少？ 2023-2024学年浙江省宁波市江北区七年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）为配合全科大阅读活动，学校团委对全校学生阅读兴趣调查的数据进行整理．欲反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是（　　） A．条形统计图 B．频数分布直方图 C．折线统计图 D．扇形统计图 【分析】根据题意，需要反映部分与总体的关系，故最适合的统计图是扇形统计图． 【解答】解：欲反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是扇形统计图． 故选：D． 2．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞1 B．x＜1 C．x≠1 D．x≠0 【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义． 【解答】解：根据题意得：x﹣1≠0， 解得：x≠1． 故选：C． 3．（3分）科学家发现人体最小的细胞是淋巴细胞，直径约为0.0000061米，将数据0.0000061用科学记数法表示正确的是（　　） A．6.1×10﹣5 B．0.61×10﹣5 C．6.1×10﹣6 D．0.61×10﹣6 【分析】根据科学记数法的一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【解答】解：0.0000061＝6.1×10﹣6， 故选：C． 4．（3分）计算a6÷（﹣a2）的结果是（　　） A．a3 B．a4 C．﹣a3 D．﹣a4 【分析】利用同底数幂的除法的法则进行运算即可． 【解答】解：a6÷（﹣a2） ＝﹣a6﹣2 ＝﹣a4． 故选：D． 5．（3分）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2+4y2 B．﹣x2+4y2 C．x2﹣2y+1 D．﹣x2﹣4y2 【分析】能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差． 【解答】解：A．x2+4y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式； B．﹣x2+4y2是2y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式； C．x2﹣2y+1是三项不能用平方差公式分解因式； D．﹣x2﹣4y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式． 故选：B． 6．（3分）若方程组用代入法消去x，所得关于y的一元一次方程为（　　） A．3﹣2y﹣1﹣4y＝2 B．3（1﹣2y）﹣4y＝2 C．3（2y﹣1）﹣4y＝2 D．3﹣2y﹣4y＝2 【分析】根据代入消元法将②代入①得，3（2y﹣1）﹣4y＝2，即可求解． 【解答】解：， 将②代入①得，3（2y﹣1）﹣4y＝2． 故选：C． 7．（3分）已知直线a∥b，将一块含60°角的直角三角板按如图方式放置，其中60°角的顶点在直线a上，30°角的顶点在直线b上，若∠1＝40°，则∠2的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】先作出辅助线，由两直线平行内错角相等，得出∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，则可得出结果． 【解答】解：如图： 作c∥a， ∵a∥b， ∴a∥b∥c， ∴∠1＝∠4，∠2＝∠3， ∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣40°＝50°， 故选：C． 8．（3分）已知关于x的二次三项式x2+mx﹣n分解因式的结果为（x﹣4）•（x﹣2），则m和n的值分别是（　　） A．m＝8，n＝2 B．m＝﹣6，n＝﹣8 C．m＝6，n＝8 D．m＝﹣8，n＝﹣2 【分析】先根据多项式乘多项式法则计算（x﹣4）（x﹣2），然后根据关于x的二次三项式x2+mx﹣n分解因式的结果为（x﹣4）•（x﹣2），列出关于m，n的方程，解方程即可． 【解答】解：（x﹣4）（x﹣2） ＝x2﹣2x﹣4x+8 ＝x2﹣6x+8， ∵关于x的二次三项式x2+mx﹣n分解因式的结果为（x﹣4）（x﹣2）， ∴m＝﹣6，﹣n＝8，即m＝﹣6，n＝﹣8， 故选：B． 9．（3分）已知a是实数，若分式方程＝1无解，则a的值为（　　） A．6 B．3 C．0 D．﹣3 【分析】根据解分式方程的方法和关于x的分式方程＝1无解，可以求得相应a的值，本题得以解决． 【解答】解：＝1， 方程两边同乘以x+2，得3x+a＝x+2， 移项及合并同类项，得 2x＝2﹣a， ∵关于x的分式方程＝1无解， ∴x+2＝0，解得x＝﹣2． ∴2﹣a＝﹣4，解得a＝6． 故选：A． 10．（3分）若A＝（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+2，则A的末位数字是（　　） A．6 B．7 C．3 D．5 【分析】先把已知等式变成A＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+2，然后利用完全平方公式进行计算，最后根据底数是2的幂的计算结果，找出末位数字的规律，按照此规律求出答案即可． 【解答】解：A＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+2 ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+2 ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）+2 ＝（28﹣1）（28+1）（216+1）+2 ＝（216﹣1）（216+1）+2 ＝232﹣1+2 ＝232+1， ∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64…， ∴末位数字分别为2，4，8，6，每四个一循环， ∵32÷4＝8， ∴232的末位数字为6， ∴232+1 的末位数字为7， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．（3分）计算：20＝　1　． 【分析】直接根据非0数的0次幂等于1进行解答． 【解答】解：∵2≠0， ∴20＝1． 故答案为：1． 12．（3分）将容量为100的样本分成3个组，第一组的频数是30，第二组的频率是0.4，那么第三组的频率是 　0.3　． 【分析】根据频率＝频数÷总次数，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： 30÷100＝0.3， ∴1﹣0.3﹣0.4＝0.3， ∴第三组的频率是0.3， 故答案为：0.3． 13．（3分）如果两数x，y满足，那么x﹣y＝　2　． 【分析】直接用②﹣①即可进行解答． 【解答】解：， ②﹣①得：x﹣y＝2， 故答案为：2． 14．（3分）因式分解：x2y﹣16y 　＝y（x﹣4）（x+4）　． 【分析】先提出公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【解答】解：x2y﹣16y＝y（x2﹣16）＝y（x﹣4）（x+4）． 故答案为：y（x﹣4）（x+4）． 15．（3分）A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程 　﹣＝　． 【分析】直接利用甲车比乙车早半小时到达目的地得出等式即可． 【解答】解：设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程： ﹣＝． 故答案为：﹣＝． 16．（3分）如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于　75°　． 【分析】由图形可得AD∥BC，可得∠CBF＝30°，由于翻折可得两个角是重合的，于是利用平角的定义列出方程可得答案． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠CBF＝∠DEF＝30°， ∵AB为折痕， ∴2∠α+∠CBF＝180°， 即2∠α+30°＝180°， 解得∠α＝75°． 故答案为：75°． 17．（3分）已知，x2+4x﹣4＝0，则3（x﹣2）2﹣6（x+1）（x﹣1）的值为 　6　． 【分析】根据完全平方公式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后对式子x2+4x﹣4＝0变形，即可解答． 【解答】解：3（x﹣2）2﹣6（x+1）（x﹣1） ＝3x2﹣12x+12﹣6x2+6 ＝﹣3x2﹣12x+18， ∵x2+4x﹣4＝0， ∴x2+4x＝4， ∴原式＝﹣3（x2+4x）+18＝﹣3×4+18＝6． 故答案为：6． 18．（3分）如图所示，长方形中放入5张长为x，宽为y的相同的小长方形，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为54，大长方形的周长为42，则一张小长方形的面积为 　11　． 【分析】由小长方形的长为x，宽为y得出大长方形的长为2x+y、宽为x+2y，根据大长方形的周长为42和阴影部分的面积为54可分别得出等式，化简整理后得x+y＝7，x2+y2＝27，最后利用完全平方公式求xy即可． 【解答】解：由题意易得大长方形的长为2x+y、宽为x+2y， ∵大长方形的周长为42， ∴2x+y+x+2y＝＝21，整理得x+y＝7， 又∵阴影部分的面积为54， ∴（2x+y）（x+2y）﹣5xy＝54，整理得x2+y2＝27， 将x+y＝7两边平方，得x2+2xy+y2＝49， ∴27+2xy＝49，解得xy＝11， 即一张小长方形的面积为11． 故答案为：11． 三、解答题（共46分） 19．（8分）计算： （1）（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）； （2）先化简，再求值：，再从0，1，2三个数中选一个代入求值． 【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可； （2）先算乘法，再算加法，然后从0，1，2三个数中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解：（1）（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1） ＝x2+4x+4﹣x2+1 ＝4x+5； （2） ＝•+ ＝+ ＝， ∵当a＝0或2时，原分式无意义， ∴a＝1， 当a＝1时，原式＝＝． 20．（8分）解方程（组）： （1）； （2）． 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：（1）， ①+②得：4x＝8， 解得：x＝2， 将x＝2代入②得：2+2y＝6， 解得：y＝2， 故原方程组的解为； （2）原方程去分母得：2﹣x+1＝2x﹣6， 解得：x＝3， 检验：当x＝3时，x﹣3＝0， 则x＝3是分式方程的增根， 故原方程无解． 21．（6分）某中学为了了解学生每天完成家庭作业所用时间的情况，从每班抽取相同数量的学生进行调查，并将所得数据进行整理，制成条形统计图和扇形统计图如图： （1）补全条形统计图； （2）求扇形统计图扇形D的圆心角的度数； （3）若该中学有2000名学生，请估计其中有多少名学生能在1.5小时内完成家庭作业？ 【分析】（1）根据A类的人数是10，所占的百分比是25%即可求得总人数，然后根据百分比的意义求得B类的人数； （2）用360°乘以对应的比例即可求解； （3）用总人数乘以对应的百分比即可求解． 【解答】解：（1）抽取的总人数是：10÷25%＝40（人）， 在B类的人数是：40×30%＝12（人）． ； （2）扇形统计图扇形D的圆心角的度数是：360×＝27°； （3）能在1.5小时内完成家庭作业的人数是：2000×（25%+30%+35%）＝1800（人）． 22．（8分）已知：如图点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM，CE⊥CD． （1）若∠O＝50°，求∠BCD的度数； （2）求证：CE平分∠OCA． 【分析】（1）由平行线的性质推出∠MCB＝∠O＝50°，由邻补角的性质得到∠ACM＝180°﹣50°＝130°，由角平分线定义得到∠DCM＝65°，于是得到∠BCD＝∠DCM+∠MCB＝115°． （2）由垂直的定义得到∠ACE+∠DCA＝90°，由平角定义得到∠ECO+∠DCM＝90°，由余角的性质推出∠ACE＝∠ECO，即可证明CE平分∠OCA． 【解答】解：（1）∵AB∥ON， ∴∠MCB＝∠O＝50°， ∠ACM+∠MCB＝180°， ∴∠ACM＝180°﹣50°＝130°， ∵CD平分∠ACM， ∴∠DCM＝65°， ∴∠BCD＝∠DCM+∠MCB＝65°+50°＝115°； （2）证明：∵CE⊥CD， ∴∠ACE+∠DCA＝90°， ∵∠MCO＝180°， ∴∠ECO+∠DCM＝90°， ∵∠DCA＝∠DCM， ∴∠ACE＝∠ECO， ∴CE平分∠OCA． 23．（8分）学校捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 （1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （2）为了节省运费，该学校打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？ 【分析】（1）设需甲车x辆，乙车y辆列出方程组即可． （2）设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（14﹣a﹣b）辆，列出等式． 【解答】解：（1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据题意得 ， 解得． 答：需甲种车型为8辆，乙种车型为10辆． （2）设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（14﹣a﹣b）辆，由题意得 5a+8b+10（14﹣a﹣b）＝120， 化简得5a+2b＝20， 即a＝4﹣b， ∵a、b、14﹣a﹣b均为正整数， ∴b只能等于5，从而a＝2，14﹣a﹣b＝7， ∴甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆， ∴需运费400×2+500×5+600×7＝7500（元）． 答：甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，需运费7500元． 24．（8分）阅读材料 若两个正数a，b，则有下面不等式，当a＝b时取等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 不等式可以变形为不等式，当且仅当a＝b时取到等号．（a，b均为正数） 例：已知x＞0，求的最小值． 解：由得，当且仅当，即x＝1时，有最小值，最小值为2． 根据上面材料回答下列问题： （1）5+6 　＞　；6+6 　＝　；（用“＝”“＜”“＞”填空） （2）当x＞0，则的最小值为 　6　，此时x＝　3　； （3）当x＞2，则的最小值为 　8　； （4）用篱笆围一个面积为100m2的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短篱笆是多少？ 【分析】（1）根据，代入即可作答； （2）根据，代入即可作答； （3）把x﹣2看成整体，即t＝x﹣2，则x＝t+2，进而推出＝t+2+＝t++2≥2，当且仅当t＝，即t＝3时，有最小值，进而作答即可； （4）设这个长方形的长为x cm，宽为y m，由，得：x+y＞2，进而作答即可． 【解答】解：（1）∵，5＞0，6＞0， ∴5+6≥， ∵5≠6， ∴5+6＞； ∵，6＞0， ∴6+6≥， ∵6＝6， ∴6+6＝； 故答案为＞，＝； （2）∵x＞0， 由， 得≥2＝2×3＝6， 当且仅当x＝，即x＝3时，有最小值，最小值为6， 故答案为：6，3； （3）∵x＞2， ∴x﹣2＞0， 把x﹣2看成整体， 即t＝x﹣2， ∴x＝t+2， ∴＝t+2+＝t++2≥2+2＝2×3+2＝6+2＝8， 当且仅当t＝，即t＝3时，有最小值，最小值为8， 故答案为：8； （4）设这个长方形的长为x cm，宽为y m， 由题意得：xy＝100， 由， 得：x+y＞2＝2×＝20， 当且仅当x＝y时，即x＝10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m， ∴这个长方形的长、宽为10m时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m． 学科网（北京）股份有限公司 $$