4.2简单幂函数的图象和性质同步练习-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）必修第一册

4.2　简单幂函数的图象和性质 一、必备知识基础练 1.[探究点二]函数y=-1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　) 2.[探究点四]在下列幂函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　) A.f(x)=x-1 B.f(x)=x-2 C.f(x)=x3 D.f(x)= 3.[探究点一](多选题)下列说法错误的是(　　) A.幂函数的图象不经过第四象限 B.y=x0的图象是一条直线 C.若函数y=的定义域为{x|x>2},则它的值域为yy< D.若函数y=x2的值域是{y|0≤y≤4},则它的定义域一定是{x|-2≤x≤2} 4.[探究点四]当x∈(1,+∞)时,函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,则α的取值范围是(　　) A.(0,1) B.(-∞,0) C.(-∞,1) D.(1,+∞) 5.[探究点二]幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则(　　) A.-1<n<0<m<1 B.n<-1,0<m<1 C.-1<n<0,m>1 D.n<-1,m>1 6.[探究点三]若(a+1<(3-2a,则a的取值范围是　　　　　.  7.[探究点四]已知幂函数f(x)=(m∈Z)的图象关于y轴对称,并且f(x)在第一象限内是单调递减函数,则m=　　　　　.  8.[探究点一、四]已知幂函数f(x)=(m-1)2xm2-4m+2在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x-k. (1)求m的值; (2)当x∈[1,2]时,记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B,若A∪B=A,求实数k的取值范围. 二、关键能力提升练 9.(多选题)下列不等式在a<b<0的条件下成立的是(　　) A.a-1>b-1 B. C.b2<a2 D. 10.(多选题)已知函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),则下列结论正确的有(　　) A.函数f(x)为增函数 B.函数f(x)为偶函数 C.若x>1,则f(x)>1 D.若0<x1<x2,则<f 11.已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值(　　) A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断 12.(多选题)已知实数a,b满足等式,则下列关系式可能成立的是(　　) A.0<b<a<1 B.-1<a<b<0 C.1<a<b D.a=b 13.已知幂函数f(x)=(2m2-6m+5)xm+1为偶函数. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若函数y=f(x)-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a的取值范围. 三、学科素养创新练 14.[2024四川成都高一月考]已知点B,2在幂函数f(x)=xm(m≠0)的图象上,对任意的实数x,定义{x}=x-[x],其中[x]表示不超过x的最大整数. (1)求f(4)的值; (2)求函数G(x)=2+-2的值域. 参考答案 1.B　y=的图象位于第一象限且为增函数,所以函数图象是上升的,函数y=-1的图象可看作由y=的图象向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图所示),将y=-1的图象关于x轴对称后即为选项B. 2.C 3.BCD　对于A,由幂函数的图象知,它不经过第四象限,所以A对;对于B,因为当x=0时,x0无意义,即在x=0无定义,所以B错;对于C,函数y=的定义域为{x|x>2},则它的值域为y0<y<,不是yy<,所以C错;对于D,定义域不一定是{x|-2≤x≤2},如{x|0≤x≤2},所以D错.故选BCD. 4.C　由幂函数的图象特征知α<1. 5.B　由于y=xm在区间(0,+∞)上单调递增,且为上凸函数,故0<m<1.由于y=xn在区间(0,+∞)上单调递减,且在直线x=1的右侧时,y=xn的图象在y=x-1的图象的下方,故n<-1.故选B. 6　因为函数f(x)=的定义域为R,且为增函数,所以a+1<3-2a,解得a< 7.1　因为幂函数f(x)=(m∈Z)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)是偶函数,所以m2-2m-3为偶数.又因为f(x)在第一象限内单调递减,所以m2-2m-3<0,即-1<m<3,又m∈Z,所以m=1. 8.解 (1)依题意,得(m-1)2=1,解得m=0或m=2. 当m=2时,f(x)=x-2在(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去,∴m=0. (2)由(1)可知f(x)=x2. 当x∈[1,2]时,f(x),g(x)单调递增, ∴A=[1,4],B=[2-k,4-k]. ∵A∪B=A,∴B⊆A,解得0≤k≤1, ∴实数k的取值范围是[0,1]. 9.ABC　分别构造函数y=x-1,y=,y=x2,y=,其中函数y=x-1,y=x2在(-∞,0)上单调递减,而y=,y=在(-∞,0)上单调递增,故D不成立,其余都成立. 10.ACD　因为函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),所以α=所以f(x)=显然f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数,所以A正确;f(x)的定义域为[0,+∞),所以f(x)不具有奇偶性,所以B不正确;当x>1时,>1,即f(x)>1,所以C正确;当0<x1<x2时,2-=2-=-<0.即<f成立,所以D正确. 11.A　由已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,可得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f(x)=x3,当m=-1时,f(x)=x-3,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,函数f(x)单调递增,所以m=2,此时f(x)=x3.又a+b>0,ab<0,可知a,b异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f(a)+f(b)恒大于0,故选A. 12.ACD　画出函数y=与y=的图象如图所示, 设=m,作直线y=m. 从图象知,若m=0或m=1,则a=b;若0<m<1,则0<b<a<1;若m>1,则1<a<b.故其中可能成立的是ACD. 13.解(1)由f(x)为幂函数知2m2-6m+5=1,即m2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f(x)=x2是偶函数,符合题意; 当m=2时,f(x)=x3为奇函数,不符合题意,舍去. 故f(x)=x2. (2)由(1)可知y=x2-2(a-1)x+1, 函数y的图象的对称轴为直线x=a-1, 由题意知函数y在区间(2,3)上为单调函数, ∴a-1≤2或a-1≥3,解得a≤3或a≥4. ∴a的取值范围为(-∞,3]∪[4,+∞). 14.解 (1)由题意幂函数f(x)=xm的图象过点B,2, ∴m=2,m=-, 故f(x)=,f(4)= (2)由(1)知,f(x)=,G(x)={x}+{-x}, 当x为整数时,由[x]=x,[-x]=-x知,{x}=0,{-x}=0,此时,G(x)={x}+{-x}=0; 当x不是整数时,由[x]<x<[x]+1知,-[x]-1<-x<-[x],可见不超过-x的最大整数为-[x]-1,即[-x]=-[x]-1,∴由{x}=x-[x]可知,{-x}=-x-[-x]=-x-(-[x]-1)=1-x+[x],此时G(x)={x}+{-x}=x-[x]+1-x+[x]=1, ∴G(x)=G(x)的值域为{0,1}. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$