4.1函数的奇偶性同步练习-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

4.1　函数的奇偶性 一、必备知识基础练 1.[探究点一](多选题)下列函数是奇函数的有(　　) A.y= B.y=-3x C.y=x- D.y=πx3-x 2.[探究点三]若奇函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,则函数f(x)在区间[1,2]上(　　) A.单调递增,且有最小值f(1) B.单调递增,且有最大值f(1) C.单调递减,且有最小值f(2) D.单调递减,且有最大值f(2) 3.[探究点三]若偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,则a=f(-),b=f,c=f的大小关系是(　　) A.b<a<c B.b<c<a C.a<c<b D.c<a<b 4.[探究点三]定义在R上的偶函数f(x),对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0,则f(3),f(-2),f(1)的大小关系为　.  5.[探究点二·2024广东佛山一模]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3-3x+1,则当x∈(0,+∞)时f(x)=　　　　.  6.[探究点二]已知函数f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)=　　　　　.  7.[探究点三]若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上单调递增,且f(2)=0,则满足f(x)<0的x的取值范围是　　　　　　　　.  8.[探究点二]已知f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2.若当x∈[1,3]时,f(x)的最大值为m,最小值为n,求m-n的值. 二、关键能力提升练 9.设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是(　　) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 10.若函数f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,+∞)上有最大值5,则F(x)在区间(-∞,0)上(　　) A.有最小值-5 B.有最大值-5 C.有最小值-1 D.有最大值-3 11.已知定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,-2)上单调递减,若g(x)=f(x-2)是奇函数,且g(2)=0,则不等式xf(x)≤0的解集是(　　) A.(-∞,-4]∪[-2,+∞) B.[-4,-2]∪[0,+∞) C.(-∞,-2]∪[2,+∞) D.(-∞,-4]∪[0,+∞) 12.定义在区间(-8,a)上的奇函数f(x)在区间[2,7]上单调递增,在区间[3,6]上的最大值为a,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)=　　　　　.  13.已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域均为[-3,3],且它们在x∈[0,3]上的图象如图所示,则不等式<0的解集是　　　　　　　.  14.已知f(x)为定义在R上的偶函数,当x≤-1时,f(x)=x+b,且f(x)的图象经过点(-2,0),在y=f(x)的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-1,1)的一段抛物线. (1)求出函数f(x)的解析式; (2)求出函数f(x)的值域. 三、学科素养创新练 15.(多选题)给出定义:若m-<x≤m+(其中m为整数),则称m为离实数x最近的整数,记作{x},即{x}=m.则下列关于函数f(x)=x-{x}的四个命题中是真命题的有(　　) A.函数y=f(x)的定义域是R,值域是- B.函数y=f(x)是偶函数 C.函数y=f(x)是奇函数 D.函数y=f(x)在-上单调递增 参考答案 1.BCD　先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定f(-x)与f(x)的关系.选项A中函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以排除A;选项B,D中函数定义域均为R,且f(-x)=-f(x),故为奇函数;选项C中函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=-f(x),也是奇函数. 2.C　因为奇函数的图象关于原点对称,所以函数f(x)在y轴两侧单调性相同.因为f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上有最大值f(1),最小值f(2),故选C. 3.C　由f(x)为偶函数,得a=f(-)=f().又,f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f()<f<f,即a<c<b. 4.f(3)<f(-2)<f(1)　由已知条件可知f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,所以f(3)<f(2)<f(1). 再由偶函数的性质得f(3)<f(-2)<f(1). 5.2x3-3x-1　当x∈(0,+∞)时,-x∈(-∞,0), ∴f(-x)=2(-x)3-3(-x)+1=-2x3+3x+1. ∵f(x)是R上的奇函数, ∴f(x)=-f(-x)=2x3-3x-1. 6.-26　令h(x)=x5+ax3+bx,易知h(x)为奇函数.因为f(x)=h(x)-8,h(x)=f(x)+8,所以h(-2)=f(-2)+8=18,所以h(2)=-h(-2)=-18,所以f(2)=h(2)-8=-18-8=-26. 7.(-∞,-2)∪(2,+∞)　∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.又因为f(2)=0,所以f(x)<0⇔f(|x|)<0=f(2),即|x|>2,所以x>2或x<-2. 8.解∵当x<0时,f(x)=x2+3x+2,且f(x)是奇函数, ∴当x>0时,-x<0,则f(-x)=x2-3x+2, 故f(x)=-f(-x)=3x-x2-2. ∴当x时,f(x)单调递增; 当x时,f(x)单调递减.因此当x∈[1,3]时,f(x)max=f,f(x)min=f(3)=-2. ∴m=,n=-2,从而m-n= 9.C　∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).对于A,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),故f(x)g(x)是奇函数,故A错误;对于B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),故|f(x)|g(x)是偶函数,故B错误;对于C,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,故f(x)|g(x)|是奇函数,故C正确;对于D,|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,故|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.故选C. 10.C　∵函数f(x)和g(x)都是奇函数,∴F(x)-2=af(x)+bg(x)为奇函数.又F(x)在区间(0,+∞)上有最大值5,∴F(x)-2在区间(0,+∞)上有最大值3,F(x)-2在区间(-∞,0)上有最小值-3,∴F(x)在区间(-∞,0)上有最小值-1. 11.A　g(x)=f(x-2)的图象是将函数f(x)的图象向右平移2个单位长度得到的,又g(x)=f(x-2)的图象关于原点对称,所以函数f(x)的图象关于点(-2,0)对称, 大致图象如图所示,且f(0)=g(2)=0,f(-4)=g(-2)=-g(2)=0,f(-2)=g(0)=0,结合函数的图象,由xf(x)≤0可知结合图象可知x≥0或-2≤x<0或x≤-4.故不等式xf(x)≤0的解集是(-∞,-4]∪[-2,+∞),故选A. 12.-15　根据题意,f(x)是定义在区间(-8,a)上的奇函数,则a=8.又由f(x)在区间[2,7]上单调递增,且在区间[3,6]上的最大值为a=8,最小值为-1,则f(6)=a=8,f(3)=-1.函数f(x)是奇函数,则f(-6)=-8,f(-3)=1.则2f(-6)+f(-3)=2×(-8)+1=-15. 13.{x|-2<x<-1,或0<x<1,或2<x<3}　不等式<0可化为f(x)g(x)<0,由题图可知,当x>0时,其解集为(0,1)∪(2,3).∵y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数, ∴f(x)g(x)是奇函数,∴当x<0时,f(x)g(x)<0的解集为(-2,-1).综上,不等式<0的解集是{x|-2<x<-1,或0<x<1,或2<x<3}. 14.解(1)∵f(x)的图象经过点(-2,0), ∴0=-2+b,即b=2.∴当x≤-1时,f(x)=x+2. ∵f(x)为偶函数,∴当x≥1时,f(x)=f(-x)=-x+2. 当-1≤x≤1时,依题意设f(x)=ax2+2(a≠0), 则1=a·(-1)2+2,∴a=-1. ∴当-1≤x≤1时,f(x)=-x2+2. 综上,f(x)= (2)当x≤-1时,f(x)=x+2∈(-∞,1]; 当-1<x<1时,f(x)=-x2+2∈(1,2]; 当x≥1时,f(x)=-x+2∈(-∞,1]. 综上所述,f(x)的值域为(-∞,2]. 15.AD　化简函数解析式可得,f(x)=x-{x}=画出函数的图象,如图所示,由图象可知函数y=f(x)的定义域是R,值域是-,故A为真命题;由图可以得出,函数图象既不关于y轴对称,也不关于坐标原点对称,且f(x)在-上单调递增,故函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数,故B,C为假命题,D为真命题.故选AD. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$