广东省六校2025届高三八月第一次联考数学试题

2025届高三·八月·六校联考 数学科试题 命题人：刘嘉 审题人：翟浩宇 张汇华 （满分150分.考试时间120分钟.）. 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. 0.1 B. C. D. 3. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知：，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在菱形中，若，且在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在处有极小值，则实数（ ） A. 3 B. C. 1 D. 7. 将半径为的铁球磨制成一个圆柱体零件，则可能制作的圆柱体零件的侧面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与C的右支交于M，N两点，记与的内切圆半径分别为.若，则C的离心率为（ ） A. B. C. 3 D. 4 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知奇函数的定义域为，若，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. D. 的一个周期为 10. 设公比为的等比数列的前项和为，若数列满足，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 设复数z在复平面内对应的点为Z，任意复数z都有三角形式：，其中r为复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，射线OZ为终边的角（也被称为z的辐角）.若，，则.从0，1，中随机选出两个不同的数字分别作为一个复数的实部和虚部，如此重复操作n次，可得到n个复数：记.（ ） A. 不存在n，使得 B. 若为实数，则的辐角可能为 C. 的概率为 D. 为整数的概率为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆与抛物线的准线交于，两点，若，则___________. 13. 若函数与在区间上均单调递增，则实数的取值范围为___________. 14. 已知正方体的棱长为，若在该正方体的棱上恰有个点，满足，则的取值范围为___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角B的大小， （2）若AB边上的高为，求. 16. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为棱的中点，点在棱上，，且. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 已知函数在处的切线方程为. （1）求实数a的值； （2）探究在区间内的零点个数，并说明理由. 18. 已知椭圆的右焦点为F，点A，B在C上，且.当时，. （1）求C的方程； （2）已知异于F的动点P，使得. （i）若A，B，P三点共线，证明：点P在定直线上： （ii）若A，B，P三点不共线，且，求面积的最大值. 19. 对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”. （1）求20以内的质数“理想数”； （2）已知.求m的值； （3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：. 2025届高三·八月·六校联考 数学科试题 命题人：刘嘉 审题人：翟浩宇 张汇华 （满分150分.考试时间120分钟.）. 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）； （2）. 【16题答案】 【答案】（1） 如图，取棱靠近的三等分点， 连结，则是的中点， 因为为棱的中点，所以是的中位线， 所以，因为，所以， 设，因为， 所以，作，连接， 则，因为，所以． 在中，由余弦定理得， ． 又面， 平面，因为面，所以． 又由平面平面，平面平面， 平面得证. （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）在区间有且仅有两个零点,理由如下： 由（1）可知， 令， 当时，，则在区间上单调递增． ， 由零点存在定理可知，存在，使得，即 当时，，则在区间上单调递减； 当时，，则在区间上单调递增， 又， 由零点存在定理可知在区间上有且仅有一个零点． 当时，； 当时，： 在区间上单调递增． 又， 由零点存在定理可知，存在唯一零点，使得， 综上可得，在区间有且仅有两个零点． 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i） （方法一）点异于点， 设，直线的方程为， 联立方程，得， ， 由可知 三点共线，且且， 点在线段的延长线或反向延长线上， 则，设，则， 由，则，代入上式得， ， 把，代入上式得，命题得证． （方法二）点异于点， 设，由可知 三点共线，且且， 点在线段AB的延长线或反向延长线上，，设，则， ， ， 将①式减去②式，得， 即， 则， 点在定直线上，命题得证． （ii） 【19题答案】 【答案】（1）2和5为两个质数“理想数” （2）的值为12或18 （3） 显然偶数"理想数"必为形如的整数， 下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：， 若奇数，不妨设， 若为"理想数"，则，且，即，且， ①当，且时，； ②当时，； ，且， 又，即， 易知为上述不等式的唯一整数解， 区间]存在唯一的奇数"理想数"，且， 显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为， 所有的奇数"理想数"的倒数为， ，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $