2024年中考数学专题复习-几何轴对称专题讲义

轴 对 称 专 题 一、 轴对称的基本模型 基础知识 1. 轴对称(图形)概念:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够互相重合,那么称这个图形是轴对称图形,这条直线就是对称轴. 2. 轴对称图形性质: (1)成轴对称的两个图形全等; (2)如果两个图形成轴对称,那么对称轴是对称点连线的垂直平分线. 3. 轴对称图形的判定: (1)轴对称图形的对称轴是对应点连线垂直平分线; (2)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 典型例题 轴对称(图形)概念认知 【例1】判断下列图形是否一定为轴对称图形? 如果是,说出它的对称轴. (1)线段;(2)角;(3)直角三角形;(4)等腰三角形. 【分析】轴对称(图形)概念. 【解】(1)线段是轴对称图形,对称轴是线段本身所在的直线或它的垂直平分线. (2)角是轴对称图形,对称轴是角平分线所在的直线. (3)直角三角形不一定是轴对称图形,当它为等腰直角三角形时就是轴对称图形,它的对称轴是底边的高所在的直线,否则它就不是轴对称图形. (4)等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是底边高所在的直线. 练习 1 下列大写英文字母中,是轴对称图形的有( ). DHMNXZ A. 4个 B. 5个 C.6个 D.7个 【例2】将正方形纸片 ABCD按如图3-1-1所示的方式折叠两次,再沿 MN剪开,则可得到( ). A. 四个相同的正方形 B. 两个相同的正方形 C. 两个等腰直角三角形 D. 两个等腰直角三角形和两个正方形 【分析】轴对称图形性质. 【解】A 练习 2如图3-1-2所示,把一张长方形纸片对折,折痕为AB,再以AB 的中点 O为顶点,把平角∠AOB三等分,沿平角的三等分线折叠,将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的直角三角形,那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是( ). A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 平面直角坐标系中的轴对称 【例3】已知点A(3,a),B(b,4),根据下列条件,求a、b的值. (1)A、B关于x轴对称; (2)A、B关于y轴对称; (3)A、C关于x轴对称,B、C关于y轴对称. 【分析】轴对称图形概念和性质. 【解】两点关于x轴对称,横坐标不变,纵坐标互为相反数;两点关于y轴对称,纵坐标不变,横坐标互为相反数. (1)a=-4,b=3 (2)a=4,b=-3 (3)a=-4,b=-3 练习 3如图3-1-3所示,已知 PQR 的顶点在坐标系中的坐标分别为P(-1,3),Q(-4,5),R(-4,1). (1)分别作出 PQR关于x=1和y=-1的对称图形; (2)找出点(x,y)关于直线x=m和y=n对称点的规律. 三两线模型:角平分线和垂直平分线 【例4】如图3-1-4所示,在. 中,AD 平分 ,DE 是 BC 的中垂线,点 E 为垂足. 过点 D 作DM⊥AB 于点 M, 交AC 的延长线于点 N,求证: 【分析】连接BD、CD,DE是BC的垂直平分线, 得到AD是 的角平分线, 证得Rt BMD≌Rl CND,根据全等三角形的性质求解. 【证明】连接BD、CD,如图3-1-5所示, ∵ DE 是 BC 的垂直平分线, ∴BD=CD. ∵AD 是∠BAC的角平分线,DM⊥AB,DN⊥AC延长线, ∴DM=DN. 在 Rt BMD 和Rt CND 中, ∴ Rt BMD≌Rt CND (HL), ∴BM=CN. 【例5】如图3-1-6所示,已知AD是∠BAC的角平分线,EF 垂直平分AD,交 BC延长线于点 F,交AD于点E,连接AF,求证:∠B=∠CAF. 【分析】角平分线和垂直平分线的性质. 【证明】∵ EF 垂直平分 AD,∴AF=DF,∠ADF=∠DAF. ∵∠ADF=∠B+∠BAD,∠DAF=∠CAF+∠CAD. 又∵AD 平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD, ∴ ∠CAF=∠B. 练习 4 如图3-1-7所示,在 Rt ABC 中,∠C=90 ,∠CAB的角平分线交 BC于点D,DE 是AB的垂直平分线,垂足为点 E. 若 BC=3,则DE 的长为( ). A.1 B.2 C.3 D.4 实战演练 1. 如图3-1-8所示,在下列体育运动标志中,从图案看不是轴对称图形的有( )个. A.4 B.3 C.2 D. 1 2. 如图3-1-9所示,平放在正立镜子前的桌面上的数码“21085”在镜子中的像是( ). A.21085 B.28015 C.58012 D.51082 3. 如图3-1-10所示,A、B、C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在( ). A. 在AC、BC两边高线的交点处 B. 在AC、BC 两边中线的交点处 C. 在AC、BC 两边垂直平分线的交点处 D. 在∠A、∠B两内角平分线的交点处 4. 数学兴趣小组开展以下折纸活动: (1)如图3-1-11所示,对折矩形ABCD,使AD和BC 重合,得到折痕EF,把纸片展平;(2)再折叠一次纸片,使点 A 落在 EF上,并使折痕经过点 B,得到折痕BM,同时得到线段 BN. 观察,探究可以得到∠ABM 的度数是( ). A.25 B.30 C.36 D.45 5. 如图3-1-12所示,在Rt ABC中,∠ACB=90 ,∠A=50 ,将其折叠,使点A落在边 CB上A'处,折痕为CD,则∠A'DB=( ). A.15 B.30 C.10 D.20 6. 如图3-1-13 所示,将一个正方形纸片按图中(a)(b)的方式依次对折后,再沿图(c)中的虚线裁剪,最后将(d)中的纸片打开铺平所得的图案应为( ). 7. 如图3-1-14所示,正方形的四个顶点在直径为4的大圆圆周上,四条边与小圆都相切,AB、CD 过圆心O,且AB⊥CD,则图中阴影部分图形的面积和是 .(结果用含有 的代数式表示) 8. 光线以如图3-1-15所示的角度 照射到平面镜 上,然后在平面镜 、 之间来回反射. 已知∠ =60 ,∠ =50 ,∠ = . 9. 如图3-1-16所示,在2 2的正方形格纸中,有一个以格点为顶点的 ABC,请你找出格纸中所有与 ABC 成轴对称且以格点为顶点的三角形,这样的三角形共有 个. 10. 如图3-1-17所示,在 ABC中,∠C=90 ,点I是∠A、∠B 的角平分线AD 与BE 的交点,已知 ABI的面积为12,则四边形ABDE 的面积等于 . 11. 已知点 A(2a+3b,-2)和点A'(-1,3a+b), (1)若点A 和A'关于y轴对称,求a+b的值; (2)若点A 和A'关于x轴对称,求a+b的值. 12. ABC在平面直角坐标系中的位置如图3-1-18所示. (1)作出 ABC 关于y轴对称的 A₁B₁C₁,并写出 各顶点的坐标; (2)将 ABC 向右平移6个单位,作出平移后的. 并写出 A₂B₂C₂各顶点的坐标; (3)观察 A₁B₁C₁和 A₂B₂C₂,它们是否关于某直线对称? 若是,请在图上画出这条对称轴. 13. 如图3-1-19所示,在 ABC中,∠ACB=90 ,BE 平分∠ABC,交 AC 于点 E,DE 垂直平分AB 于点 D,求证:BE+DE=AC. 14. 如图3-1-20所示,在 ABC中,AB=AC. AB的垂直平分线交 BC 的延长线于点E,交AC 于点 F. 连接BF,∠BAC=50 ,AB+BC=16,求 BCF 的周长和∠EFB的度数. 15. 如图3-1-21 所示,将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点 A 与点 C 重合,点 D 落在点 G处,EF 为折痕. (1)求证: FGC≌ EBC; (2)若AB=8,AD=4,求四边形ECGF(阴影部分)的面积. 16. 如图3-1-22所示,在平面直角坐标系中,直线l过点 M(3,0),且平行于y轴. (1)如果 ABC 三个顶点的坐标分别是A(-2,0)、B(-1,0)、C(-1,2), ABC 关于y轴的对称图形是 A₁B₁C₁, A₁B₁C₁关于直线l的对称图形是 A₂B₂C₂,写出 的三个顶点的坐标. (2)如果点P 的坐标是(-a,0),其中a>0,点P关于y轴的对称点是P₁,点P₁关于直线l的对称点是 P₂,求 PP₂的长. 二、 轴对称变换 基础知识 1. 对称轴的定义:如果沿某条直线对折,对折的两部分是完全重合的,那么称这样的图形成轴对称图形,这条直线叫作这个图形的对称轴. 2. 对称轴的应用: (1)根据对称轴找对称点,求同侧两点到某条直线的最短距离. (2)根据对称轴找对称点,求几何图形中的相等的角或相等的线段,或比较两角度、两线段的大小. 典型例题 最短距离——找对称点 【例1】如图3-2-1所示,牧童在A 处放牛,其家在B处,若牧童在A处放牛,牵到河边饮水后再回家,试问在何处饮水所走路程最短? 请在图上作出来. 【分析】由题意可知:A、B两点的距离是不变的,则要使路程最短,由对称性知识可知,可在河边找到一点到A、B的距离之和最短的点即可,如图3-2-2所示,点D 即为所求. 【解】如图3-2-2所示. 练习1邮递员从邮局出发,分别到村庄A、B、C投递邮件,如图3-2-3所示,其所走的顺序为邮局A B C 邮局,则邮局应建在公路l的何位置,可使邮递员走的路程最短? 【例2】如图3-2-4所示,在四边形ABCD中,∠BAD=130 ,∠B=∠D=90 ,在BC、CD 上分别找一点M、N,使 AMN周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为( ). B.120 A.130 C.110 D. 100 【分析】作点 A 关于 BC 的对称点 A'关于 CD的对称点 A',连接A'A'与BC、CD 的交点即为所求的点M、N,再由轴对称的性质即可得出答案. 【解】如图3-2-5所示,作点A关于BC 的对称点 A',关于CD的对称点 A", 连接A'A"与 BC、CD 的交点即为所求的点 M、N. ∵∠BAD=130 ,∠B=∠D=90 , 由轴对称的性质得: 、 故选 D. 练习 2 如图3-2-6所示,在矩形ABCD 中, ,点 E、F 分别是 AB、DC 上的点,则折线AFEC 长度的最小值为 . 二比较线段、角度大小———找对称点 【例3】如图3-2-7 所示,凸四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,AC⊥BD,已知OA>OC,OB>OD,试比较BC+AD 与AB+CD的大小. 【分析】分别以 BD、AC 为对称轴作 C、D 两点的对称点( 设 与AD'交于点 E,根据三角形三边关系,等量代换求解. 【解】分别以 BD、AC 为对称轴作 C、D 两点的对称点( ,如图3-2-8所示. 设 BC'与AD'交于点 E. 在 C'D'E中,( ① BE+AE>AB. ② 在 ABE中,式①+②得,( 即 BC+AD>AB+CD. 练习 3如图3-2-9所示,点 P 是 ABC 内一点,PG 是 BC 的垂直平分线, BP、CP 的延长线分别交AC、AB 于点 D、E,求证 【例4】如图3-2-10(a)所示,在凸四边形ABCD 中,如果点 P 满足∠APD=∠APB= . 且∠BPC=∠CPD= ,则称点 P 为四边形 ABCD的一个半等角点. (1)在图②正方形ABCD 内画一个半等角点 P,且满足( (2)在图③四边形ABCD 内画一个半等角点 P,保留画图痕迹(无须写出画法); (3)若四边形ABCD有两个半等角点 (见图(d)),证明线段 上任一点也是它的半等角点. 【分析】(1)由正方形对角线性质即可得出。(3)连接 和 再证 即可. 【解】(1)正方形关于对角线AC具有对称性,所画的点 P在AC上,且不是AC的中点和端点. (2)画点 B关于 AC 的对称点. 延长 交AC 于点 P,点 P 为所求. (3)如图3-2-11 所示,连接 和 根据题意,. ∴点P₁在 AC 上, 同理,点P₂也在AC 上. 在 DP₁P₂和 BP₁P₂中, 所以 于是 B、D 关于AC 对称. 设点 P 是P₁P₂上任一点,连接PD、PB,由对称性,得 所以点 P 是四边形的半等角点. 台球桌上的轴对称变换——找对称点 【例5】如图3-2-12 所示,在长方形球台 ABCD上,现要击打 P球,使它依次碰撞球台的AB边、BC边、CD 边、AD 边后,恰好撞到Q球,求 P 球打击的路线. 【分析】P球要与球台的四边都碰撞,则以球台的四边为对称轴依次作出对称点即可. 【解】P 球要与球台的四边都碰撞,则以球台的四边为对称轴依次作出对称点,如图 3-2-13所示. 作法:(1)作点 P 关于AB 的对称点 P₁,再作点 P₁关于 BC 的对称点 P₂; (2)作点Q关于AD 的对称点 Q₁,再作点 Q₁关于 DC 的对称点( (3)连接P₂Q₂,分别交 BC、CD 于点 F、G,连接FP₁交 AB 于点 E,GQ₁交AD 于点 H,折线PEFGHQ 即为所求的路线. 练习 4 阅读下列材料: 小贝遇到一个有趣的问题:在矩形ABCD 中,AD=8cm,AB=6cm.现有一动点 P按下列方式在矩形内运动:它从A点出发,沿着与AB边夹角为45 的方向作直线运动,每次碰到矩形的一边,就会改变运动方向,沿着与这条边夹角为( 的方向作直线运动,并且它一直按照这种方式不停地运动,即当点 P 碰到BC边,沿着与 BC边夹角为45 的方向作直线运动,当点 P 碰到CD边,再沿着与CD边夹角为45 的方向作直线运动⋯⋯ 如图3-2-14所示,问P点第一次与D点重合前与边相碰几次,P点第一次与 D 点重合时所经过的路径的总长是多少? 小贝的思考是这样开始的:如图3-2-15所示,将矩形ABCD 沿直线CD折叠,得到矩形. 由轴对称的知识,发现 请你参考小贝的思路解决下列问题: (1)P点第一次与 D 点重合前与边相碰 次;P点从A点出发到第一次与 D 点重合时所经过的路径的总长是 cm; (2)进一步探究:改变矩形ABCD中AD、AB的长,且满足AD>AB. 动点 P 从A点出发,按照阅读材料中动点的运动方式,并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD 相邻的两边上.若P 点第一次与 B 点重合前与边相碰7次,则AB ∶AD 的值为 . 实战演练 1. 图3-2-16是一个经过改造的台球桌面的示意图,图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔. 如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反射),那么该球最后将落入的球袋是( ). A.1号袋 B.2号袋 C.3号袋 D.4号袋 2. 如图3-2-17所示,下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图,一个球从一个角落以45 角击出,在桌子边沿回弹若干次后,最终必将落入角落的一个球囊.图(a)中回弹次数为1次,图(b)中回弹次数为2次,图(c)中回弹次数为3次,图(d)中回弹次数为5次.若某台球桌长宽之比为5:4,按同样的方式击球,球在边沿回弹的次数为( )次. A.6 B.7 C.8 D.9 3. 如图3-2-18所示,AC的垂直平分线l交 AC 于点 D,BC=4,点 P 在直线 l上,则PB+PA 的最小值是 . 4. 如图3-2-19所示,求作一点P,使PM=PN,并且使点P 到∠AOB两边的距离相等. 5. 如图3-2-20所示,已知∠AOB和C、D两点,求作一点P使P到∠AOB 两边的距离相等,且使点 P 到C、D两点的距离和最小. 6. 如图3-2-21 所示,草地边缘OM 与小河河岸ON在点O 处形成30 的夹角,牧马人从A地出发,先让马到草地吃草,然后再去河边饮水,最后回到 A地. 已知OA=2km,请在图中设计一条路线,使所走的路径最短,并求出整个过程所行的路程. 7. 如图3-2-22所示,(1)在直线MN上找一点 P,使|PB-PA|的值最大. (2)在直线 MN上找一点 Q,使QA=QB. 8. 如图3-2-23所示,已知线段a,点A、B在直线l的同侧,在直线l上,求作点P、Q(点P在点Q的左侧)且PQ=a,使四边形APQB 的周长最小. 9. 如图3-2-24所示,∠AOB=30 ,点 P为∠AOB 内一点,OP=10,点M、N分别在 OA、OB 上,求 PMN周长的最小值. 10. 问题:如图3-2-25 所示,在 ABC中,∠BAC=2∠ACB,点 D 是 ABC 内的一点,且 探究∠DBC 与∠ABC度数的比值. 请你完成下列探究过程: 先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明. (1)当∠BAC=90 时,依问题中的条件补全图3-2-25; 观察图形,AB 与AC的数量关系为 ; 当推出∠DAC=15 时,可进一步推出∠DBC的度数为 ; 可得到∠DBC 与∠ABC度数的比值为 ; (2)当∠BAC<90 时,请你画出图形,研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与(1)中的结论相同,写出你的猜想并加以证明. 三、 等腰三角形 基础知识 1. 等腰三角形的基本性质 (1)等腰三角形的两个底角度数相等(简写“等边对等角”). (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写“三线合一”). (3)等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半. (4)等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高. (5)等腰三角形的两底角的角平分线(或中线,或高线)相等. (6)等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰上的距离相等. 2. 等腰三角形的判定 (1)定义法. (2)判定定理:等角对等边. (3)在一个三角形中,如果一个角的角平分线与该角对边上的中线重合,那么这个三角形是等腰三角形,且该角为顶角. (4)在一个三角形中,如果一个角的角平分线与该角对边上的高重合,那么这个三角形是等腰三角形,且该角为顶角. (5)在一个三角形中,如果一个角的中线与该角对边上的高线重合,那么这个三角形是等腰三角形,且该角为顶角. (6)有两条角平分线(或中线,或高线)相等的三角形是等腰三角形. 典型例题 等腰三角形基本边角关系 【例1】如图3-3-1 所示,点 D 在AC 上,点 E在AB 上,且 DE=BE. (1)图中有 个等腰三角形. (2)求∠A 的度数. 【分析】由线段相等,可得对应角相等,通过转化,将∠A、∠ABC都与. 建立联系,即可求解∠A的值. 【解】(1)4个: ADE、 DEB、 DBC 和 ABC. (2)∵AB=AC, ∴∠ABC=∠C. 又∵BC=BD,∴∠BDC=∠C. ∵∠A+∠C+∠ABC=180 ,∠DBC+∠C+∠BDC=180 , ∴∠DBC=∠A. ∵AD=DE=EB,∴∠A=∠AED,∠EDB=∠EBD. ∴∠A=2∠DBE,即∠CDB=3∠DBE. ∵∠A+2∠C=180 ,∴2∠DBE+2∠ABC=180 , ∴2∠DBE+2 3∠DBE=180 ,即8∠DBE=180 ,故 【例2】如图3-3-2所示,∠ABC 与∠ACB的角平分线交于点 F,过点 F作 BC,交AB于点D,交AC于点E,若 ABC的两边AB、AC的长分别为12、10,求 的周长. 【分析】根据角平分线定理与平行的性质;由∠ABC 和∠ACB的角平分线相交于点F,且过点 F的直线DE∥BC,易证得 DBF 与 ECF是等腰三角形;再由等腰三角形的性质得BD=DF,CE=EF,则 ADE的周长=AB+AC. 【解】∵DE∥BC,∴∠DFB=∠FBC,∠EFC=∠FCB. ∵∠ABC 和∠ACB的角平分线相交于点 F, ∴∠DBF=∠FBC,∠ECF=∠FCB, ∴∠DBF=DFB,∠ECF=∠EFC, ∴DF=DB,EF=EC, ∴C ADE=AD+DE+AE=AD+DF+EF+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=12+10=22. 【例3】若等腰三角形两条边的长分别是m和n(m>0,n>0,m≠n),求该三角形的周长. 【分析】三角形的三边关系. 【解答】(1)当 时,则腰长为n,三角形的周长为2n+m. (2)当 时,则腰长为n或m,三角形周长等于2n+m或2m+n. (3)当m≥2n时,则腰长为m,三角形周长为2m+n. 【例4】在等腰 ABC中,过其中一个顶点的直线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形,求三个内角的度数. 【分析】分情况讨论,根据不同的情况画图分析. 【解】一共有4种可能. ①如图3-3-3所示, ABC是等腰三角形,AB=AC,线段AD 过定点A.根据题意,由于 ABD、 ACD是等腰三角形,且AD=BD,AD=CD,那么∠B=∠BAD=∠CAD=∠C. 利用三角形内角和定理,可知∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180 ,解得∠B=∠BAD=∠CAD=∠C=45 ,∠BAC=90 . ②如图3-3-4所示, ABC是等腰三角形,AB=AC,线段AD 过定点A.根据题意,由于 ABD、 ACD是等腰三角形,且AB=BD,AD=CD,那么有∠B=∠C,∠DAC=∠C,∠BAD=∠BDA,所以∠BDA=2∠C,根据∠B+∠C+∠BAC=180 ,可得2∠B+3∠B=180 . 解得∠B=36 ,则有∠C=36 ,∠BAC=108 . ③如图3-3-5所示, ABC是等腰三角形,AB=AC,线段BD 过顶点 B.根据题意,由于 ABD、 BCD是等腰三角形,且AD=BD,BD=BC,那么有∠ABC=∠C,∠ABD=∠A,∠BDC=∠C. 利用外角性质有∠BDC=2∠A,再利用三角形内角和定理可得5∠A=180 ,解得∠A=36 ,则∠ABC=∠C=72 . ④如图3-3-6所示, ABC是等腰三角形,AB=AC,线段BD 过顶点 B.根据题意,由于 ABD、 BCD是等腰三角形,且AD=BD,BC=CD, 那么有∠ABC=∠C,∠ABD=∠A,∠DBC=∠CDB. 根据外角性质有∠BDC=2∠A,则∠DBC=2∠A,∠ABC=∠C=3∠A. 再结合三角形内角和定理有 7∠A=180 . 解得 从而易求 等边对等角结合三角形内角和、外角性质求角度 【例5】如图3-3-7所示,在 ABC中,AF是∠A的外角∠EAB的角平分线,交CB的延长线于点F,BG是∠B 的外角∠DBC的平分线,交AC 的延长线于点 G. 若 AF=BG=AB,则∠BAC的大小为 . 【分析】对未知量设元,根据已知条件找等量关系,列式求解. 【解答】设∠BAC的度数是x. ∵BG=AB, ∴ ∠DBG=2x. ∵BG是∠B的外角∠DBC的角平分线, ∴∠DBC=4x, ∴ ∠ABF=4x. ∵AB=AF, ∴ ∠F=4x,∴∠ACB=3x,∴ ∠EAF=7x. ∵AF 是∠A 的外角∠EAB的角平分线, ∴∠BAF=7x, ∴7x+7x+x=180 , 解得x=12 . 故答案为12 . 【例6】如图3-3-8所示,在 ABC中,AB=AC,∠BAC=54 ,∠BAC的角平分线与AB 的垂直平分线交于点O,将∠C 沿EF(点E在 BC 上,点F 在AC 上)折叠,点C 与点O恰好重合,则∠OEC 为 . 【分析】连接OB、OC,根据已知条件证明 AOB≌ AOC(SAS),得到OB=OC,点 O 是 ABC 的外心,根据已知条件解答. 【解】如图3-3-9所示,连接OB、OC. ∵∠BAC=54 ,AO 为∠BAC 的角平分线, 又∵AB=AC, ∵DO 是AB的垂直平分线, ∴OA=OB, ∴∠ABO=∠BAO=27 , ∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63 -27 =36 . ∵AO为∠BAC的角平分线,AB=AC, ∴ AOB≌ AOC(SAS), ∴OB=OC, ∴点O在 BC 的垂直平分线上. 又∵ DO 是AB的垂直平分线, ∴点O是 ABC的外心, ∴ ∠OCB=∠OBC=36 . ∵将∠C 沿EF(点E在 BC上,点 F在AC上)折叠,点 C 与点 O 恰好重合, ∴OE=CE, ∴∠COE=∠OCB=36 . 在 OCE中,∠OEC=180 -∠COE-∠OCB=180 -36 -36 =108 . 故答案为108 . 【例7】如图3-3-10所示,在 ABC 中, 求证: BD=CD. 【分析】在 DC 上取DE=BD,由已知条件可知, 根据角之间的关系得到边之间的关系. 【证明】如图3-3-11 所示,在 DC 上取 DE=BD. ∵AD⊥BC, ∴AB=AE, ∴∠B=∠AEB. 在 ACE 中, 又∵∠B=2∠C, ∴2∠C=∠C+∠CAE, ∴∠C=∠CAE, ∴AE=CE, ∴CD=CE+DE=AB+BD. 等角对等边结合全等三角形的性质求边长 【例8】如图3-3-12 所示,AD 为 的角平分线,M为 BC 的中点,ME∥AD交BA的延长线于点E,交AC于点 F. 求证: 【分析】过点 B 作 交 EM 延长线于点 N,由已知证 BMN,根据全等三角形对应边相等得 再证 是等腰三角形,根据 C等量代换即可. 【证明】过点 B 作 交 EM 延长线于 N点,如图3-3-13 所示.∵BN∥AC,BM=CM, ∴∠CFM=∠N,∠MBN=∠MCF, ∴ CMF≌ BMN(AAS), ∴CF=BN. 又∵AD∥ME,AD平分∠BAC, ∴∠CFM=∠DAC=∠BAD=∠E, ∴∠E=∠N, ∴ BEN是等腰三角形, ∴BE=BN=CF. ∵∠EFA=∠CFM, ∴∠E=∠EFA, ∴AE=AF,AB+AC=AB+AF+FC=AB+AE+FC=BE+FC,即 【例9】已知:点O到 ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等,且( (1)如图3-3-14所示,若点O 在边 BC上,求证:AB=AC; (2)如图3-3-15 所示,若点O 在 ABC的内部,求证: (3)若点O在 ABC的外部,AB=AC成立吗? 请画图表示. 【分析】过点O作OE⊥AB 于点E,OF⊥AC 于点 F,可证得I ,即可得证. 【解】(1)证明:如图3-3-16所示,过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点 F,则∠OEB=∠OFC=90 . ∵ 点 O到 ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等, ∴OE=OF. 在 Rt OEB和Rt OFC中, ∴Rt OEB≌Rt OFC (HL), ∴∠ABC=∠ACB, ∴AB=AC. (2)证明:如图3-3-17所示,过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点 F,则∠OEB=∠OFC=90 . ∵点O到 ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等, ∴OE=OF. 在 Rt OEB和Rt OFC中, ∴Rt OEB≌Rt OFC (HL), ∴∠ABO=∠ACO. ∵OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB, ∴∠ABC=∠ACB, ∴AB=AC. (3)解:①若点O在 ABC的外部,∠ABC=∠ACB不一定成立,理由是:①当∠A的角平分线和BC的垂直平分线重合时,如图3-3-18 所示,过点O 作OE⊥AB交AB的延长线于点E,OF⊥AC交AC的延长线于点 F,则∠OEB=∠OFC=90 . ∵点O到 ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等, ∴OE=OF. 在Rt OEB 和Rt OFC中, ∴Rt OEB ≌Rt OFC (HL), ∴∠EBO=∠FCO. ∵OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB. ∵∠ABC=180 -(∠OBC+∠EBO),∠ACB=180 -(∠OCB+∠FCO), ∴∠ABC=∠ACB, ∴AB=AC. ②当∠A的角平分线和BC的垂直平分线不重合时,如图3-3-19 所示,此时∠ABC和∠ACB不相等. 【例10】如图3-3-20 所示,在 ABC中,点 P、Q分别在BC、AC上,并且AP、BQ 分别是∠BAC、∠ABC的角平分线, (1)若∠BAC=60 ,∠ACB=40 ,求证:BQ+AQ=AB+BP. (2)若∠ACB= 时,其他条件不变,直接写出∠BAC= 时,仍有 【分析】由已知条件可得BQ=CQ,等量代换可得 BQ+AQ=CQ+AQ=AC,再证 可得AB=AD,BP=PD,等量代换可得AB+BP=AD+PD=AD+CD=AC. 【解】(1)证明:∵∠BAC=60 ,∠ACB=40 , ∴ ∠ABC=180 -∠BAC-∠ACB=180 -60 -40 =80 . ∵BQ 平分∠ABC, ∴∠CBQ=∠ACB, ∴BQ=CQ, ∴BQ+AQ=CQ+AQ=AC. ① 过点 P作PD∥BQ交 CQ 于点 D,如图3-3-21 所示。 则∠CPD=∠CBQ=40 , ∴∠CPD=∠ACB=40 , ∴PD=CD,∠ADP=∠CPD+∠ACB=40 +40 =80 . ∵∠ABC=80 , ∴∠ABC=∠ADP. ∵ AP 平分∠BAC, ∴∠BAP=∠DAP. ∵在 ABP与 ADP中, ∴ ABP≌ ADP (AAS), ∴AB=AD,BP=PD, ∴AB+BP=AD+PD=AD+CD=AC. ② 由式①②可得,BQ+AQ=AB+BP. (2)解:根据(1)的证明可知,只要满足∠ABC=2∠ACB即可使原结论仍然成立. ∵ ∠ACB= , ∴∠ABC=2 , 故答案为180 -3 . 实战演练 1. 等腰三角形的一条边长为6,另一边长为13,则它的周长为( ). A.25 B.25或32 C.32 D.19 2. 如图 3-3-22 所示,在 ABC 中,∠BAC =90 ,AB =AC,∠BAD =30 ,AD = AE,则∠EDC 的度数为( ). A.10 B.12 C.15 D.20 3. 如图3-3-23 所示,有矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠,使AD边落在AB边上,折痕为AE,再将 AED 以DE 为折痕向右折叠,AE 与BC 交于点 F,则 CEF 的面积为( ). A.4 B.6 C.8 D.10 4. 如图3-3-24 所示,在正方形网格中,网格线的交点称为格点. 已知A、B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得 ABC 为等腰三角形,则点 C 的个数是( )个. A.6 B.7 C.8 D.9 5. 如图3-3-25 所示,AB=AC,∠A=36 ,AB的中垂线MD交AC于点D,交AB于点M.下列结论中正确的有( ).①BD是∠ABC的角平分线;② BCD是等腰三角形;③ AMD≌ BCD. A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 6. 如图3-3-26 所示,在 ABC中,AB=AC,∠BAC=90 ,直角∠EPF 的顶点 P 是 BC的中点,两边PE、PF 分别交AB、AC 于点 E、F. 给出以下四个结论:(1)AE=CF;(2) PEF是等腰直角三角形;当∠EPF在 ABC 内绕顶点 P 旋转时(点E 不与A、B重合),上述结论中始终正确的有( ). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7. 如图3-3-27所示,四边形ABDC中, EDC由 ABC 绕顶点 C旋转40 所得,顶点 A 恰好转到AB上一点 E的位置,则∠1+∠2= . 8. 在如图3-3-28所示的钢架中,焊上等长的13 根钢条来加固钢架,若 P₁₄A,则∠A的度数是 . 9. 两个全等的含30 ,60 角的三角板ADE 和三角板 ABC 如图3-3-29所示放置,E、A、C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME、MC. 试判断 EMC的形状,并说明理由. 10. 如图3-3-30所示, ABC 和 ECD都是等腰直角三角形, ,点 D 为 AB 边上一点,求∠EAC的度数. 11. 如图3-3-31所示,在. 中,点D 是 的角平分线上的一点, 交于点E,过点E作 交AB 于点 F. 求证: 12. 如图3-3-32 所示,在 中, ,EF为过点A 的任一直线,( BC,BE⊥BC,求证: 13. 如图3-3-33所示,AB、CD交于点E,且 ,求证: 14. 如图3-3-34所示,在 Rt ABC 中, 的角平分线交对边于点 E,又交斜边上的高AD 于点O,过点O引OF∥CB交AB于点 F. 求证:AE=BF. 四、 等边三角形 基础知识 1. 等边三角形性质 (1)每个角都是 60 ; (2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 2. 等边三角形的判定 (1)三边相等的三角形是等边三角形; (2)有一个内角为60 的等腰三角形是等边三角形; (3)三个内角都相等的三角形是等边三角形; (4)两个内角是60 的三角形是等边三角形. 典型例题 手拉手模型(双等边三角形) 【例1】如图3-4-1所示,点A、B、C 在一条直线上, 均为等边三角形,连接AE和CD、AE分别交CD、BD于点M、P,CD 交BE 于点Q,连接PQ. 求证:① ABE≌ DBC;②∠DMA=60 ;③ BPQ为等边三角形. 【分析】根据等边三角形的性质可得对应边和对应角的关系,可证得 ABE≌ DBC,并可根据全等三角形的性质等量变换得到 ∠BCD=∠BDC+∠BCD=60 ,再证 得到 是等边三角形. 【解】①∵ ABD、 BCE 为等边三角形, ∴AB=DB,∠ABD=∠CBE=60 ,BE=BC, ∴∠ABE=∠DBC,∠PBQ=60 . 在 ABE和 DBC中, ∴ ABE≌ DBC (SAS). ②∵ ABE≌ DBC, ∴∠BAE=∠BDC. ∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60 . ③在 ABP和 DBQ中, ∴ ABP≌ DBQ (ASA), ∴BP=BQ, ∴ BPQ 为等边三角形. 【例2】如图3-4-2所示,四边形ABCD 中,AC、BD是对角线, ABC 是等边三角形,∠ADC=30 ,AD=3,BD=5,则CD的长为 . 【分析】以CD 为边向外作出等边三角形DCE,连接AE,证明 ACE≌ BCD,根据全等三角形的性质结合勾股定理即可得出. 【解】以CD 为边向外作出等边三角形DCE,连接AE,如图3-4-3所示. ∵∠ADC=30 , ∴∠ADE=90 . 在 ACE 与 BCD中, ∴ ACE≌ BCD (SAS), ∴BD=AE=5, ∴DE=CD=4. 故答案为4. 绕点模型(旋转出全等) 【例3】如图3-4-4所示,点P是等边三角形ABC内的一点,且∠APB:∠BPC:∠CPA=3:4:5,求以PA、PB、PC为边的三角形的三个内角的度数. 【分析】将 APB绕A 点逆时针旋转60 得. 显然有 连接 由已知得 是等边三角形,根据等边三角形性质得到角之间的关系,等量变换即可. 【解】如图3-4-5所示,将 APB绕A点逆时针旋转60 得 AP'C,显然有 ≌ APB,连接PP'. ∵AP'=AP,∠P'AP=60 , ∴ AP'P是等边三角形, ∵ P'C=PB, ∴ P'CP 的三边长分别为 PA、PB、PC. ∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360 ,∠APB: ∠BPC: ∠CPA=3:4:5, ∴∠APB=90 ,∠BPC=120 ,∠CPA=150 , . ∠P'PC=∠APC-∠APP'=150 -60 =90 , ∴以PA、PB、PC为边的三角形的三个内角的度数为 【例4】如图3-4-6所示,已知点 P 是等边三角形ABC 内一点, 5,求∠APB的度数. 【分析】根据等边三角形的性质得到BA=BC,将 BPC绕点 B逆时针旋转( 得 BEA,连接EP,得到 BPE 为等边三角形,再根据等边三角形的性质和勾股定理可得∠APB的度数. 【解】∵ ABC为等边三角形, ∴BA=BC. 可将 BPC 绕点 B逆时针旋转60 得 BEA. 连接EP,如图3-4-7所示. ∴BE=BP=4,AE=PC=5,∠PBE=60 , ∴ BPE为等边三角形, ∴PE=PB=4,∠BPE=60 . 在 AEP中,AE=5,AP=3,PE=4, ∴ APE 为直角三角形,且∠APE=90 , 故答案为150 . 【例5】如图3-4-8所示, ABC是正三角形, BDC是顶角∠BDC=120 的等腰三角形,以D为顶点作一个60 角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN. (1)探究线段 BM、MN、NC 之间的关系,并加以证明. (2)若点M、N分别是射线AB、CA上的点,其他条件不变,再探索线段BM、MN、NC 之间的关系,画出图形,并说明理由. 【分析】延长AC 至点 E,使得CE=BM,连接DE,由等腰三角形和等边三角形的性质得到边与边、角与角的关系,得证 MBD≌ ECD,从而证明 DMN≌ DEN,得到边与边的关系,等量变换即可得出 MN=BM+NC. 【解】(1)MN=BM+NC. 理由如下: 延长AC 至点 E,使得CE=BM,连接DE,如图3-4-9(a)所示. ∵ BDC 为等腰三角形, ABC 为等边三角形, ∴BD=CD,∠DBC=∠DCB,∠MBC=∠ACB=60 . 又∵BD=DC,且∠BDC=120 , ∴∠DBC=∠DCB=30 , ∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60 +30 =90 , ∴∠MBD=∠ECD=90 . 在 MBD 与 ECD 中, ∴ MBD≌ ECD(SAS), ∴MD=DE,∠BDM=∠CDE. 又∵∠BDC=120 ,∠MDN=60 , ∴∠BDM+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60 , ∴∠CDE+∠NDC=60 ,即∠NDE=60 . ∵∠MDN=∠NDE=60 . 在 DMN和 DEN中, ∴ DMN≌ DEN(SAS), ∴ MN=EN. 又∵NE=NC+CE,BM=CE, ∴MN=BM+NC. (2)MN=NC-BM. 证明:在 CA 上截取CE=BM,如图3-4-9(b)所示. 由(1)知:∠DCE=∠DBM=90 ,DC=DB. 又∵CE=BM, 在 MBD 和 ECD 中, ∴ DCE≌ DBM(SAS). ∴∠CDE=∠BDM,DM=DE. ∴∠MDN=∠EDN=60 . 在 MDN 和 EDN中, ∴ MDN≌ EDN(SAS). ∴ NM=NE. ∵NE=NC-CE,CE=BM, ∴MN=NC-BM. 三 根据等量条件构造等边三角形 【例6】(1)如图 3-4-10(a)所示,在四边形ABCD 中,AB=AD,∠BAD=60 ,∠BCD=120 ,证明:BC+DC=AC. (2) 如图3-4-10(b)所示,在四边形 ABCD 中, ∠ABC=60 ,点 P 为四边形 ABCD 内一点,且. 证明:PA+PD+PC≥BD. 【分析】连接BD,延长BC到点E,使CE=CD,连接DE,根据已知条件可知 ABD 是等边三角形,根据等边三角形的性质可得AD=BD,再证 ACD≌ BED等量变换即可得出AC=BC+CD. 【证明】(1)连接BD,延长BC 到点 E,使CE=CD,连接DE. ∵AB=AD,∠BAD=60 , ∴ ABD是等边三角形, ∴∠ADB=60 ,AD=BD. 又∵∠BCD=120 ,CE=CD,∴∠DCE=180 -∠BCD=60 , ∴ DCE 是等边三角形, ∴∠CDE=∠ADB=60 ,DC=DE, ∴∠ADC=∠BDE. 在 ACD 和 BED 中, ∴ ACD≌ BED (SAS), ∴AC=BE=BC+CE,即AC=BC+CD. (2)把线段 AP绕点A 逆时针旋转60 ,到AQ. 连接AC、PQ,如图3-4-12 所示. ∴AP=AQ, APQ为正三角形, ∴∠QAP=60 ,QP=AP. 又∵∠APC=120 , ∴∠APC+∠APQ=180 ,则点C、P、Q 在同一条直线上. ∵AB=BC,∠ABC=60 , ∴ ABC为正三角形, ∴∠BAC=60 ,AB=AC, ∴∠ABC+∠PAC=∠QAP+∠PAC,即∠QAC=∠PAB, ABP≌ ACQ (SAS). PB=QC=PA+PC, 在 PDB中,PB+PD≥BD,即PA+PC+PD≥BD. 【例7】如图3-4-13所示,在 ABC中,∠B=60 ,延长BC到点 D,延长BA到点 E,使AE=BD,连接CE、DE,使EC=ED,求证: ABC是等边三角形. 【分析】延长BD 至点 F,使DF=BC,连接EF,求出 ECB≌ EDF,得出 为等边三角形,从而得出BE=BF,结合AE=BD 推出AB=BC,进一步得出结论即可. 【证明】延长BD 至点 F,使DF=BC,连接EF,如图3-4-14所示. ∵EC=ED, ∴∠ECD=∠EDC, ∴∠ECB=∠EDF. 在 ECB 和 EDF中, ∴ ECB≌ EDF (SAS), ∴BE=EF,∠B=60 , ∴ BEF为等边三角形, ∴BE=BF. ∵AE=BD, ∴DF=AB,BC=DF, ∴AB=BC, ∴ ABC 是等边三角形. 【例8】如图3-4-15 所示,已知六边形ABCDEF 的每个内角都是120 ,且AB=1,BC=CD=7,DE=3,则这个六边形周长为( ). A.31 B.36 C.32 D.29 【分析】延长并反向延长AB、CD、EF,六边形 ABCDEF 的每个内角都是 可得出 GHN、 GBC、 AFH、 DEN都是等边三角形,进而得出答案. 【解】如图3-4-16 所示,延长并反向延长AB、CD、EF. ∵六边形ABCDEF的每个内角都是120 , ∴ ∠G=∠H=∠N=60 , ∴ GHN、 GBC、 AFH、 DEN都是等边三角形, ∴GN=CG+CD+DN=BC+CD+DE=7+7+3=17. ∴六边形 ABCDEF的周长=GH+HN+NG-EN-AH-BG =3 17-3-9-7 =32. 实战演练 1. 已知∠AOB=30 ,点P在∠AOB 内部,P₁与P关于OB对称,P₂与P关于OA 对称,则 P₁、O、P₂三点所构成的三角形是( ). A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 2. 如图3-4-17 所示,设 ABC和 CDE都是正三角形,且∠EBD=62 ,则∠AEB的度数是( ). A.124 B.122 C.120 D.118 3. 如图3-4-18 所示,在凸五边形ABCDE 中, 则∠D=( ). A.30 B.45 C.60 D.67.5 4. 等腰三角形的一条腰上的高线等于该三角形某一条边的长度的一半,则其顶角的度数等于( ). A.30 B.30 或150 C.30 或120 D.30 或120 或150 5. 如图3-4-19 所示,在一个房间内,有一个梯子斜靠在墙上,梯子顶端距地面的垂直距离MA 为 am,此时梯子的倾斜角为75 ,如果梯子底端不动,顶端靠在对面的墙上,此时梯子的顶端距地面的垂直距离 NB 为 bm,梯子的倾斜角为45 ,则这间房子的宽AB 一定是( ). C. bm D. am 6. 如图3-4-20所示,点 P 是面积为 的正 ABC内任意一点,PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,则PD+PE+PF= . 7. 如图3-4-21(a)所示,点 D为等边三角形 ABC 的边BC 上一点,以AD 为边作等边三角形ADE,连接BE. (1)求证: (2)分别取BE、CD 的中点M、N,连接AM、AN、MN,如图3-4-21(b)所示,试判断 AMN的形状并 证明. 8. 如图3-4-22所示,在等边 ABC 中,D、E分别是BC、AC 上的点,且 ,AD 与BE 相交于点 F,CF⊥BE,求AF:BF的值. 9. 如图3-4-23 所示,在正三角形ABC 的BC 边上任取一点 D,以CD 为边向外作正三角形 CDE. 求证:BE=AD. 10. 如图3-4-24所示,在平面直角坐标系中, AOP 为等边三角形,A(0,1),点B为y轴上一动点,以 BP 为边作等边 PBC. (1)求证:OB=AC. (2)求∠CAP 度数. (3)当B点运动时,AE 的长度是否发生改变? 若不变,求其值;若变化,说明变化规律. 1 1. 如图3-4-25 所示, ABC 为等边三角形,点 D 为 BC 上任一点,∠ADE=60 ,边 DE 与∠ACB外角的角平分线相交于点 E. (1)求证:AD=DE. (2)若点 D 在CB的延长线上,(1)的结论是否依然成立? 请画出图形,若成立,请给予证明,若不成立,请说明理由. 12. 如图3-4-26所示,在等腰 ABC中,AB=AC,顶角∠A=20 ,在边AB上取点D,使AD=BC ,求∠BDC的度数. 13. 如图3-4-27 所示,在∠MAN 中,AC 平分∠MAN.(1)在图(a)中,若∠MAN=120 ,∠ABC=∠ADC=90 ,求证:AB+AD=AC; (2)在图(b)中,若∠MAN=120 ,∠ABC+∠ADC=180 ,则(1)中的结论是否仍然成立? 若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由. 14.(1)如图3-4-28(a)所示,已知:在 ABC中,∠BAC=90 ,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点 D、E. 证明:DE=BD+CE. (2)如图3-4-28(b)所示,将(1)中的条件改为:在 ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC= ,其中 为任意锐角或钝角. 请问结论DE=BD+CE是否成立? 若成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由. (3)拓展与应用:如图(c)所示,点D、E是D、A、E三点所在直线m 上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F 为∠BAC的角平分线上的一点,且 ABF 和 ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断 DEF的形状. 学科网(北京)股份有限公司 $$