2.2.2双曲线的简单几何性质第一课时课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2.2.2 双曲线的简单几何性质（第一课时） 北师大版（2019）选择性必修一 1 学习目标 1．了解双曲线的几何图形及简单几何性质； 2．通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解双曲线的简单应用． 2 学习重点 学习难点 双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质． 利用双曲线的简单几何性质解决简单实际问题． 3 新课导入 想一想：我们已经学习了双曲线的概念与双曲线的标准方程，类比对椭圆的研究，接下来我们应该研究哪些内容？ 类比对椭圆的研究，接下来要研究双曲线的几何性质，通过观察双曲线的图象，研究双曲线的范围、对称性、顶点等．研究的基本思路与方法是先“形”后“数”，即在观察图形形状与特征的基础上先提出猜想，再通过双曲线的标准方程进行计算和推理． 4 新课学习 1.范围 问题1：观察平面直角坐标系中的双曲线，它有怎样的范围？ 5 2.对称性 问题2：观察双曲线的形状，它有怎样的对称性？你能利用双曲线的方程证明它的对称性吗？ 6 3.顶点 问题3：观察双曲线，你觉得有哪些比较特殊的点？你能通过方程给出证明吗？ 7 注意： （1）双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的地方，双曲线的两个顶点分别是实轴的端点，虚轴的两个端点不是双曲线的顶点，只是为了给出b的几何意义而定义的. （2）双曲线的焦点总在实轴所在的直线上，而椭圆的焦点总在长轴上. 8 例题来了 9 解： 10 解: 11 12 在平面直角坐标系中描出上述对应点，并用光滑曲线连起来.根据对称性，再画出双曲线在其他三个象限的部分（如图）． 13 思考交流 14 结论 15 课堂巩固 D 16 AB 17 A 18 BC 19 20 D 21 22 1 23 24 25 26 总结一下 1.范围 2.对称性 3.顶点 27 谢谢观看 Lorem Ipsum Dolor Sit Amet, Consectetuer Adipiscing Elit. 28 通过方程来研究，双曲线的方程变形为 ，所以双曲线C上的任意一点P（x，y）都满足 ， ， 即 与 ，且 ， 因此，双曲线C在不等式 与 所表示的区域内，即位于两条直线 和 外侧区域内． 根据方程 的结构特点， 可以发现：若点P的坐标 满足方程 ， 则点P关于 x 轴、y轴和原点O对称的点 的坐标也都满足方程 . 这说明双曲线既是关于x轴和y轴的轴对称图形，也是关于原点的中心对称图形. 这个对称中心称为双曲线的中心. 在标准方程 中，令 得 ；令 ，则y无解．这说明双曲线有两个顶点， ． 对称轴上位于两顶点间的线段 叫做双曲线 的实轴，其长度为 ．尽管此双曲线与y轴无公共点，但y轴上有两个特殊的点 ．我们称线段 为双曲线的虚轴，其长度为 ． 例1 如图，火力发电厂的冷却塔的外形是由双曲线绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，已知塔的总高度为150m，塔顶直径为70m，塔的最小直径(喉部直径)为67m，喉部标高(标高是地面或建筑物上的一点和作为基准的水平面之间的垂直距离)为112.5m，试建立适当的坐标系，求出此双曲线的标准方程(精确到0.01)，并画出该双曲线． 设双曲线的标准方程为 ， 则 ， 由已知可得点C的坐标为（35，37.5），代入双曲线的标准方程有 ，所以 故所求双曲线的标准方程为 ． 实轴长为2，虚轴长为1， 根据双曲线的对称性，先画双曲线位于第一象限的部分，为此，由双曲线的方程解得 ． 计算出一些点，如表： x 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 y 0 0.56 0.87 1.15 1.41 1.94 2.45 2.96 3.46 3.97 观察上图中双曲线 在第一象限的图形, 可发现如下情形: 随着x的增大, y随之增大, 当x 比较大时, 该图形逼近于直线 , 且总在该直线的下方. 双曲线图形的这种特征,能否从它在第一象限的图形的方程 和直线方程 的联系中给出解释呢? 当 时， ，所以在第一象限中，当x比较大时，双曲线的图像逼近于直线 的图像，且总在该直线的下方. 2.（多选题）若双曲线 的实轴长为4，则实数 ( ) A. B. C. D. 解析：由双曲线实轴长为4，有 ，得 ， .故选A，B. 3.双曲线 的虚轴长是实轴长的2倍，则实数 ( ) A. B.-4 C.4 D. 解析：双曲线方程化为标准形式为 ，则有 ， .由题设知， ，解得 . 4.（多选题）已知双曲线 的实轴长为 ，则k的值为为( ) A.3 B.6 C. D.6或 解析：由已知可得，当 时，将双曲线C转为标准形式 ，因为实轴长为 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 ，因此 得 ；当 时，将双曲线C转化为标准形式 ，因为实轴长为 ，所以 ，解得 。. 5.已知双曲线 的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段 与双曲线C的右支交于点A，若 ，且 ，则双曲线C的方程为( ) A. B. C. D. 解析：设 ， 可得 ， . 又 ， 解得 . 双曲线C的方程为 . 6.双曲线 的实轴长为4,则 ________. 解析：显然 恒成立，则双曲线E的焦点在x轴上， 于是 ，所以 . 7.已知对称轴是坐标轴的等轴双曲线C经过点 ,则双曲线C的标准方程为________. 解析：由题意，在等轴双曲线C中，对称轴是坐标轴，图像过 ， 当焦点在x轴时，设 ，则 ， ，解得: ， 双曲线C的标准方程为 ，当焦点在y轴时，不成立， 综上，双曲线y的标准方程为 8.以双曲线 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为__________. 解析：双曲线焦点 ,顶点 ,故椭圆的焦点为 ,顶点 . 答案： $$