精品解析：湖北省黄冈市学海园2024届高三下学期冲刺卷（一）数学试题

学海园大联考 2024届高三数学冲刺卷（一） 命题：黄冈市文海教科院 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设锐角满足，则数据的极差是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件得到，从而有，再利用极差的定义即可求出结果. 【详解】因为，并且是锐角，所以， 得到，又对应四个数据(应用诱导公式)分别可写为， 所以极差为， 故选：B. 2. 设复数，则的虚部是（ ） A. -3 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用复数的加法运算结合共轭复数的定义求解. 【详解】依题意：， 则，所以其虚部为. 故选：A. 3. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由投影向量计算公式可得答案. 【详解】在向量上的投影向量为. . 故选：A 4. 已知圆，弦过定点，则弦长不可能的取值是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断点所在的位置，然后求出弦长的最值，即可得解. 【详解】圆的半径， 因为， 所以点在圆内， 当弦过圆心时，， 当时，弦最短， ， 所以， 所以弦长不可能的取值是D选项. 故选：D. 5. 在棱长为2的正方体中，已知，截面与正方体侧面交于线段，则线段的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到，再由面面平行的性质，证得，结合，即可求解. 【详解】如图所示，因为，所以， 因为平面平面，设平面平面，平面平面，所以， 又因为，所以 过点作，可得， 则为的中点，为的四等分点， 又因为，所以为的四等分点，所以. 故选：C． 6. 将按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对.若，则恰有2个逆序对的数列的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据逆序对的定义，分数列的第一个数为，数列的第二个数为，数列的第三个数为，数列的第四个数为，四种情况讨论即可. 【详解】若，则， 由构成的逆序对有， 若数列的第一个数为，则至少有个逆序对， 若数列的第二个数为， 则恰有2个逆序对的数列为， 若数列的第三个数为， 则恰有2个逆序对的数列为或， 若数列的第四个数为， 则恰有2个逆序对的数列为， 综上恰有2个逆序对的数列的个数为个. 故选：B. 7. 已知，分别为定义在R上的，的导函数，且，，若是偶函数，则下列结论一定正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 3是的一个周期 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据求导法则，利用函数的对称性、奇偶性、周期性，即可求出、、、的性质，进而判断各选项的正误. 【详解】因为，，所以， 所以函数的对称中心为点，又， 所以函数的图象关于点对称，A不正确； 是偶函数，所以，所以， 即为奇函数，对称中心为，函数的另一个对称中心为点， 所以的周期为2，C不一定正确； 函数及的周期与相同，周期为2．的图象关于点对称， ，所以，函数的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称，B正确； 因为，，故，D不正确． 故选：B. 8. 已知为双曲线的右顶点，为坐标原点，为双曲线上两点，且，直线的斜率分别为和，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出两点关于原点对称，设出的坐标，根据，可知是中点，两点关于原点对称，直线的斜率列方程，求得，进而求得双曲线的离心率. 【详解】，设，则， 则， ， . 故选：C 【点睛】求解双曲线离心率有关的问题，可以利用直接法来进行求解，也即通过已知条件求得和，从而求得双曲线的离心率.也可以利用构造齐次式的方法来进行求解，也即通过已知条件求得或的等量关系式，由此来求得离心率. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知全集U，集合A，B是U的子集，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意判断，根据并集的运算可判断A；结合补集的含义以及交集并集运算可判断B、C、D. 【详解】因为，所以， 对于A：由，可得，A正确； B：由于，故，B错误； C：因为，，则，C正确； D：由于，故，D错误． 故选：AC． 10. 在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点处测得河对岸点位于点的南偏西的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点，，，使点，，共线，点位于点的正西方向上，点位于点的正东方向上，测得，，，，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 点在点的北偏西方向上 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正余弦定理解三角形逐一求解即可； 对于，先求出，，，再根据，，即可判断； 对于，根据三角形的面积公式求解即可，即可判断； 对于，在中，由正弦定理，即可判断； 对于，过点作于点，易知，即可判断． 【详解】对于，因为，点位于点的南偏西的方向上， 所以，，， 又，，，， 在，中，，，所以，故A正确； 对于，的面积为，故B错误； 对于，在中，由正弦定理，得，解得，故C正确； 对于，过点作于点，易知，所以，故D错误， 故选：． 11. 黎曼函数（Riemann function）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其基本定义是：（注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数），则下列结论正确的是（ ） A. B. 黎曼函数的定义域为 C. 黎曼函数的最大值为 D. 若是奇函数，且，当时，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的定义计算特殊值判断A选项，根据定义域判断B选项，根据值域判断C选项，结合对称性及周期性判断D选项. 【详解】，错误. 因为是既约真分数，或上的无理数，所以黎曼函数的定义域为正确. 又为既约真分数，所以的最大值为正确. 因为，所以.所以. 因为是奇函数，所以，所以， 即是以2为周期的周期函数， ， 所以错误. 故选:. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数（为虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的运算法则即可得在复平面上对应的点为，可得到原点的距离为. 【详解】易知， 可得在复平面上对应的点，所以到原点的距离. 故答案为： 13. 在解决问题“已知正实数满足，求的取值范围”时，可通过重新组合，利用基本不等式构造关于的不等式，通过解不等式求范围．具体解答如下： 由，得，即，解得的取值范围是． 请参考上述方法，求解以下问题： 已知正实数满足，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据参考可得答案. 【详解】因为，所以 ， 得，即， 解得的取值范围是． 故答案为：． 14. 欧拉是18世纪最优秀的数学家之一，几乎每个数学领域都可以看到欧拉的名字，如著名的欧拉函数.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素(两个数只有公约数1)的正整数的个数.例如：，.现从中任选两个数，则这两个数相同的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数新定义求出的值，然后结合组合知识利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】根据欧拉函数的定义知，，，，，，， ，，，， 从中任选两个数有种结果， 其中这两个数相同的有 共8种结果， 所以根据古典概率公式得所求的概率为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知三棱柱，如图所示，是，上一动点，点、分别是、的中点，，． （1）求证：平面； （2）当平面，且时，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：因为点、分别是、的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由中位线得到线线平行，得到线面平行； （2）建立空间直角坐标系，求出点到平面的距离，利用三棱锥体积公式求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，， 又， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面法向量的法向量为， 则， 解得，令，则，故， 则点到平面的距离为， 由勾股定理得， ， 则三棱锥的体积为. 16. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，研究函数在上的单调性和零点个数． 【答案】（1） （2）在上单调递增；1 【解析】 【分析】（1）当时，求出，，从而可求出切线方程. （2）当时，利用导数求出在上单调递增．又，从而可求解. 【小问1详解】 当时，， 则，则，， 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 当时，，则， 当时，，，，则， 故在上单调递增． 又因为，所以在上的零点个数为． 17. 身高体重指数（）这个概念，是由19世纪中期的比利时通才凯特勒最先提出，它的计算公式如下：身高体重指数（）=体重（）÷身高（m）的平方.成人的数值低于18.5，则体重过轻，在则正常；在为过重，在为肥胖，不低于32为非常肥胖，且专家指出最理想的体重指数是22.某科研小组设计了一套方案；并在两类人群中进行对比实验，其中科学饮食组采用科学饮食方案，对照组采用随意饮食方案.半年后，分别在两组中各随机选取100人，都分布在内，按分成5组进行统计：，，，，.统计后分别制成如下的频率分布直方图. （1）求a，b，并估计科学饮食组的80%分位数（结果精确到小数点后两位）； （2）现采用分层抽样的方法从对照组选取的100人中抽取25人，再从这25人中随机抽取2人，记其中“肥胖”（不含非常肥胖）的人数为X，求X的分布列与数学期望. 【答案】（1），，； （2）分布列： 0 1 2 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质及百分位数的求法计算即可； （2）根据分层抽样的抽样方法先确定抽取的肥胖人数与非肥胖人数，再利用离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知， ， 由图象计算可得科学饮食组前三个区间所占频率为， 前四个区间所占频率为， 所以80%分位数在区间内，不妨设为， 所以； 【小问2详解】 根据对照组的频率分布直方图可知在区间内的人数有人， 非肥胖的人数为人， 可取， 所以， 分布列如下： 0 1 2 所以. 18. 已知点，直线，为轴右侧或轴上动点，且点到的距离比线段的长度大1，记点的轨迹为. （1）求曲线的方程； （2）已知直线交曲线于，两点（点在点的上方），，为曲线上两个动点，且，求证：直线的斜率为定值. 【答案】（1）； （2）将代入得，则，，如图： 设抛物线E上动点，显然直线AC，AD斜率存在， ，同理，因为，则， ， 直线的斜率， 即直线的斜率为定值-1. 【解析】 【分析】(1)由题设条件分析讨论，再用抛物线定义即可得解； (2)求出点A坐标，利用抛物线方程设出点C，D坐标，由条件探求出这两点纵坐标关系即可得解. 【详解】（1）依题意，线段的长度等于到的距离，由抛物线定义知， 点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以的方程为； （2）略 19. 已知等比数列为递增数列，，是与的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）若项数为n的数列满足：（，2，3，…，n）我们称其为n项的“对称数列”.例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”.设数列为项的“对称数列”，其中，，，…，是公差为2的等差数列，数列的最大项等于.记数列的前项和为，若，求k. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设数列的公比为q，根据等差中项的性质，结合等比数列的基本量列式求解即可； （2）先确定，进而根据等差数列的通项公式得出，再根据等差数列前项和的公式结合求解即可 【小问1详解】 设数列的公比为q，由题意知：， 所以，解得或（舍），所以. 【小问2详解】 由题知：，，，，…，是以8为末项，2为公差的等差数列， 所以，解得， 所以， 所以 所以，即，解得或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学海园大联考 2024届高三数学冲刺卷（一） 命题：黄冈市文海教科院 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设锐角满足，则数据的极差是（ ） A. B. C. D. 2. 设复数，则的虚部是（ ） A. -3 B. 3 C. D. 3. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 已知圆，弦过定点，则弦长不可能的取值是（ ） A. B. C. 4 D. 5. 在棱长为2的正方体中，已知，截面与正方体侧面交于线段，则线段的长为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 将按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对.若，则恰有2个逆序对的数列的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 已知，分别为定义在R上的，的导函数，且，，若是偶函数，则下列结论一定正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 3是的一个周期 D. 8. 已知为双曲线的右顶点，为坐标原点，为双曲线上两点，且，直线的斜率分别为和，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知全集U，集合A，B是U的子集，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点处测得河对岸点位于点的南偏西的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点，，，使点，，共线，点位于点的正西方向上，点位于点的正东方向上，测得，，，，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 点在点的北偏西方向上 11. 黎曼函数（Riemann function）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其基本定义是：（注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数），则下列结论正确的是（ ） A. B. 黎曼函数的定义域为 C. 黎曼函数的最大值为 D. 若是奇函数，且，当时，，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数（为虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为__________. 13. 在解决问题“已知正实数满足，求的取值范围”时，可通过重新组合，利用基本不等式构造关于的不等式，通过解不等式求范围．具体解答如下： 由，得，即，解得的取值范围是． 请参考上述方法，求解以下问题： 已知正实数满足，则的取值范围是______． 14. 欧拉是18世纪最优秀的数学家之一，几乎每个数学领域都可以看到欧拉的名字，如著名的欧拉函数.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素(两个数只有公约数1)的正整数的个数.例如：，.现从中任选两个数，则这两个数相同的概率是______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知三棱柱，如图所示，是，上一动点，点、分别是、的中点，，． （1）求证：平面； （2）当平面，且时，求三棱锥的体积． 16. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，研究函数在上的单调性和零点个数． 17. 身高体重指数（）这个概念，是由19世纪中期的比利时通才凯特勒最先提出，它的计算公式如下：身高体重指数（）=体重（）÷身高（m）的平方.成人的数值低于18.5，则体重过轻，在则正常；在为过重，在为肥胖，不低于32为非常肥胖，且专家指出最理想的体重指数是22.某科研小组设计了一套方案；并在两类人群中进行对比实验，其中科学饮食组采用科学饮食方案，对照组采用随意饮食方案.半年后，分别在两组中各随机选取100人，都分布在内，按分成5组进行统计：，，，，.统计后分别制成如下的频率分布直方图. （1）求a，b，并估计科学饮食组的80%分位数（结果精确到小数点后两位）； （2）现采用分层抽样的方法从对照组选取的100人中抽取25人，再从这25人中随机抽取2人，记其中“肥胖”（不含非常肥胖）的人数为X，求X的分布列与数学期望. 18. 已知点，直线，为轴右侧或轴上动点，且点到的距离比线段的长度大1，记点的轨迹为. （1）求曲线的方程； （2）已知直线交曲线于，两点（点在点的上方），，为曲线上两个动点，且，求证：直线的斜率为定值. 19. 已知等比数列为递增数列，，是与的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）若项数为n的数列满足：（，2，3，…，n）我们称其为n项的“对称数列”.例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”.设数列为项的“对称数列”，其中，，，…，是公差为2的等差数列，数列的最大项等于.记数列的前项和为，若，求k. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $