河南省信阳高级中学北湖校区2026-2027学年高三上期10月轮考过关测试（一）数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2026-2027学年高三上期10月轮考过关测试（一） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B D B A D C B AD ABD ABD 1 学科网（北京）股份有限公司 12． 13． 14． 15．(1)根据表中已知数据，解得，，．数据补全如下表： 且函数表达式为； (2)离原点最近的对称中心为． 【详解】（1）根据表中已知数据可得：，，，解得， ． 数据补全如下表： 且函数表达式为． （2）由（1）知，因此． 因为的对称中心为，． 令，解得，． 即图象的对称中心为，， 其中离原点最近的对称中心为． 16．（1）单调增区间为，；；（2）. 【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算,并利用两角和差的三角函数公式化简得到函数的解析式，有三角函数的性质求得周期，单调增区间； （2）将不等式分离参数，根据不等式有解的意义得到；然后根据角的范围，利用三角函数的性质求得函数的最小值，进而求得的取值范围. 【详解】（1）因为 所以函数的最小正周期； 因为函数的单调增区间为，， 所以，， 解得，， 所以函数的单调增区间为，； （2）不等式有解，即； 因为，所以，又， 故当，即时， 取得最小值，且最小值为， 所以. 17．(1)（）； (2)个； (3). 【分析】（1）利用的周期和对称性求参数，结合最值点建立方程组求解解析式； （2）将实际条件转化为三角函数不等式，结合变量取值范围求解； （3）利用函数图象的对称性，结合临界值确定恰好满足条件的参数范围. 【详解】（1）由题意可知，周期，故， 因为，所以是函数的一条对称轴，此时函数取得最大值， 故； 又与相差半个周期，所以时取得最小值， ； 联立解得，. 此时，得， 所以，即， 因为，得， 故（）； （2）由题意令，即， 化简得， 所以， 解得， 因为， 当时，，即，共个月， 所以一年内共有个“用电高峰月”. （3）要使恰有个整数解，结合函数对称性，这个解必为， 计算得： ， ， ， 因此需满足且， 即， 所以的取值范围是. 18．(1) (2) (3)或 【分析】根据余弦函数的对称性、周期以及最值求解可得 （2）先写出的表达式，令其为0可得对应的三角方程，因为，所以可确定相位的取值范围，结合零点个数为3的条件，列出相位区间的边界不等式，进而求解的最小值； （3）先利用将转化为关于的二次函数，结合和最小值为的条件求出的值，进而得到的值域，再根据的区间求出的值域，得到的值域，因为对任意，存在满足等式，所以的值域是值域的子集，据此列不等式求解的范围. 【详解】（1） ，， ， （2），， 即在内的 解的个数为3个， ， ，，又取最小值， ，且， 解得. （3）． 设，， ，∴抛物线开口向下，对称轴为， 结合二次函数性质知， 本问题等价于的值域是函数值域的子集． 由可得的值域为 设，，， 当时，，． 当时，，． 综上，或. 19．(1)双曲正弦函数，双曲余弦函数； (2) 将和代入可得： 为定值； 因此可得对任意实数，为定值 (3) 依题意可得， 当时，易知在上单调递增； 且，， 即，由零点存在性定理可得在上存在唯一实数，使得， 可得有唯一的正零点，即， 可得，两边同时取对数可得， 所以， 因为在上单调递增，所以； 因此， 可得. 【分析】（1）根据函数奇偶性以及构造方程组可求出解析式； （2）将解析式代入计算可证明； （3）利用零点存在性定理可证明在上有唯一的正零点，利用作差法并由二次函数性质计算可得. 【详解】（1）因为为奇函数，所以； 又为偶函数，所以， 由可得； 即，可得； 即可得双曲正弦函数，双曲余弦函数； （2）略 （3）略 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据唯一实数满足，再利用作差法以及二次函数性质计算可得. $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2026-2027学年高三上期10月轮考过关测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．下列四个函数中，以为最小正周期，且为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 3．已知命题：，，则该命题的真假以及否定分别为（    ） A．真命题，该命题的否定：， B．假命题，该命题的否定：， C．假命题，该命题的否定：， D．真命题，该命题的否定：， 4．已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．如图是函数的部分图像，则（    ） A． B． C． D． 6．函数的图象向左平移个单位长度得到函数，在上有且只有5个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的值域是，则实数的值等于（    ） A．2 B．-2 C． D． 8．设函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．给出下列命题： ①函数是奇函数； ②若α，β是第一象限角且，则； ③在区间上的最小值是，最大值是； ④直线是函数图像的一条对称轴； 其中真命题的序号是（      ） A．① B．② C．③ D．④ 10．已知函数图像的一条对称轴为，先将函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则函数的图像在以下哪些区间上单调递减（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，直线和点是的图象的一组相邻的对称轴和对称中心，则下列说法正确的是（    ） A．函数为偶函数 B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上为单调函数 D．函数在区间上有23个零点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．函数在区间上的值域是___________． 13．函数，为偶函数，则的值为______ 14．已知函数的部分图象如图所示，其中，则______；函数在不单调，则的取值范围为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）某同学用“五点法”画函数（，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 5 0 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式； (2)将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到图象，求的图象离原点最近的对称中心． 16．（15分）已知向量，，. （1）求函数的单调递增区间和最小正周期； （2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 17．（15分）在“双碳”目标的推动下，某大型工业园区积极推进绿色生产与智能电网调度．已知该园区月份）的电力消耗量（单位：万千瓦时）满足函数关系式，且该园区7月份的电力消耗量为30万千瓦时，1月份的为10万千瓦时．已知该园区电力消耗量以一年为一个周期，且6月份和8月份的电力消耗量恰好相同． (1)求的解析式； (2)将电力消耗量不低于25万千瓦时的月份称为“用电高峰月”，求一年内该园区一共有多少个“用电高峰月”； (3)为应对电路负荷激增引发的电气故障，该园区每年会在电力消耗量不低于万千瓦时的月份启动消防应急预案，若该应急预案每年仅在3个月内启动，求的取值范围． 18．（17分）已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是． (1)求的解析式． (2)函数在内的零点个数为3，求的最小值． (3)已知函数的最小值为；若对于任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 19．（17分）双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质： ①定义域均为，且在上是增函数； ②为奇函数，为偶函数； ③（常数是自然对数的底数，）. 利用上述性质，解决以下问题： (1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式； (2)证明：对任意实数，为定值； (3)证明：有唯一的正零点，并比较和的大小. 1 学科网（北京）股份有限公司 $