精品解析：黑龙江省双鸭山市建新中学2025届高三第一次模拟考试（8月）数学试题

建新高中2025届高三第一次模拟考试（8月） 数学 答题时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（40分，8题，每题5分） 1. 设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|x2+3x﹣4≤0}，则（∁RS）∪T=（　　） A. （﹣2，1] B. （﹣∞，﹣4] C. （﹣∞，1] D. [1，+∞） 2. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2 3. 设是内一点，且，，则（ ） A. B. C. D. 4. 我们学校附近的胜利电影院的放映大厅有20排共680个座位，从第二排开始，每一排都比前一排多两个座位，则该电影院大厅最后一排的座位数为（ ） A. 53 B. 51 C. 15 D. 16 5. 若，，满足，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是（　　） A. 120 B. 204 C 168 D. 216 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，为导函数．若存在直线同为函数与的切线，则直线的斜率为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 二、多选题（18分，3题，每题6分） 9. 若直线不平行于平面，且，则下列说法正确的是（ ） A. 内存在一条直线与平行 B. 内不存在与平行的直线 C. 内所有直线与异面 D. 内有无数条直线与相交 10. 设R，用表示不超过的最大整数，则函数被称为高斯函数；例如，，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数是周期函数 C. 函数的图像关于直线对称 D. 方程只有1个实数根 11. 已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，是圆：上一动点，线段的垂直平分线交直线于上的点，则（ ） A. 的离心率为2 B. 的渐近线方程为 C. 到的渐近线的距离为 D. 内切圆圆心横坐标为 三、填空题（15分，3题，每题5分） 12. 下列说法正确的有______（填正确命题的序号） ①若函数在处导数不存在，则函数图像在处无切线． ②若为离散型随机变量，则所有的取值构成的集合可能是无限数集． ③在对数据的相关性分析（回归分析）中，相关系数越大，两个变量的相关性越强． ④正态分布的密度曲线与轴所围成的区域的面积为1． 13. 圆心为且与直线相切的圆的方程是_________． 14. 对于实数和，定义运算“”： ，设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是___________；的取值范围是__________． 四、解答题（77分，5题） 15. 已知数列的前项和为，，. （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和. 16. 如图，三棱柱中，，是的中点，． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知函数，求： （1）函数的图象在点处的切线方程； （2）的单调递减区间； （3）求的极大值和极小值． 18. 如图，有一个半圆形场馆，政府计划改建为一个方舱医院，改建后的场馆由病床区（矩形）及左右两侧两个大小相同的休闲区（矩形和）组成，其中半圆的圆心为，半径为50米，矩形的一边在上，矩形的一边在上，点，，，在圆周上，，在直径上，且，设．若每平方米病床区的造价和休闲区造价分别为万元和万元，记病床区及休闲区的总造价为（单位：万元）. （1）求的表达式； （2）为进行改建预算，当为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值． 19. 已知P为平面上的动点，记其轨迹为Γ. （1）请从以下两个条件中选择一个，求对应的的方程.①已知点，直线，动点到点的距离与到直线的距离之比为；②设是圆上的动点，过作直线垂直于轴，垂足为，且. （2）在（1）的条件下，设曲线的左､右两个顶点分别为，若过点的直线的斜率存在且不为0，设直线交曲线于点，直线过点且与轴垂直，直线交直线于点，直线交直线于点，则线段的比值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 建新高中2025届高三第一次模拟考试（8月） 数学 答题时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（40分，8题，每题5分） 1. 设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|x2+3x﹣4≤0}，则（∁RS）∪T=（　　） A. （﹣2，1] B. （﹣∞，﹣4] C. （﹣∞，1] D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】 【详解】∵集合S={x|x＞﹣2}， ∴∁RS={x|x≤﹣2} 由x2+3x﹣4≤0得：T={x|﹣4≤x≤1}， 故（∁RS）∪T={x|x≤1} 故选C． 2. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可列式，即可解出复数虚部. 【详解】设，，解得 故选：D 3. 设是内一点，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，再利用向量的线性运算求解作答. 【详解】因是内一点，，则，即有，而， 所以. 故选：A 4. 我们学校附近的胜利电影院的放映大厅有20排共680个座位，从第二排开始，每一排都比前一排多两个座位，则该电影院大厅最后一排的座位数为（ ） A. 53 B. 51 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】设电影院放映大厅第排座位有个（），由题意数列是公差的等差数列，且，根据数列的前项和公式和通项公式求解即可. 【详解】由题意，设电影院放映大厅第排座位有个（）， 由题意，，故数列是公差的等差数列， 且数列的前项和，不妨设第一排座位为， 故，解得：， 故该电影院大厅最后一排的座位数. 故选：A 5. 若，，满足，则的大小关系为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，构造函数与的图象交点问题，为交点纵坐标，可得， 再将与比较，即可求解. 【详解】由题意，构造函数与交点， 由图象知 ，则， ，则， 则 故选： 【点睛】本题考查指数式，对数式比较大小，考查数形结合，属于中等题. 6. 在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是（　　） A. 120 B. 204 C. 168 D. 216 【答案】B 【解析】 【分析】根据三个数字中是否有“0”分两类，利用分类加法计数原理求解. 【详解】分两类，第一类不含数字“0”，从1到9的自然数中任意取出3个，都可以得到严格递增或严格递减顺序排列的三位数，共有个； 第二类含有数字“0”，从1到9的自然数中任意取出2个，三个数只能排出严格递减顺序的三位数，共有个， 根据分类加法计数原理，所以共有个. 故选：B 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则原等式可化为，化简后求出即可. 详解】令，则， 所以由， 得， 即， 即，得， 所以， 故选：C. 8. 已知函数，，为导函数．若存在直线同为函数与的切线，则直线的斜率为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出两个曲线上的切点坐标：，. 用由点斜式写出切线的方程，根据直线同为函数与的切线知也适合切线方程，列出方程组求解. 【详解】∵，，∴，，， 设函数上的切点坐标为，函数上的切点为，则切线斜率， 故切线方程可表示为，由于直线同为函数与的切线， 故，则直线的斜率为4. 故应选：C. 二、多选题（18分，3题，每题6分） 9. 若直线不平行于平面，且，则下列说法正确的是（ ） A. 内存在一条直线与平行 B. 内不存在与平行的直线 C. 内所有直线与异面 D. 内有无数条直线与相交 【答案】BD 【解析】 【分析】利用直线与直线，直线与平面的位置关系判断. 【详解】A. 若内存在一条直线与平行，则由线面平行的判定定理知 ，故错误； B. 因为直线不平行于平面，且，所以直线与平面相交，故内不存在与平行的直线，故正确； C. 因为直线不平行于平面，且，所以直线与平面相交，在内过交点的直线与共面，故错误； D. 因为直线不平行于平面，且，所以直线与平面相交，在内过交点的直线有无数条与相交，故正确； 故选：BD 10. 设R，用表示不超过的最大整数，则函数被称为高斯函数；例如，，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数是周期函数 C. 函数的图像关于直线对称 D. 方程只有1个实数根 【答案】AD 【解析】 【分析】确定时的图象，根据的奇偶性确定部分的函数图象，根据的图象确定的图象即可求解. 【详解】选项A，函数的定义域为R， 因为，所以为偶函数， 当时，， 当时，， 当时，， 因为为偶函数，所以函数的图象如下图所示 由可知，在内， 当，Z 时，， 当，且,Z时，， 当或，Z时，， 因为，所以为偶函数，则函数的图象如下图所示 显然不是周期函数，故选项A正确，B错误, C错误; 对于方程，当时，方程有一个实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 所以方程只有1个实数根，故D正确； 故选：AD. 11. 已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，是圆：上一动点，线段的垂直平分线交直线于上的点，则（ ） A. 的离心率为2 B. 的渐近线方程为 C. 到的渐近线的距离为 D. 内切圆圆心的横坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可求得，再根据双曲线的几何性质可判断A，B，C选项，根据双曲线的定义可判断D选项． 【详解】由题意，可知，所以．又由题意，知，所以， 所以，故的方程为，所以的离心率为，渐近线方程为，故A，B正确； 焦点到渐近线的距离为，所以C错误； 设的内切圆与轴相切于点，则由双曲线定义得，所以，即内切圆圆心的横坐标为，所以D正确， 故选:ABD． 【点睛】关键点点睛：本题以双曲线为背景，关键在于运用双曲线的定义、标准方程和几何性质，使问题得以解决． 三、填空题（15分，3题，每题5分） 12. 下列说法正确的有______（填正确命题的序号） ①若函数在处导数不存在，则的函数图像在处无切线． ②若为离散型随机变量，则所有的取值构成的集合可能是无限数集． ③在对数据的相关性分析（回归分析）中，相关系数越大，两个变量的相关性越强． ④正态分布的密度曲线与轴所围成的区域的面积为1． 【答案】②④ 【解析】 【分析】对①，利用函数的导数与切线的斜率之间的关系即可判断；对②，根据离散型随机变量的定义即可判断；对③，根据回归直线方程的应用即可判断；对④，根据正态分布的定义即可判断. 【详解】解：对①，若函数在处导数不存在，说明在该点处的斜率不存在， 不是说函数图象在处无切线，故①错误； 对②，若为离散型随机变量，则所有的取值构成的集合可能是无限数集，故②正确； 对③，在对数据的相关性分析（回归分析）中，相关系数越大，两个变量的相关性越强，故③错误； 对④，正态分布的密度曲线与轴所围成的区域的面积为1，故④正确. 故答案为：②④. 13. 圆心为且与直线相切的圆的方程是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由点直线的距离公式求得圆心到直线的距离，得到圆的半径，结合圆的标准方程，即可求解.2 【详解】由题意，圆心到直线的距离为， 因为圆且与直线相切，所以圆的半径， 所以圆的方程为. 故答案为：. 14. 对于实数和，定义运算“”： ，设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是___________；的取值范围是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先求得的解析式，画出的图像，将方程为恰有三个互不相等的实数根，等价为的图象与的图象有三个交点，则可得m的范围，当时，由，根据韦达定理，可求得的范围，当时，根据，可求得的最小值，即可得答案. 【详解】当时，，当时，， 所以，即， 图象如图所示： 方程为恰有三个互不相等的实数根，等价于的图象与的图象有三个交点， 当时，，， 由图象可得， 令，解得，所以， 令，解得根为，由图象可得，当最高时，解得最小，此时， 所以，解得或（舍）， 所以， 所以， 故答案为：；. 【点睛】解题的关键是先求得解析式，画出图像，将方程求根问题，转化为图象求交点问题，找到临界位置，数形结合，分析计算，即可得结果，属中档题. 四、解答题（77分，5题） 15. 已知数列的前项和为，，. （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用递推关系得出，再利用递推关系得出的通项公式； （2）根据，利用列项相消法得出的前项和. 【小问1详解】 当时，由得， 又因为，所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 故，， 当时，， 所以，也符合上式， 所以. 【小问2详解】 ， 所以. 16. 如图，三棱柱中，，是的中点，． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，得到，再证明平面． （2）方法一几何法，取的中点，过点作于点，可证平面，点到平面的距离即为，求解得解；方法二向量法，建立空间直角坐标系利用向量法求点面距； （3）建立空间直角坐标系利用向量法求解. 【小问1详解】 因为，是的中点，所以， 因，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为，是的中点， 所以，，平面， 所以平面． 【小问2详解】 法一：取的中点，连接，可得四边形是平行四边形， 因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 过点作于点，平面， 平面平面，则平面， 所以点到平面的距离即为， 因为，所以，又， 所以，故点到平面的距离为． 法二：由（1）知平面，，所以，，两两垂直，以为原点， 以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以，又，， 所以， ，，所以， 所以，，，，， ，，设平面的一个法向量为， 则，即，令， 则为平面的一个法向量， 又，所以点到平面的距离， 故点到平面的距离为． 【小问3详解】 由（2）法二得，，设平面的一个法向量为， 则得，令，则，， 所以为平面的一个法向量， 又平面，所以是平面的一个法向量， ， 故平面与平面的夹角的余弦值为． 17. 已知函数，求： （1）函数的图象在点处的切线方程； （2）的单调递减区间； （3）求的极大值和极小值． 【答案】（1） （2）， （3）极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程； （2）根据导函数的正负即可确定所求的单调区间； （3）根据（2）可求极值. 【小问1详解】 由题意得：， ，又， 的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由（1）知：， 当时，；当时，； 单调递减区间为，. 【小问3详解】 根据（2）可知，当为函数的极小值点，且， 当为函数的极大值点，且， 所以的极大值为，极小值为. 18. 如图，有一个半圆形场馆，政府计划改建为一个方舱医院，改建后的场馆由病床区（矩形）及左右两侧两个大小相同的休闲区（矩形和）组成，其中半圆的圆心为，半径为50米，矩形的一边在上，矩形的一边在上，点，，，在圆周上，，在直径上，且，设．若每平方米病床区的造价和休闲区造价分别为万元和万元，记病床区及休闲区的总造价为（单位：万元）. （1）求的表达式； （2）为进行改建预算，当为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值． 【答案】（1）（万元），；（2）当时，总造价的最大值为万元. 【解析】 【分析】 （1）根据直角三角形的边角关系以及倍角公式用表示三个矩形的长和宽，用矩形面积乘以相应造价得出的表达式； （2）利用导数得出函数的单调性，进而得出最值. 【详解】解：（1）设，由图可知在矩形中， ， 所以 在矩形中， 所以 因为病床区每平方米的造价为万元，休闲区每平方米造价为万元， （万元），. （2）由（1）得， 因为，所以 令，解得，因为，所以 当变化时，，的变化情况如下表： 极大值 所以当时，总造价取得极大值 即当时，总造价的最大值为万元. 【点睛】方法点睛：在解决含有正弦函数的最值问题时，一般可以有以下方法： 1、利用导数得出单调性，再求最值； 2、对于型的函数，利用正弦函数的单调性求最值即可； 19. 已知P为平面上的动点，记其轨迹为Γ. （1）请从以下两个条件中选择一个，求对应的的方程.①已知点，直线，动点到点的距离与到直线的距离之比为；②设是圆上的动点，过作直线垂直于轴，垂足为，且. （2）在（1）的条件下，设曲线的左､右两个顶点分别为，若过点的直线的斜率存在且不为0，设直线交曲线于点，直线过点且与轴垂直，直线交直线于点，直线交直线于点，则线段的比值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）条件选择见解析，的方程为 （2）是定值，且定值为 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程或利用代入法求得的方程. （2）设出直线的方程并与曲线的方程联立，化简写出根与系数关系，求得两点的纵坐标，由此化简来求得正确答案. 【小问1详解】 选①，设，由， 化简得，即所求轨迹Γ的方程为. 选②，设，由，得， 代入圆O的方程，，整理得， 即所求轨迹Γ的方程为. 【小问2详解】 设， 已知直线m的斜率存在且不为0，设过点K的直线m的方程为， 与方程联立得：， ∴. 且 直线AM的方程为，∴.同理，， ∴ 其中，， 将代入可得， ， ∴. 【点睛】求曲线的轨迹方程的方法有很多，可以利用圆锥曲线的定义来求，也可以利用题目所给的等量关系式来求，还可以利用相关点代入法来求.在求曲线方程的过程中，要注意验证方程上的点是否都在曲线上，也要验证曲线上的点是否都符合方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$