精品解析：广东省部分名校2025届高三上学期8月入学摸底联合测评考试数学试卷

2025届高三上学期8月入学摸底联合测评考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 能正确表示图中阴影部分的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 已知向量，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 石墨烯是一种由单层碳原子构成的具有平面网状结构的物质，其结构如图所示，其中每个六边形的顶点是一个碳原子的所处位置.现令六边形为中心六边形，其外围紧邻的每个六边形构成“第一圆环”，“第一圆环”外围紧邻的六边形构成“第二圆环”，以此类推.则“第七圆环”上的碳原子数为（ ） A. 42 B. 120 C. 168 D. 210 5. 在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 现某酒店要从3名男厨师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，则至少有1名女厨师被选中的不同选法有（ ） A. 14种 B. 18种 C. 12种 D. 7种 7. 设分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点，直线与以为圆心、为半径的圆切于点为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在正四棱锥中，是线段上的动点．设直线与直线所成的角为，二面角为，直线与平面所成的角为，这三个角的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的展开式共有13项，则下列说法正确的有（ ） A. 所有奇数项的二项式系数和为 B. 二项式系数最大的项为第7项 C. 所有项的系数和为 D. 有理项共有5项 10. 中，D为AB上一点且满足．若P为线段CD上一点，且（为正实数），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最小值为3 11. 若的定义域为，满足对任意，都有，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲､乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为，乙队中3名选手答对题的概率分别为.在第一轮比赛中，甲队得分，乙队得分，则在这一轮中，满足且的概率为__________. 13. 若曲线的切线为，则一组满足条件的的取值为__________． 14. 省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为______米 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形． （1）求的值； （2）若，且，求的值； （3）求关于的方程在上的最大根与最小根之和. 16. 某工厂去年12月试产了1000个电子产品，产品合格率为0.85.从今年1月开始，工厂在接下来的一年中将生产这款产品，1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加0.01. （1）求今年2月生产的不合格产品的数量，并判断哪个月生产的不合格产品的数量最多； （2）求该工厂今年全年生产的合格产品的数量. 参考数据：，. 17. 如图，在四棱锥中，为的中点，平面． （1）求证：； （2）若，． （i）求证：平面； （ii）设平面平面，求二面角的正弦值． 18. 在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球，其中一个球的标号为1，另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球，其中两个球的标号为2，3. （1）若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率； （2）若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其中浅色球的个数为X，求X的分布列. 19. 在平面直角坐标系中，顶点在原点的抛物线经过点. （1）求抛物线的方程； （2）若抛物线不经过第二象限，且经过点的直线交抛物线于，，两点（），过作轴的垂线交线段于点. ①当经过抛物线的焦点时，求直线的方程； ②求点A到直线的距离的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三上学期8月入学摸底联合测评考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 能正确表示图中阴影部分的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合的交并补运算即可得解. 【详解】图中阴影部分表示的是中的元素除去中的元素所剩下的元素，对比选项可知，只有A符合题意. 故选：A. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法运算求得，结合复数模长公式即可求解. 【详解】由题意，，，故. 故选：B. 3. 已知向量，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算公式，化简得，即可求解的值. 【详解】由，， 由，得， 所以，得. 故选：D 4. 石墨烯是一种由单层碳原子构成的具有平面网状结构的物质，其结构如图所示，其中每个六边形的顶点是一个碳原子的所处位置.现令六边形为中心六边形，其外围紧邻的每个六边形构成“第一圆环”，“第一圆环”外围紧邻的六边形构成“第二圆环”，以此类推.则“第七圆环”上的碳原子数为（ ） A. 42 B. 120 C. 168 D. 210 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意发现其规律即可. 【详解】记“第n圆环”最外层的碳原子个数为， 依题意,, ， 由此可以归纳出 “第二圆环”上的碳原子个数为,“第三圆环”上的碳原子个数为, 由此可得“第n圆环”上的碳原子个数为,所以“第七圆环”的碳原子个数为 故选：C 5. 在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分两圆外切和内切两种情况，根据两圆位置关系结合双曲线的定义分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 设，以线段FP为直径的圆的圆心为M，半径为， 若圆与圆外切，则，， 可得； 若圆与圆内切，则，， 可得； 综上所述：， 可知动点P的轨迹是以为焦点的双曲线，且，则， 所以动点P的轨迹方程为. 故选：B. 6. 现某酒店要从3名男厨师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，则至少有1名女厨师被选中的不同选法有（ ） A. 14种 B. 18种 C. 12种 D. 7种 【答案】A 【解析】 【分析】先求出5人中选出2人分别做调料师和营养师，再求出没有女厨师被选中的选法，两个选法数相减可得至少有1名女厨师被选中的方法数. 【详解】从3名男剅师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，共有20（种），没有女厨师被选中的选法共有（种）， 故至少有1名女厨师被选中的不同选法有（种）. 故选：A. 7. 设分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点，直线与以为圆心、为半径的圆切于点为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与圆相切，利用勾股定理可以求出的长度，进而通过，可以得到的长度，再次应用勾股定理，求出的长度，最后根据为椭圆上一点，运用椭圆的定义，结合椭圆离心率公式进行求解即可. 【详解】由题意，，， 因为直线与以为圆心、为半径的圆切， 所以， 因此由勾股定理可知， 又，所以，因此， 由勾股定理可得， 根据椭圆定义，， . 故选：B 8. 在正四棱锥中，是线段上的动点．设直线与直线所成的角为，二面角为，直线与平面所成的角为，这三个角的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线角，线面角以及二面角的定义，可得，，，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】解：如图，取中心中点连接，使得， 由题可知，，，且，，均为锐角， 由于平面，平面，所以, 又,平面， 所以平面，平面，故, 因此，， 因为，所以， 因为，所以， 所以 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的展开式共有13项，则下列说法正确的有（ ） A. 所有奇数项的二项式系数和为 B. 二项式系数最大的项为第7项 C. 所有项的系数和为 D. 有理项共有5项 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据展开式共有13项，求出，然后根据二项式系数的性质结合二项式展开式的通项公式逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为，所以，则所有奇数项的二项式系数和为，故A正确； 对于B，由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故B正确； 对于C，令，得所有项的系数和为，故C错误； 对于D，展开式的通项为， 当为整数时，，共有5项，即有理项共有5项，故D正确． 故选：ABD． 10. 中，D为AB上一点且满足．若P为线段CD上一点，且（为正实数），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最小值为3 【答案】AD 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，结合三点共线的向量性质、基本不等式逐一判断即可. 【详解】，故A正确； 由， 所以，又三点共线， ，即，故B错误； 由为正实数，，得，当且仅当时等号成立，故C错误； ，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：AD． 11. 若的定义域为，满足对任意，都有，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，令即可验算；对于B，令即可判断；对于C，令，得，进一步结合奇函数的定义即可求解；对于D，首先说明4是的周期，故只需求出的值即可验算. 【详解】A中：令，得，又，所以，故A不选； B中：令得，，所以，而的定义域是全体实数，所以为偶函数，故B选； C中：令，得，所以， 又，而的定义域是全体实数，所以为奇函数，故C选； D中：,所以，所以， 故4是的周期，又，所以，故D选. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲､乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为，乙队中3名选手答对题的概率分别为.在第一轮比赛中，甲队得分，乙队得分，则在这一轮中，满足且的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出甲在一轮比赛中得分、分的概率，乙在一轮比赛中得分、分的概率，设在这一轮中，满足且为事件，则包含①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】依题意甲队在一轮比赛中得分的概率为， 甲队在一轮比赛中得分的概率为， 乙队在一轮比赛中得分的概率为： ， 乙队在一轮比赛中得分的概率为： ， 设在这一轮中，满足且为事件， 则包含①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分， 所以， 即在这一轮中，满足且的概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是分析得到①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算. 13. 若曲线的切线为，则一组满足条件的的取值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设切点为，则由题意得，解方程组可求得的值. 【详解】设切点为，由，得， 则由题意得， 所以，， 所以，所以. 故答案为： 14. 省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为______米 【答案】 【解析】 【分析】建立坐标系，设出抛物线方程为，从而可得A在抛物线上，代入可求出抛物线方程，再令，即可求解． 【详解】建利坐标系如图，设抛物线方程为且， 则根据题意可知图中坐标为， 所以，可得， 所以抛物线方程为， 令，代入方程，解得， 可得到水面两点坐标分别为 所以水面的宽度为米． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形． （1）求的值； （2）若，且，求的值； （3）求关于的方程在上的最大根与最小根之和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意求得周期即可得解； （2）根据平方关系、角的范围得，，结合三角恒等变换即可得解； （3）根据题意解得或，结合的范围即可求解. 【小问1详解】 正三角形的高为，， 函数的周期，． 【小问2详解】 ，由（1）有， 即， 而由，知， 所以， ． ． 【小问3详解】 ， 当，， 设与（）的图象交点的横坐标最小为，最大为， 令，则或， 解得或， 则当且仅当时，最小， 当且仅当时，最大， 即此方程在内所有最小根为：1，最大根为． 两个之和为. 16. 某工厂去年12月试产了1000个电子产品，产品合格率为0.85.从今年1月开始，工厂在接下来的一年中将生产这款产品，1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加0.01. （1）求今年2月生产的不合格产品的数量，并判断哪个月生产的不合格产品的数量最多； （2）求该工厂今年全年生产的合格产品的数量. 参考数据：，. 【答案】（1）154，5月或6月 （2）19604个 【解析】 【分析】（1）记第月的产量为，第月的产品合格率为，确定数列为等比数列，数列为等差数列，根据等差数列以及等比数列的通项公式，结合判断第月生产的不合格产品数的增减性，即可求得答案； （2）设今年前个月生产的合格产品总数为，利用错位相减法即可求得，结合近似计算，即得答案. 【小问1详解】 记从今年1月起，第月的产量为，第月的产品合格率为. 由题可知，数列为等比数列，首项，公比， 数列为等差数列，首项，公差， 所以，， 所以今年2月份生产的不合格产品数为； 设第月生产的不合格产品数为，则， 所以， 当时，；当时，；当时，， 所以， 即5月或6月生产的不合格产品数最多； 【小问2详解】 设今年前个月生产的合格产品总数为，则， 由于，， 所以①， ②， ①－②得 所以， 即该工厂今年全年生产的合格产品总数约为19604个. 17. 如图，在四棱锥中，为的中点，平面． （1）求证：； （2）若，． （i）求证：平面； （ii）设平面平面，求二面角的正弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接， 因为为的中点，所以，， 因为，所以，所以四点共面， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以四边形为平行四边形，所以，所以； （2）（i）取的中点，连接， 由（1）知，所以， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以， 因为，所以， 所以，即， 因为，所以， 因为，所以与全等， 所以，即， 因为， 又因为，、平面， 所以平面； （ii） 【解析】 【分析】（1）借助线面平行的性质定理与中位线的性质即可得； （2）（i）借助线面垂直的判定定理即可得； （ⅱ）结合所给条件建立适当的空间直角坐标系后借助空间向量计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）知平面，而平面， 所以， 因为， 建立如图所示空间直角坐标系， 则，， 所以，， 设平面的法向量为, 则 令，则，于是， 因为为平面的法向量, 设二面角为，由图可得 所以, 所以二面角的余弦值为， 则二面角的正弦值为 18. 在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球，其中一个球的标号为1，另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球，其中两个球的标号为2，3. （1）若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率； （2）若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其中浅色球的个数为X，求X的分布列. 【答案】（1） （2） 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 【解析】 【分析】（1）先利用分步乘法计数原理计算总抽取方法，再求出抽到至少两个有标号的球的方法计算概率即可； （2）利用离散型随机变量的分布列公式计算即可. 【小问1详解】 由题意可得共有（种）不同的抽法， 抽取的四个球中，标号为1，2，或1，3的种数有， 标号为2，3的种数有，抽到1,2,3的种数有， 合计（种）不同的抽法， 所以抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率为. 【小问2详解】 由题意知，的可能取值为0，1，2，3，4. ， ，， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 19. 在平面直角坐标系中，顶点在原点的抛物线经过点. （1）求抛物线的方程； （2）若抛物线不经过第二象限，且经过点的直线交抛物线于，，两点（），过作轴的垂线交线段于点. ①当经过抛物线的焦点时，求直线的方程； ②求点A到直线的距离的最大值. 【答案】（1）或 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）分类讨论焦点所在位置，结合抛物线的标准方程运算求解； （2）根据题意可得.①求得，进而可得直线，联立求点得坐标，即可得方程；②联立方程，利用韦达定理可证直线经过定点，即可得结果. 【小问1详解】 若抛物线的焦点在轴上时，可设抛物线的方程为， 且抛物线过点，所以，解得； 若抛物线的焦点在轴上时，可设抛物线的方程为， 且抛物线过点，所以，解得； 综上所述：抛物线的方程为或. 【小问2详解】 因为抛物线不经过第二象限，由（1）可知，抛物线的方程为， 且,， ①当经过抛物线的焦点时，令，得， 在中，令，得， 又因为，则，可得直线， 由，解得或，即， 所以直线，即； ②设，，， 由，消去整理得， 所以，，， 且，即， 则， 令，得 ， 所以直线经过定点， 所以当，即点A以直线的距离取得最大值，为. 【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； （2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $