精品解析：江苏省南通市平潮高级中学2023-2024学年高一下学期6月学情检测数学试题

江苏省平潮高级中学2023—2024学年6月学情检测 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则，求得复数的代数形式，再利用虚部的定义可以求解. 【详解】因为， 所以， 所以复数的虚部为, 故选：C. 2. 对于两条不同直线m，n和两个不同平面，以下结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中线面之间的位置关系及性质逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，若，则或或相交，故C错误； 对于D，若，则或，故D错误. 故选：A. 3. 在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量,对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是　(　　) A. 2+4i B. -2+4i C. -4+2i D. 4-2i 【答案】D 【解析】 【详解】 由题意可得，在平行四边形中， 则，所以对应的复数为，故选D． 4. 某次投篮比赛中，甲、乙两校都派出了10名运动员参加比赛，甲校运动员的得分分别为8，6，7，7，8，10，9，8，7，8，这些成绩可用下图中的（1）所示，乙校运动员的得分可用下图中的（2）所示. 则以下结论中，正确的是（ ） A. 甲校运动员得分的中位数为7.5 B. 乙校运动员得分的75%分位数为10 C. 甲校运动员得分的平均数大于8 D. 甲校运动员得分的标准差大于乙校运动员得分的标准差 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出甲校派出的10名运动员参赛成绩的中位数，平均数和标准差；再计算出乙校派出的10名运动员参赛成绩的75%分位数，平均数和标准差即可. 【详解】甲校派出的10名运动员参赛成绩从小到大为：6，7，7，7，8，8，8，8，9，10， 其中位数为：，平均数为：，故选项A、C错误； 其标准差为：； 乙校派出的10名运动员参赛成绩分别为：6，7，8，9，9，9，9，10，10，10， 则其平均数为：，75%分位数为：， 标准差为：. 所以甲校运动员得分的标准差小于乙校运动员得分的标准差，故选项B正确，D错误. 故选：B 5. 在中，、、分别是内角、、所对的边，若，，，则边（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，，，由余弦定理可得， 即，即，解得或. 故选：C. 6. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，已知两个系统至少有一个能正常运作，小区就处于安全防范状态.若要求小区在任意时刻均处于安全防范状态的概率不低于，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：根据独立事件的乘法公式和互斥事件加法公式求解即可；方法二：根据独立事件的乘法公式和对立事件概率公式求解. 【详解】设系统和系统在任意时刻发生故障的事件分别为M和N. 方法一：小区处于安全防范状态的概率为 ， 解得，故的最大值为. 故选：A. 方法二：小区在任意时刻均处于安全防范状态的概率为，解得，故的最大值为. 故选：A. 7. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也．甍，屋盖也．”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为3的正方形，上棱平面与平面的距离为，该刍甍的体积为（ ） A. B. C. 9 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用割补法将问题转化为棱柱与棱锥体积之和即可. 【详解】如图，设E、F在底面的投影分别为，过分别作交正方形对应边于I、J、K、L，易知该刍甍被分割为四棱锥E-ADJI和F-BCLK，及三棱柱EIJ-FKL，设，则，故则该刍瞢的体积为： ． 故选：D． 8. 在三棱锥中，平面，D，E，F分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量可求线面角的正弦值. 【详解】 因为平面，而平面， 故，而，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则且， 故， 故，，， 设平面的法向量为，则： 由可得，取，则， 设直线与平面所成角为， 则. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ）. A. 若，则 B. 若，的值为 C. 的取值范围为 D. 存在，使得 【答案】AB 【解析】 【分析】由向量共线的坐标运算可判断A；由向量的垂直的坐标运算可判断B；由向量数量积的坐标运算和的范围可判断C；由得，求出的范围可判断D. 【详解】对于A，若，则，所以，故A正确； 对于B，若，则，所以， 因为，所以的值为，故B正确； 对于C，，因为， 所以，，所以的取值范围为，故C错误； 对于D，，所以，， 若，则，得， 解得，因为，所以，解得， 因为，所以无解，故D错误. 故选：AB. 10. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如下统计图例，则以下四个选项正确的是（ ） A. 周岁人群参保总费用最少 B. 30周岁以上的参保人群约占参保总人群的 C. 54周岁以上的参保人数最少 D. 丁险种更受参保人青睐 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据统计图表给出信息逐个选项判断. 【详解】对于A：由第一个图可得54周岁及以上的参保人数最少，占比为， 其余年龄段的参保人数均比周岁人群参保人数多. 由第二个图可得， 因为，所以周岁人群参保总费用最少，故A对. 对于B：由第一个图可得，30周岁以上的参保人群约占参保总人群的，故B错. 对于C：由第一个图可得，54周岁及以上的参保人数占参保总人数的，所以C对. 对于D：由第三个图可得，丁险种参保人群约占参保总人群的，所以最受青睐，所以D对. 故选：ACD. 11. 如图，正四面体的棱长为1，，分别是棱，上的点，且，，则（ ） A. 不存在，使得平面 B. 直线与直线异面 C. 不存在，使得平面平面 D. 三棱锥体积的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于B，根据异面直线的定义即可判断；对于A，当时，E，F分别是棱BD，CD的中点，得到，再根据线面平行的判定定理即可得解；对于C，根据题意得到当E，O，F三点共线时，平面平面BCD，然后利用平面向量基本定理的推论判断即可；对于D，先求出三棱锥的高AO，然后利用基本不等式求出面积的最大值，即可求出三棱锥体积的最大值． 【详解】因为直线与平面交于点，平面，且不经过点，所以直线与直线异面，故B正确. 当时，，分别是棱，的中点，此时， 因为平面，平面，所以平面，故A错误. 设为的中心，连接，因为经过点有且只有一条直线垂直于平面 ，所以经过点且垂直于平面的平面一定经过直线， 即当且仅当，，三点共线时，平面平面， 因为，， 所以，，设的中点为，连接， 则，因为，，三点共线， 所以，整理得，因为，所以此方程无解， 所以不存在，使得平面平面，故C正确. 易知，在中 ，，所以的面积， 当且仅当时等号成立，所以三棱推体积的最大值为. 故D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两座灯塔A和与海洋观察站的距离都等于，灯塔A在观察站的北偏东40°，灯塔在观察站的南偏东20°，则灯塔A与灯塔的距离为______km. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意画出示意图，利用余弦定理运算求解. 【详解】在中，由题意可知：， 由余弦定理可得：， 所以（km）. 故答案为：3. 13. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用，结合已知条件可把求出，由平面向量基本定理把、用已知向量、表示，再利用数量积的运算法则可求数量积． 【详解】，， ，存在实数，使得，即， 又，则， ，，， 则 ， 故答案为：． 14. 已知正方体的棱长为3，动点在内，满足，则点的轨迹长度为______. 【答案】 【解析】 【分析】确定正方体对角线与的交点E，求出确定轨迹形状，再求出轨迹长度作答. 【详解】在正方体中，如图， 平面，平面，则，而， ，，平面，于是平面，又平面， 则，同理，而，，平面， 因此平面，令交平面于点， 由，得， 即，解得， 而，于是， 因为点在内，满足，则， 因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆在内的圆弧， 而为正三角形，则三棱锥必为正三棱锥，为正的中心， 于是正的内切圆半径， 则，即，， 所以圆在内的圆弧为圆周长的， 即点的轨迹长度为 故答案为： 【点睛】方法点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求角； （2）若外接圆的半径为，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先根据展开，结合正弦和差化积公式进行化简，可得出，进而得出角的值. （2）根据题意和正弦定理可得出边长a的值，再由第一问和余弦定理得出b和c的关系，结合基本不等式即可求出面积的最大值. 【小问1详解】 由得，， 所以，又，所以， 所以，因为，所以； 【小问2详解】 由外接圆的半径为，则得， 由余弦定理得，，即， 所以，解得. 所以，故面积的最大值为. 16. 俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示： （1）求样本中数据落在的频率； （2）求样本数据的第50百分位数； （3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率. 【答案】（1）0.4 （2）52.5 （3） 【解析】 【小问1详解】 由频率分布直方图可得：组距为10，所以： ， 得：，故样本中数据落在的频率为：. 【小问2详解】 设第50百分位数为，易得位于50和60之间， 则有： 解得：. 【小问3详解】 分组人数为：人； 分组人数为：人， 利用分层抽样的方法易得： 分组抽人， 分组抽人， 从这6人中随机抽取2人进行座谈，抽取的2人中至少有1人的年龄在分组，即： 2人中有1人的年龄在分组，另1人的年龄在分组；2人的年龄都在分组， 故抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率为：. 17. 如图，在中，，点满足边上的中线与交于点．设． （1）用向量表示； （2）求的大小． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的线性运算即可求解； （2）利用平面向量的数量积公式即可求解． 【小问1详解】 由可知，， 则， 所以； 又为边上的中线，所以． 【小问2详解】 由得， 又，所以向量与的夹角为，则， 由图形可知，的大小等于向量与的夹角， 又， ， ， 所以， 又，所以． 18. 如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 由菱形可得， 平面平面，平面平面， 又正方形中， 平面，又平面，， ，平面，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理即可得证. （2）过作于，过作于，连接，利用线面垂直的性质定理得出为二面角的平面角，在中直接求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作于，则平面. 过作于，连接， 因平面，则， 又平面，，故平面， 又平面，所以， 故为二面角的平面角， 在中，设，，， ，，， . 即二面角的余弦值为. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且设点为的费马点． （1）若，． ①求角； ②求． （2）若，，求实数的最小值． 【答案】（1）①；②. （2）． 【解析】 【分析】（1）①利用两角和的正弦公式得到，即可求出，从而得解；②利用余弦定理求出，利用等面积法求出，再根据数量积的定义计算可得； （2）利用二倍角公式及正弦定理得到，则，设，则，再利用余弦定理得到，再利用基本不等式计算可得. 【小问1详解】 ①因为 ， ， 又， 所以， 即．因为，所以， 因为，所以． ②由三角形内角和性质可知，的三个内角均小于，结合题设易知点一定在的内部． 由余弦定理可得，即， 又，解得． 所以 ， 所以， 所以 ． 【小问2详解】 由已知中， 即， 故，由正弦定理可得， 故直角三角形，即， 点为的费马点，则， 设，，，， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为． 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解并应用费马点的定义，第三问关键是设，，，从而推导出、，再利用基本不等式及一元二次不等式求出的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省平潮高级中学2023—2024学年6月学情检测 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 对于两条不同直线m，n和两个不同平面，以下结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量,对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是　(　　) A. 2+4i B. -2+4i C. -4+2i D. 4-2i 4. 某次投篮比赛中，甲、乙两校都派出了10名运动员参加比赛，甲校运动员的得分分别为8，6，7，7，8，10，9，8，7，8，这些成绩可用下图中的（1）所示，乙校运动员的得分可用下图中的（2）所示. 则以下结论中，正确的是（ ） A. 甲校运动员得分的中位数为7.5 B. 乙校运动员得分的75%分位数为10 C. 甲校运动员得分的平均数大于8 D. 甲校运动员得分的标准差大于乙校运动员得分的标准差 5. 在中，、、分别是内角、、所对的边，若，，，则边（ ） A. B. 或 C. 或 D. 6. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，已知两个系统至少有一个能正常运作，小区就处于安全防范状态.若要求小区在任意时刻均处于安全防范状态的概率不低于，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也．甍，屋盖也．”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为3的正方形，上棱平面与平面的距离为，该刍甍的体积为（ ） A. B. C. 9 D. 6 8. 在三棱锥中，平面，D，E，F分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ）. A. 若，则 B. 若，的值为 C. 的取值范围为 D. 存在，使得 10. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如下统计图例，则以下四个选项正确的是（ ） A. 周岁人群参保总费用最少 B. 30周岁以上的参保人群约占参保总人群的 C. 54周岁以上的参保人数最少 D. 丁险种更受参保人青睐 11. 如图，正四面体的棱长为1，，分别是棱，上的点，且，，则（ ） A. 不存在，使得平面 B. 直线与直线异面 C. 不存在，使得平面平面 D. 三棱锥体积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两座灯塔A和与海洋观察站的距离都等于，灯塔A在观察站的北偏东40°，灯塔在观察站的南偏东20°，则灯塔A与灯塔的距离为______km. 13. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为______. 14. 已知正方体的棱长为3，动点在内，满足，则点的轨迹长度为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求角； （2）若外接圆的半径为，求面积的最大值. 16. 俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示： （1）求样本中数据落在的频率； （2）求样本数据的第50百分位数； （3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率. 17. 如图，在中，，点满足边上的中线与交于点．设． （1）用向量表示； （2）求的大小． 18. 如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且设点为的费马点． （1）若，． ①求角； ②求． （2）若，，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $