精品解析：江苏省扬州市仪征市精诚高级中学2023-2024学年高二下学期三月月考数学试题

仪征市精诚高级中学高二年级三月考 数 学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共8小题） 1. 若则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简复数，最后根据复数虚部概念得结果． 【详解】 则选：B． 2. 从4种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法共有（ ） A. 4种 B. 12种 C. 24种 D. 64种 【答案】C 【解析】 【分析】先从4本不同的书中买3本，得出不同的买法，再把3本不同的书分给3名同学，每人1本，得到不同的分法，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，从4本不同的书中买3本，共有种不同的买法， 把3本不同的书分给3名同学，每人1本，共有种不同的分法， 由分步计数原理可得，不同的送法共有种. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了分步计数原理，以及排列、组合的应用，其中解答中首先要分析题意，合理利用排列、组合求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力. 3. 函数y＝f（x）在区间（a，b）内可导，且x0∈（a，b）若，则＝（ ） A. ＝1 B. ＝2 C. ＝4 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】将已知的等式变形为符合导数定义的形式，利用导数定义得到答案. 【详解】， ， 即. 故选:A. 4. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用导数的求导法则以及复合函数的求导法则可判断各选项的正误. 【详解】对于A选项，，A选项错误； 对于B选项，，B选项错误； 对于C选项，，C选项正确； 对于D选项，，D选项错误. 故选：C. 5. 如图，函数的图象在点处的切线是l，则等于（ ） A. B. 3 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】 求出切线方程，由导数的几何意义得，由切线方程得，从而可得结论． 【详解】解：由图象可得函数的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点，与y轴交于点， 则可知l：， ，， ， 故选：D． 6. 已知函数，其导函数记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】函数，分析其性质可求的值 ，再求并讨论其性质即可作答. 【详解】由已知得定义域为R，令，， 则，即是奇函数， ，显然是偶函数， ， 所以有2. 故选：A 7. 若直线与曲线在点处的切线垂直，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解值． 【详解】解：由，得， 则， 直线与曲线在点处的切线垂直， ，得． 故选：． 8. 函数的图象关于轴对称，时，，．又，则的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】 由的性质得到的性质，根据性质分析的正负情况，求解不等式 即可. 【详解】，是由向左平移1个单位得到 的图象关于轴对称，故关于对称 时，，故在上递减 故在上递减，在上递增 ，故， 因此当，；当，；当，. 故, 当， 当， 故选：A 【点睛】与抽象函数有关的不等式问题，可结合题意分析抽象函数的性质，包括对称性，单调性，零点等，根据性质对函数值正负进行判断，从而求得不等式的解集.同学们可作出草图更直观地求解. 二．多选题（共4小题） 9. 下列说法正确的是（） A. 若，则 B. 若复数，满足，则 C. 若复数的平方是纯虚数，则复数的实部和虚部相等 D. “”是“复数是虚数”的必要不充分条件 【答案】AD 【解析】 【分析】 由求得判断A；设出，，证明在满足时，不一定有判断B；举例说明C错误；由充分必要条件的判定说明D正确. 【详解】若，则，故A正确； 设， 由，可得 则，而不一定为0，故B错误； 当时为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C错误； 若复数是虚数，则，即 所以“”是“复数是虚数”的必要不充分条件，故D正确； 故选：AD 【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题. 10. 如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 当时，取得最小值 C. 当时，取得极小值 D. 在上是增函数，在上是减函数 【答案】CD 【解析】 【分析】 根据导函数的图象判断出函数的单调区间、极值、最值，由此确定正确选项. 【详解】根据图象知当，时，，函数单调递减；当，时，，函数单调递增.故A错误，D正确；当时，取得极小值，C正确；当时，不是取得最小值，B错误. 故选：CD 11. 已知函数f(x)=x3-3lnx-1，则（ ） A. f(x)的极大值为0 B. 曲线y=f(x)在（1，f(1))处的切线为x轴 C. f(x)的最小值为0 D. f(x)在定义域内单调 【答案】BC 【解析】 【分析】直接对f(x)=x3-3lnx-1，求出导函数，利用列表法可以验证A、C、D;对于B:直接求出切线方程进行验证即可. 【详解】f(x)=x3-3lnx-1的定义域为， 令，得， 列表得： x (0,1) 1 (1,+∞) - 0 + f(x) 单减 单增 所以f(x)的极小值，也是最小值为f(1)=0，无极大值，在定义域内不单调；故C正确，A、D错误； 对于B:由f(1)=0及，所以y=f(x)在（1，f(1))处的切线方程，即.故B正确. 故选：BC 【点睛】导数的应用主要有： （1）利用导函数几何意义求切线方程； （2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围. 12. 已知函数，若函数在上有极值，则实数可以取（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】BC 【解析】 【分析】函数在上有极值，即导数在上有变号零点，列出关于的不等式组，进而求出参数的取值. 【详解】由题意知，在上有变号零点，又易知在上单调递增，故， 可得，解得，故可取2，3. 故选：BC. 第Ⅱ卷（非选择题） 三．填空题（共4小题） 13. 在复平面内，复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】 由已知建立不等式组，解之可得答案． 【详解】根据题意得出，解得或，所以实数的取值范围是． 故答案为：． 14. 用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成________个三位正整数. 【答案】100 【解析】 【分析】用分步乘法原理计数． 【详解】用0，1，2，3，4这五个数字， 可以组成三位数的个数为． 故答案为：100． 【点睛】本题考查分步乘法原理，解题关键是确定完成这件事的方法，是分步还是分类． 15. 已知函数，若，则实数的取值范围是______． 【答案】； 【解析】 【分析】首先根据题意得到为奇函数，且在上为增函数，从而将不等式转化为，再解不等式即可. 【详解】因为，定义域为， ，所以为奇函数. 又因为在上为增函数， 所以， 即，，解得：. 故答案为： 16. 已知直线为曲线的切线，若直线l与曲线也相切，则实数m的值为__________． 【答案】4或 【解析】 【分析】先根据直线为曲线的切线，求出直线l的方程；根据直线l与曲线相切，利用判别式，解出m的值. 【详解】设直线与曲线相切于点， 由，得，所以切点坐标为， 所以直线l的方程为． 又由直线l与曲线相切，联立方程，消去y得：， 化简得， 因为直线l与曲线也相切，所以 解得或． 故答案为：4或. 四．解答题（共6小题） 17. 在①，②为虚数，③为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 已知复数：. （1）若_______，求实数的值； （2）若复数的模为，求的值. 【答案】（1）选择①，；选择②，；选择③，. （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数为实数和虚数的定义逐一解答即可； （2）化简求模，解出满足的关系，即可求出的值. 【小问1详解】 选择①，则， 解得. 选择②为虚数，则， 解得. 选择③为纯虚数，则，， 解得. 【小问2详解】 由可知 复数. 依题意， 解得. 因此. 【点睛】本题考查复数，实数，纯虚数的定义，考查复数模的运算，属于基础题. 18. 已知函数. （1）求曲线y=f(x)在点P(1，-2)处的切线方程； （2）过点P(2，2)作曲线y=f(x)的切线，求此切线的方程. 【答案】（1）；（2）与. 【解析】 【分析】（1）求出在处的导数即为在点P(1，-2)处的切线斜率，代入点斜式方程化简则可求出切线方程；（2）根据函数方程设出切点，求得在切点处的导数，代入点斜式方程，因为过点P(2，2)，将点代入直线方程，可求出切点坐标，从而求出切线方程. 【详解】解：（1）由题意可知，则在处的切线斜率， 则在点P(1，-2)处的切线方程为：，即切线方程为：. （2）因为，所以设切点为，斜率为 则所求切线方程为： ① 因为切线过点P(2，2)，所以有 解得：或 代入①化简可得切线方程为：或. 【点睛】方法点睛： （1）求切线方程分为在点处的切线和过点处的切线，在点处的切线，直接求导得到切线的斜率，代入点斜式方程化简即可； （2）过点处的切线，需设切点，求出在切点处的导数，然后写出点斜式方程，将所过的点代入直线方程，求解，然后重新代入化简可求出直线方程. 19. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若函数，在定义域内恰有三个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）在和上为减函数，在上为增函数；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，利用导数与函数单调性的关系可求得函数的增区间和减区间； （2）分析可知，直线与函数（且）的图象有三个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为的定义域为，且， 则当时，，为减函数； 当时，，为减函数； 当时，，为增函数， 综上可得：在和上为减函数，在上为增函数； （2）令函数，因为不是方程的解，所以可得， 构造函数（且），则， 由可得，列表如下： 0 增 增 极大值 减 减 极小值 增 所以，，， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，函数与函数的图象有三个不同的交点， 因此实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 20. 已知函数(a为常数). （1）当a=0时，求曲线y=f(x)在点(e，f(e))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若存在使得，求a的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）求出在处的导数值，即切线斜率，再求出，即可求出切线方程，求出切线在坐标轴上的截距即可求出三角形面积； （2）分和两种情况讨论函数的单调性，求出的最小值，满足即可求出的范围. 【详解】（1）函数f(x)的定义域为(0，+∞)，因为， 当a=0时，，，切线方程为， 令x=0，解，令y=0，解得所以 （2）若要存在使得，则只需f(x)在[1，+∞)上的最小值小于0即可， 当时，在(1，+∞)恒成立，函数f(x)在x=1处取得最小值， 所以，解得； 当时，函数在[1，a)上单调递减，在[a，+∞)上单调递增， 则当x=a时取得极小值也是最小值， 由，解得， 综上可得：a的取值范围是. 【点睛】本题考查利用导数求切线问题，考查利用导数研究不等式能成立问题，属于中档题. 21. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求正实数的取值范围. 【答案】（1）时在上单调递增；时在上单调递减，在上单调递增； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用导数，并讨论、研究的符号，进而判断的单调性； （2）将问题转化为恒成立，构造中间函数，只需求时的范围即可. 【详解】（1）且， ∴时，即单调递增； 时，有，即在上单调递增；有，即在上单调递减； 综上，时在上单调递增；时在上单调递减，在上单调递增； （2）由题设，，即恒成立， 令，则， ∴由（1）知：时有极小值也是最小值，故只需即可. 若，则，即在上递减，又， ∴时，，即恒成立. ∴正实数的范围为. 【点睛】关键点点睛：第二问，将问题转化为恒成立，并构造函数并应用导数研究最值，进而求参数a的范围. 22. 已知函数． （1）若，求函数的单调区间； （2）证明当时，关于x的不等式恒成立； 【答案】（1）的单调递减区间为，函数的单增区间为 （2）证明：令， 所以， 因为，所以， 令，得， 所以当，， 当时，， 因此函数在是增函数，在是减函数． 故函数的最大值， 令，因为， 又因为在是减函数， 所以当时，，即对于任意正数总有， 所以关于的不等式恒成立． 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间； （2）先求出函数在是增函数，在是减函数，得到函数的最大值，再证明即得解. 【小问1详解】 ， 由，得． 又，所以， 所以的单调递减区间为，函数的单增区间为． 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：求函数的最值常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法. 要结合已知条件灵活选择方法求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仪征市精诚高级中学高二年级三月考 数 学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共8小题） 1. 若则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 从4种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法共有（ ） A. 4种 B. 12种 C. 24种 D. 64种 3. 函数y＝f（x）在区间（a，b）内可导，且x0∈（a，b）若，则＝（ ） A. ＝1 B. ＝2 C. ＝4 D. 不确定 4. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，函数的图象在点处的切线是l，则等于（ ） A. B. 3 C. D. 1 6. 已知函数，其导函数记为，则（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与曲线在点处的切线垂直，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 8. 函数的图象关于轴对称，时，，．又，则的解集为（ ） A. B. C. D. 或 二．多选题（共4小题） 9. 下列说法正确的是（） A. 若，则 B. 若复数，满足，则 C. 若复数的平方是纯虚数，则复数的实部和虚部相等 D. “”是“复数是虚数”的必要不充分条件 10. 如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 当时，取得最小值 C. 当时，取得极小值 D. 在上是增函数，在上是减函数 11. 已知函数f(x)=x3-3lnx-1，则（ ） A. f(x)的极大值为0 B. 曲线y=f(x)在（1，f(1))处的切线为x轴 C. f(x)的最小值为0 D. f(x)在定义域内单调 12. 已知函数，若函数在上有极值，则实数可以取（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题） 三．填空题（共4小题） 13. 在复平面内，复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围是________． 14. 用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成________个三位正整数. 15. 已知函数，若，则实数的取值范围是______． 16. 已知直线为曲线的切线，若直线l与曲线也相切，则实数m的值为__________． 四．解答题（共6小题） 17. 在①，②为虚数，③为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 已知复数：. （1）若_______，求实数的值； （2）若复数的模为，求的值. 18. 已知函数. （1）求曲线y=f(x)在点P(1，-2)处的切线方程； （2）过点P(2，2)作曲线y=f(x)的切线，求此切线的方程. 19. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若函数，在定义域内恰有三个不同的零点，求实数的取值范围. 20. 已知函数(a为常数). （1）当a=0时，求曲线y=f(x)在点(e，f(e))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若存在使得，求a的取值范围. 21. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求正实数的取值范围. 22. 已知函数． （1）若，求函数的单调区间； （2）证明当时，关于x的不等式恒成立； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $