精品解析：河南省许昌市魏都区许昌高级中学2025届高三上学期8月月考数学试题

2024-2025学年高三上学期8月试题 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若随机变量，随机变量，则（ ） A. 0 B. C. D. 2 2. 已知双曲线（，）的渐近线与交于第一象限内的两点，，若为等边三角形，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. 2 D. 3. 已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 4. “一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（a，b为常数），若该果蔬在6的保鲜时间为216小时，在24的保鲜时间为8小时，那么在12时，该果蔬的保鲜时间为（ ）小时． A. 72 B. 36 C. 24 D. 16 5. 设数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 是等比数列 B. 成等差数列，公差为 C. 当且仅当时，取得最大值 D. 时，最大值为33 6. 已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 数列满足，（），，若数列是递减数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在R上的函数满足，，当时，，函数，则下列结论错误的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的最大值为 D. 的图象与直线有8个交点 二．多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.） 9. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若是等差数列，，则使的最大正整数的值为15 B. 若是等比数列，（为常数），则必有 C. 若是等比数列，则 D. 若，则数列递增等差数列 10. 设是一次随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. 相互独立 B. C. D. 11. 设平面直角坐标系中，椭圆的左焦点为，且与抛物线有公共的焦点．若是抛物线上的一点，下列说法正确的是（ ） A. 椭圆和抛物线存在交点 B 若，则直线与抛物线相切 C. 若，则点坐标为 D. 若，则点的横坐标为 三．填空题（共3小题，每题5分，共15分.） 12. 已知等比数列的首项，其前项和为，若，则____________． 13. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______. 14. 设函数，，则函数的值域是______． 四．解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面是的中点，. （1）求证：. （2）若异面直线与所成的角为，求四棱锥的体积. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义证明； （3）解关于的不等式. 17. 已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，，且经过点． （1）求C的标准方程； （2）已知直线l与平行，且与C有且只有一个公共点，求l的方程． 18. 为了丰富校园文化生活，学校增设了两门全新的课程，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习.学校统计了学生的选课情况，得到如下表格. 选择课程 选择课程 男生 女生 （1）根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断选择课程与性别有关？ （2）现从男生的样本中，按比例分配分层抽样的方法选出人组成一个小组，再从这名男生中抽取人做问卷调查，求这人中选择课程的人数比选择课程的人数多的概率. 附：. 19. 意大利人斐波那契在1202年写的《算盘书（Libe rAbaci）》中提出一个兔子繁殖问题：假设一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，此后每个月生一对小兔，这种成长与繁殖过程会一直持续下去.设第个月的兔子对数为，则，观察数列的规律，不难发现，，我们称该数列为斐波那契数列. （1）若数列是斐波那契数列，求出和的值，并证明. （2）若数列是斐波那契数列，且，求证：数列是等比数列； （3）若数列是斐波那契数列，在（2）的条件下，求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高三上学期8月试题 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若随机变量，随机变量，则（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的两个参数就是随机变量的期望和方差，再利用两个线性随机变量之间的期望和方差公式，即，就可以求出结果. 【详解】由可知：， 又因为，所以， ， 则， 故选：B. 2. 已知双曲线（，）的渐近线与交于第一象限内的两点，，若为等边三角形，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的渐近线公式和角度之间的关系求出进而求出双曲线的离心率即可. 【详解】满足，又满足，故，轴，， 可得，． 故选：B． 3. 已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对任意，都有，得在上单调递减，进而得，解出即可求解. 【详解】由对任意，都有，所以在上单调递减， 所以， 所以， 故选：A. 4. “一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（a，b为常数），若该果蔬在6的保鲜时间为216小时，在24的保鲜时间为8小时，那么在12时，该果蔬的保鲜时间为（ ）小时． A. 72 B. 36 C. 24 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出时所满足等式，利用指数幂的运算分别可求解出的值，然后即可计算出时的值，则对应保鲜时间可求. 【详解】当时，；当时，， 则，整理可得，于是， 当时，． 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题属于指数函数模型的实际应用，解答本题的关键在于通过所给的两组的取值计算得到所满足的等式，然后通过化简指数幂的运算求解出最终结果. 5. 设数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 是等比数列 B. 成等差数列，公差为 C. 当且仅当时，取得最大值 D. 时，的最大值为33 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得数列是以为公差，32为首项的等差数列，求出，然后利用可求出，再逐个分析判断即可. 【详解】因为， 所以数列是以为公差，32为首项的等差数列， 所以，所以， 所以当时，， 所以， 因为，所以， 对于A，因为， 所以是以为公差的等差数列，所以A错误， 对于B，因为，所以， 所以， 因为， 所以成等差数列，公差为，所以B错误， 对于C，，对称轴为， 因为，所以当或时，取得最大值，所以C错误， 对于D，由，得，且，所以的最大值为33，所以D正确， 故选：D 6. 已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，求导后根据已知条件可判断在上递减，从而可判断出的大小. 【详解】令，则， 因为， 所以， 所以在上递减， 因为，所以， 所以， 所以， 故选：B 7. 数列满足，（），，若数列是递减数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将取倒数结合累加法求得，再利用数列单调递减列不等式并分离参数，求出新数列的最大值即可求得答案 【详解】由题意，，两边取倒数可化为，所以，，，由累加法可得，，因为，所以， 所以，因为数列是递减数列，故，即，整理可得，，因为，，所以，故. 故选:D. 8. 已知定义在R上的函数满足，，当时，，函数，则下列结论错误的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的最大值为 D. 的图象与直线有8个交点 【答案】D 【解析】 【分析】确定函数是周期函数，由周期性判断A，分类讨论确定函数的解析式并得出函数的周期性，作出函数图象，由图象判断BC，结合直线判断D． 【详解】对于A项，由题意知,所以， 所以是定义域为且以4为一个周期的奇函数，所以，，同理，0，故A项正确． 对于项，因为是以4为一个周期的函数，所以也是以4为一个周期的函数，当时，， 所以当时，， 所以当时，，所以， 得到当时，， 当时，， 得到当时，， 则当时，， 当时，， 当时，1）， 则当时，， 所以当时， 易知也是以4为一个周期的周期函数，作出的图象，如图， 可知在处取得最大值，所以，故C项正确； 对于B项，由图象知图象的对称轴为，易知当时，，故项正确； 对于D项，作出直线的图象，因为当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，和联立得0， 所以的图象与直线共有9个交点，故D项错误． 故选：D． 【点睛】方法点睛：由函数的奇偶性与对称性确定周期性，利用已知式确定的解析式，作出函数图象，利用数形结合思想求解． 二．多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.） 9. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若是等差数列，，则使的最大正整数的值为15 B. 若是等比数列，（为常数），则必有 C. 若是等比数列，则 D. 若，则数列为递增等差数列 【答案】BD 【解析】 【分析】由等差数列，等比数列的性质与前项和公式逐项判断即可. 【详解】若是等差数列，， 所以，则， 所以使的最大正整数的值为30.故A错误； 若是等比数列，，则， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以，故B正确； 若是等比数列，则，故C错误； 若，所以， 所以，所以， 即，所以， 所以是以为首项，为公差的递增等差数列，故D正确； 故选：BD. 10. 设是一次随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. 相互独立 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用条件概率、独立事件、对立事件、互斥事件的概率公式计算逐项判断可得答案. 【详解】对于A，由题意可知，则， 因此，故A正确； 对于B，， ，故B正确； 对于C，，所以， 因此，故C错误； 对于D，，因此 ， 即，故D正确． 故选：ABD． 11. 设平面直角坐标系中，椭圆的左焦点为，且与抛物线有公共的焦点．若是抛物线上的一点，下列说法正确的是（ ） A. 椭圆和抛物线存在交点 B. 若，则直线与抛物线相切 C. 若，则点坐标为 D. 若，则点的横坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】画出图形，得到交点个数；直曲联立求解得到直线与抛物线位置关系；运用抛物线定义转化求出即可；根据垂直，运用勾股定理，结合定义求解即可. 【详解】对于A，由函数图象可知，椭圆与拋物线必存在交点，A正确； 对于B，由，则直线的方程为， 与抛物线方程联立消去得， 则直线与抛物线相切，B正确； 对于C，由抛物线定义可知，， 则，于是点坐标为，故C错误； 对于D，是抛物线上的一点，设，则有， 若，有，因此， 即，解得，D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键在于利用勾股定理与抛物线上点的坐标关系得到的方程，整理即可得解. 三．填空题（共3小题，每题5分，共15分.） 12. 已知等比数列的首项，其前项和为，若，则____________． 【答案】2或8 【解析】 【分析】运用等比数列的和的性质和通项公式即可解题. 【详解】因为，所以，， 当时，； 当时，，即，故． 综上，或8 故答案为：2或8. 13. 若关于不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的解集求出，代入不等式，再解不等式可得答案. 【详解】因为不等式的解集为， 所以是的两个根，且， 可得，所以， 所以得， 即，由得， 所以,所以或， 则不等式的解集为. 故答案为：. 14. 设函数，，则函数的值域是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先化解函数的解析式，再判断函数的单调性，再求函数的值域. 【详解】，， 令，设， 设， ， 因为，则，，， 即，， 所以函数在上单调递增，又也为增函数， 所以函数在单调递增，， 所以函数的值域为. 四．解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面是的中点，. （1）求证：. （2）若异面直线与所成的角为，求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）设的中点为，连接，根据题意已知条件证明直线两两垂直，从而建立空间直角坐标系，令，写出相应点的坐标，利用向量法证明从而得； （2）由（1）写出的坐标，利用异面直线所成角的向量表示求出的值，在求出四棱锥的体积即可. 【小问1详解】 设的中点为，连接， 由四边形是矩形，得. 是的中点，. 平面平面，平面平面， 平面直线两两垂直 以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，设. 依题意得，， . ， ，即. 【小问2详解】 由（1）可得， 异面直线与所成的角为， ，解得， 由（1）平面， 所以为四棱锥的高，且， 四棱锥的体积为. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义证明； （3）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得以及，列出方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由函数单调性的定义即可证明； （3）由函数的奇偶性与单调性列出不等式，即可得到结果. 【小问1详解】 由奇函数的性质可知，， ， . . 经验证，满足题设. 【小问2详解】 函数在上单调递增， 证明：令， ， ， 即， 函数在上单调递增. 【小问3详解】 由已知：， 由（2）知在上单调递增， ， 不等式的解集为. 17. 已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，，且经过点． （1）求C的标准方程； （2）已知直线l与平行，且与C有且只有一个公共点，求l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义得，，再结合关系即可得到答案； （2）求出，设直线方程为，联立椭圆方程，利用即可. 【小问1详解】 由于椭圆的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为， 由椭圆的定义知，， 可得，所以， 所以椭圆的标准方程为:. 【小问2详解】 已知，所以，设直线方程为， 由方程组消去，得， 该方程的判别式， 由，得， 此时与有且只有一个公共点，所以的方程为:. 18. 为了丰富校园文化生活，学校增设了两门全新的课程，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习.学校统计了学生的选课情况，得到如下表格. 选择课程 选择课程 男生 女生 （1）根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断选择课程与性别有关？ （2）现从男生的样本中，按比例分配分层抽样的方法选出人组成一个小组，再从这名男生中抽取人做问卷调查，求这人中选择课程的人数比选择课程的人数多的概率. 附：. 【答案】（1）有关； （2）. 【解析】 【分析】（1）由列联表可得的值，进而可得结论； （2）先求得选择两种课程的人数，进而利用古典概型概率公式可求概率. 小问1详解】 零假设：选择课程与性别无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为选择课程与性别有关； 【小问2详解】 由表可知，男生中选课程的人数占，选课程的人数占， 所以名男生中，选择课程的人数为， 选择课程的人数为， 从人中选人的选法有种， 人中选择课程的人数比选择课程的人数多的选法有：种， 所以人中选择课程的人数比选择课程的人数多的概率为：. 19. 意大利人斐波那契在1202年写的《算盘书（Libe rAbaci）》中提出一个兔子繁殖问题：假设一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，此后每个月生一对小兔，这种成长与繁殖过程会一直持续下去.设第个月的兔子对数为，则，观察数列的规律，不难发现，，我们称该数列为斐波那契数列. （1）若数列是斐波那契数列，求出和的值，并证明. （2）若数列是斐波那契数列，且，求证：数列是等比数列； （3）若数列是斐波那契数列，在（2）的条件下，求数列的前项和. 【答案】（1），证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）直接按照斐波那契数列的定义来求解即可； （2）结合斐波那契数列的定义、等比数列的定义直接证明即可； （3）首先得出，思路一：直接由等比数列求和公式即可求解；思路二：由累加法求和即可得解；思路三：由裂项求和法即可得解. 【小问1详解】 . ； 【小问2详解】 因， 所以 . ，即， 即，所以是以为首项，为公比的等比数列. 【小问3详解】 由（2）得. 即， 令，化简得， ， 因为，所以， 即是以为首项，为公比的等比数列， 故， 即； 法一： ； 法二：由得， ， ， ， ， 累加得，， 即， 所以，. 法三： 利用 .. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得出，由此即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $