精品解析：吉林省长春市第七十二中学2022-2023学年九年级上学期（大班）第一次月考数学试题

2022-2023学年上学期九年级（大班）第一次月考 数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（　　） A. -3，-4. B. -3，4. C. 3，-4. D. 1，4. 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为( ) A. B. C. D. 3. 如图，，与相交于点G．若则的长为（　　） A. B. C. 12 D. 20 4. 如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使，连结EF交DC于点G，则＝（ ） A. 2：3 B. 3：2 C. 9：4 D. 4：9 5. 某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的铁制小门．设试验田垂直于墙的一边的长为，则下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，身高为1．5米的某学生想测量一棵大树的高度，他沿着树影由向走，当走到点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合．此时三点恰好在一条直线上．经测得米，米，则树的高度为（ ） A. 3米 B. 4米 C. 4.5米 D. 6米 7. 如图，以点为位似中心，将放大后得到若，则与的周长比为（ ） A. 1：9 B. 1：4 C. 1：3 D. 1：2 8. 如图，在正方形中，点E在边上,，交于G，交于点F．若，则的面积与四边形的面积之比是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若m是方程2x2﹣3x﹣＝0的一个根，则4m2﹣6m+2018的值为_____． 10. 如图，在△BDE和△BCA中，∠BDE＝∠BCA．若＝，DE＝4，则AC的长为_____． 11. 在如图所示的平面直角坐标系中有，点A、B的坐标分别为、，以原点O为位似中心将进行放缩，若放缩后点A的对应点坐标为，则点B的对应点坐标为__________． 12. 如图，河坝横断面迎水坡的坡比为坝高为，则的长度为______． 13. 如图，点E为矩形的边上一点，以为折痕将向上折叠，点B恰好落在边上的点F处，若，，则的长是__________． 14. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=________. 三、解答题（木大题共10小题，共78分） 15. 计算：3tan30°− tan45°+ 2sin60° 16. 解方程：． 17. 某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁，三保障”的住房保障工作，2017年投入5亿元资金，之后投入资金逐年增长，2019年投入7.2亿元资金用于保障性住房建设．假设这两年每年投入的年平均增长率相同，求该市这两年投入资金的年平均增长率． 18. 图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以线段为边画一个三角形，使它与相似． （2）在图②中画一个三角形，使它与相似（不全等）． （3）在图③中的线段上画一个点P，使． 19. 如图，一辆轿车在经过某路口的感应线B和C处时，悬臂灯杆上的电子警察拍摄到两张照片，两感应线之间距离BC为6.2m，在感应线B、C两处测得电子警察A的仰角分别为∠ABD＝45°，∠ACD＝28°．求电子警察安装在悬臂灯杆上的高度AD的长．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin28°＝0.47，cos28°＝0.88，tan28°＝0.53】 20. 如图，是等边三角形，点D在边上（点D与点A、B不重合），过点D作交于点E，连接．M、N、P分别为、、的中点，顺次连接M、N、P． （1）求证：． （2）的大小是___________度． 21. 如图，在正方形中，，对角线与相交于点O，点E在边上，，连结交于点M． （1）求的长． （2）的值为______． 22. 【感知】如图①，在正方形中，为边上一点，连结，过点作，交于点．易证：（不需要证明）； 【探究】如图②，在矩形中，为边上一点，连结，过点作，交于点． （1）求证：； （2）若，，为的中点，求的长； 【应用】如图③，在中，，，．为边上一点（点不与点、重合），连结，过点作，交于点．当为等腰三角形时，的长为_____． 23. 【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第38页的部分内容． 问题1　学校生物小组有一块长、宽的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道要使种植面积为，小道的宽应是多少？ 分析　问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出图①，不验发现小道的占地面积与位置无关．设小道宽为，则两条小道的面积分别为和，其中重叠部分小正方形的面积为，根据题意，得…… 请根据教材提示，结合图①，写出完整的解题过程． 【结论应用】如图②，某小区附近有一块长，宽的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的人行步道（一纵一横）和一个边长为人行步道宽度7倍的正方形林闲广场，两条人行步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，设行步重的宽为． （1）求人行步道的宽． （2）为了方便市民进行跑步健身，现按如图③所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大，且区域丙为正方形，直接写出塑胶跑道的总面积． 24. 如图，在中，，，．点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回；同时点从点出发沿以相同的速度向点匀速运动，当点到达点时两点同时停止运动．伴随着、的运动，保持垂直平分线段，且交于点，交折线于点．设点的运动的时间是秒． （1）求的长． （2）用含的代数式表示线段的长． （3）在点从点向点运动的过程中，当四边形为矩形时，求的面积． （4）当经过点时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年上学期九年级（大班）第一次月考 数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（　　） A. -3，-4. B. -3，4. C. 3，-4. D. 1，4. 【答案】A 【解析】 【分析】方程整理后一般系数，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项，即可做出判断． 【详解】∵ ∴ 方程的二次项系数为1，一次项系数为−3，常数项为-4， 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将常数项移项到等号右边，再将等号左右同时加上一次项系数一半的平方，即可得到答案. 【详解】原式= 故答案选B. 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，能够熟练掌握配方法是解题的关键. 3. 如图，，与相交于点G．若则的长为（　　） A. B. C. 12 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的知识点，能够熟练运用比例关系是解题关键． 4. 如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使，连结EF交DC于点G，则＝（ ） A. 2：3 B. 3：2 C. 9：4 D. 4：9 【答案】D 【解析】 【分析】先设出，进而得出，再用平行四边形的性质得出，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∵点F是BC的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF是解本题的关键． 5. 某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的铁制小门．设试验田垂直于墙的一边的长为，则下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先确定墙的长不是AD，根据题意求出矩形的长BC即可，注意加上门的长度. 【详解】解：已知设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，BC=49-2x+1 ， 所以 S矩形ABCD=AB×BC ， 所以方程为： x(49+1-2x)=200 ， 故选 C. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键. 6. 如图，身高为1．5米的某学生想测量一棵大树的高度，他沿着树影由向走，当走到点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合．此时三点恰好在一条直线上．经测得米，米，则树的高度为（ ） A. 3米 B. 4米 C. 4.5米 D. 6米 【答案】D 【解析】 【分析】易证△ABC∽△EDC，根据相似三角形的性质可求出AB的高度． 【详解】解：根据题意，可知：∠ABC＝∠EDC＝90°， ∵∠C＝∠C， ∴△ABC∽△EDC， ∴，即， ∴AB＝6． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质列出比例式是解题的关键． 7. 如图，以点为位似中心，将放大后得到若，则与的周长比为（ ） A. 1：9 B. 1：4 C. 1：3 D. 1：2 【答案】C 【解析】 【分析】求出△ABC与△A′B′C′的相似比即可解答． 【详解】解：∵AA′＝2OA， ∴OA′＝3OA， ∴△ABC与△A′B′C′的相似比是1：3， ∴△ABC与△A′B′C′的周长比为1：3， 故选：C． 【点睛】本题考查的是位似变换，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形． 8. 如图，在正方形中，点E在边上,，交于G，交于点F．若，则的面积与四边形的面积之比是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可以证明，然后即可得到，再根据勾股定理可以得到的长，然后根据相似三角形的判定和性质可以得到和的面积之比，然后即可得到的面积与四边形的面积之比． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积与四边形的面积之比是：， 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若m是方程2x2﹣3x﹣＝0的一个根，则4m2﹣6m+2018的值为_____． 【答案】2019 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：2m2-3m-=0， ∴2m2-3m=， ∴原式=2（2m2-3m）+2018=2019． 故答案为：2019． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型． 10. 如图，在△BDE和△BCA中，∠BDE＝∠BCA．若＝，DE＝4，则AC的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】由∠DBE=∠CBA，∠BDE=∠BCA可证出△BDE∽△BCA，利用相似三角形的性质可求出AC的长． 【详解】∵∠DBE=∠CBA，∠BDE=∠BCA， ∴△BDE∽△BCA， ∴， ∴AC=DE=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记“两角分别对应相等的两个三角形相似”是解题的关键． 11. 在如图所示的平面直角坐标系中有，点A、B的坐标分别为、，以原点O为位似中心将进行放缩，若放缩后点A的对应点坐标为，则点B的对应点坐标为__________． 【答案】（6，2）. 【解析】 【分析】由以原点O为位似中心，相似比为1：2，根据位似图形的性质，即可求得答案. 【详解】∵以原点O为位似中心将进行放缩，A放缩后对应点坐标为， ∴相似比为1：2， ∵B ∴B的对应点坐标为(6,2)， 故答案为：（6，2）. 【点睛】比题考查了位似图形的变换，注意件平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 12. 如图，河坝横断面迎水坡的坡比为坝高为，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据坡比的定义可得，即可得，再结合勾股定理可得答案． 【详解】解：∵迎水坡的坡比为， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用－坡度坡角问题、勾股定理，熟练掌握坡比的定义以及勾股定理是解答本题的关键． 13. 如图，点E为矩形的边上一点，以为折痕将向上折叠，点B恰好落在边上的点F处，若，，则的长是__________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据折叠与勾股定理的性质求出AF=4,设BC为x，则AD=x=FC，得到DF=x-4,在Rt△CDF中得到FC2=DF2+CD2，故可求出BC的长． 【详解】∵折叠，，， ∴EF=5，BC=FC ∴AF= 设BC为x，则AD=x=FC，DF=x-4, 由CD=AB=AE+BE=8 ∴在Rt△CDF中得到FC2=DF2+CD2， 故x2=(x-4)2+82， 解得x=10 即BC=10 故答案为：10． 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知折叠的性质及勾股定理的应用． 14. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=________. 【答案】2 【解析】 【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案． 【详解】如图，连接BE， ∵四边形BCEK是正方形， ∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK， ∴BF=CF， 根据题意得：AC∥BK， ∴△ACO∽△BKO， ∴KO：CO=BK：AC=1：3， ∴KO：KF=1：2， ∴KO=OF=CF=BF， 在Rt△PBF中，tan∠BOF==2， ∵∠AOD=∠BOF， ∴tan∠AOD=2． 故答案为2 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用． 三、解答题（木大题共10小题，共78分） 15. 计算：3tan30°− tan45°+ 2sin60° 【答案】 【解析】 【分析】先计算出特殊的三角函数值，按照运算顺序计算即可. 【详解】解：原式 . 【点睛】本题主要考查特殊锐角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方，再根据完全平方公式整理，然后求解即可； 【详解】解： ， 解得：，． 17. 某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁，三保障”的住房保障工作，2017年投入5亿元资金，之后投入资金逐年增长，2019年投入7.2亿元资金用于保障性住房建设．假设这两年每年投入的年平均增长率相同，求该市这两年投入资金的年平均增长率． 【答案】这两年中投入资金的平均年增长率约是 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于根据等量关系列出方程．设这两年中投入资金的平均年增长率是x，再根据2017年投入5亿元资金，之后投入资金逐年增长，2019年投入7.2亿元资金用于保障性住房建设，列出方程，即可解答． 【详解】解：设这两年中投入资金的平均年增长率是x，由题意得： ， 解得：， (不合题意舍去)． 答：这两年中投入资金的平均年增长率约是． 18. 图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以线段为边画一个三角形，使它与相似． （2）在图②中画一个三角形，使它与相似（不全等）． （3）在图③中的线段上画一个点P，使． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）连接DE，则DE//BC，由相似三角形的判定方法可知△ADE∽△ABC； （2）如图②，根据勾股定理和相似三角形的判定方法可知△DEF∽△ABC； （3）连接DE，BE，DE交AB于点P，则DE//BC，根据平行线分线段成比例定理可知． 【详解】解：（1）如图①； （2）如图②； （3）如图③． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，平行四边形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的管家．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似． 19. 如图，一辆轿车在经过某路口的感应线B和C处时，悬臂灯杆上的电子警察拍摄到两张照片，两感应线之间距离BC为6.2m，在感应线B、C两处测得电子警察A的仰角分别为∠ABD＝45°，∠ACD＝28°．求电子警察安装在悬臂灯杆上的高度AD的长．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin28°＝0.47，cos28°＝0.88，tan28°＝0.53】 【答案】7.0m 【解析】 【分析】首先求出DA＝DB，然后在Rt△ADC中，根据正切的定义列出等量关系，求出AD的值即可． 【详解】解：根据题意可知，∠ADC＝90°， ∵∠ABD＝45°， ∴DA＝DB， 在Rt△ADC中，∠ACD＝28°，BC＝6.2m， ∴tan28°＝， ∴AD＝0.53（AD+6.2）， ∴AD＝6.99≈7.0m， 答：电子警察安装在悬臂灯杆上的高度AD的长为7.0m． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 20. 如图，是等边三角形，点D在边上（点D与点A、B不重合），过点D作交于点E，连接．M、N、P分别为、、的中点，顺次连接M、N、P． （1）求证：． （2）的大小是___________度． 【答案】（1）见解析 （2）120 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和等边三角形的性质，得出，证明是等边三角形，得出，证明，根据中位线的性质，即可得出答案； （2）根据平行线的性质和三角形外角的性质，得出． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵M、N分别为、的中点， ∴， ∵N、P分别为、的中点， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 故答案为：120． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质，中位线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 21. 如图，在正方形中，，对角线与相交于点O，点E在边上，，连结交于点M． （1）求的长． （2）的值为______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据正方形的性质证明 是解题的关键． （1）由正方形的性质可得再由求解即可； （2）结合（1）由求解． 【小问1详解】 在正方形中， ， ∴，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 在正方形中， 由 （1）知， ， ， ， 故答案为： ． 22. 【感知】如图①，在正方形中，为边上一点，连结，过点作，交于点．易证：（不需要证明）； 【探究】如图②，在矩形中，为边上一点，连结，过点作，交于点． （1）求证：； （2）若，，为的中点，求的长； 【应用】如图③，在中，，，．为边上一点（点不与点、重合），连结，过点作，交于点．当为等腰三角形时，的长为_____． 【答案】 [探究]（1）证明：四边形是矩形， ， ． ， ， ， ， 又， ； （2）；[应用] 或 【解析】 【分析】[探究]（1）由题意可求，，进而可证； （2）由题意知，，由（1）知，则，代入计算求解即可； [应用]由勾股定理得，则，证明；由题意知，当为等腰三角形时，分，，，三种情况求解；当时，则，，进而可求结果；当时，，则，，进而可求结果；当时，此时不成立． 【详解】解：[探究]（1）略 （2）为的中点， ， 由（1）知， ，即， ． [应用]解：∵，， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴； 由题意知，当为等腰三角形时，分，，，三种情况求解； 当时，则， ∴； 当时，，则， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴，此时不成立； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 23. 【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第38页的部分内容． 问题1　学校生物小组有一块长、宽的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道要使种植面积为，小道的宽应是多少？ 分析　问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出图①，不验发现小道的占地面积与位置无关．设小道宽为，则两条小道的面积分别为和，其中重叠部分小正方形的面积为，根据题意，得…… 请根据教材提示，结合图①，写出完整的解题过程． 【结论应用】如图②，某小区附近有一块长，宽的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的人行步道（一纵一横）和一个边长为人行步道宽度7倍的正方形林闲广场，两条人行步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，设行步重的宽为． （1）求人行步道的宽． （2）为了方便市民进行跑步健身，现按如图③所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大，且区域丙为正方形，直接写出塑胶跑道的总面积． 【答案】“教材呈现”：小道宽为；“结论应用”：（1）步道的宽为；（2）塑胶跑道的总面积为． 【解析】 【分析】教材呈现：设道路的宽为xm，将4块草地平移为一个长方形，长为（32-x）m，宽为（20-x）m．根据长方形面积公式即可求出道路的宽； 结论应用：（1）根据“两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等”列出方程并解答； （2）根据“长方形区域甲的面积比长方形区域乙大44m2”求得BC=EF=21m，所以再结合图形和矩形的面积公式解答． 【详解】解：教材呈现 设小道宽为 由题意，得（32-x）（20-x）=540 ∴． 解得，（不合题意，舍去）． 答：小道宽为． 结论应用 （1）由题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：步道的宽为． （2）由题意，得 AB-DE=100-80+1=21（m）， ∴BC=EF==21（m） ∴塑胶跑道的总面积为1×（100+80+21-2）=199（m2） 即塑胶跑道的总面积为． 【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 24. 如图，在中，，，．点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回；同时点从点出发沿以相同的速度向点匀速运动，当点到达点时两点同时停止运动．伴随着、的运动，保持垂直平分线段，且交于点，交折线于点．设点的运动的时间是秒． （1）求的长． （2）用含的代数式表示线段的长． （3）在点从点向点运动的过程中，当四边形为矩形时，求的面积． （4）当经过点时，请直接写出的值． 【答案】（1）8；（2）当时，；当时，；（3）；（4）或 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理解直角三角形； （2）分和两种情况结合运动速度分析求解； （3）由矩形的性质可得，从而利用平行线分线段成比例定理分别求得，，从而求解； （4）根据题意可知即CP=CQ时，直线DE经过点C，分别从当P从C到A与点P从A到C去分析，列方程即可求得t的值． 【详解】解：（1）在中，，，， ； （2）当时，， 当时，； （3）若四边形为矩形时，则， 又∵， ∴， ∴，， 当时，， 解得， 的面积为； 当时，， 解得（不合题意，舍去）， 综上，当四边形为矩形时，的面积为； （4）①当时， ∵垂直平分线段， ∴EP=EQ=t， 由于P与Q运动的时间和速度相同， ∴AQ=EQ=EP=t， ∴∠AEQ=∠EAQ， ∵∠AEQ+∠BEQ=90°，∠EAQ+∠EBQ=90°， ∴∠BEQ=∠EBQ， ∴BQ=EQ， ∴EQ=AQ=BQ=AB ∴t=5， ②当时，过点Q作QF⊥CB于F， ∵垂直平分线段， ∴EQ=EP=6-（t-6）=12-t， ∵AQ=t，BQ=10-t ∵QF⊥CB， ∴， ∴，， 解得， ，， 解得， ∴， ∴在Rt△EQF中，, 解得：， 综上，或 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质以及勾股定理解直角三角形．此题综合性较强，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $