二项式定理点规范练-2025届高三数学一轮复习

考点规范练50　二项式定理 一、基础巩固 1.(多选)下列关于(a-b)10的展开式的说法正确的是(　　) A.展开式的二项式系数之和是1 024 B.展开式的第6项的二项式系数最大 C.展开式的第5项或第7项的二项式系数最大 D.展开式的第6项的系数最小 2.设n为正整数,的展开式中存在常数项,则n的一个可能取值为(　　) A.16 B.10 C.4 D.2 3.若(1+)4=a+b(a,b为有理数),则a+b等于(　　) A.36 B.46 C.34 D.44 4.已知(1+x)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10,若数列a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤11,k∈N*)是一个单调递增数列,则k的最大值是(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 5.若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=(　　) A.1 B.32 C.81 D.243 6.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一,最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中出现,欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律,比杨辉要晚近四百年.如图,在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中,记第2行的第3个数字为a1,第3行的第3个数字为a2……第n(n≥2)行的第3个数字为an-1,则a1+a2+a3+…+a10=(　　) A.220 B.186 C.120 D.96 7.在的展开式中,有理项共有　　　　　项,系数最小的项为　　　　　.  8.已知3n+3n-1+3n-2+…+3+=1 024,则n=　　　　　.  9.(2021浙江,13)已知(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a1=　　　　　,a2+a3+a4=　　　　　.  10.已知(x+1)6=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a6(x-1)6,则a4=　　　　　.  二、综合应用 11.已知(1+x)6的展开式中各项系数的和为256,则该展开式中x3的系数为 (　　) A.26 B.32 C.38 D.44 12.若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则a2+a4+…+a12=(　　) A.256 B.364 C.296 D.513 13.在的展开式中,各项系数的和为128,把展开式中各项重新排列,则有理项都互不相邻的概率为(　　) A. B. C. D. 14.(多选)若(2x+1)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,x∈R,则 (　　) A.a0=1 B.ar=210-r(-1)r,r=0,1,2,…,10 C.a1+a2+…+a10=1 D.(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2=310 15.9192除以100的余数是　　　　　.  16.(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7+(1+x)8的展开式中x2的系数为　　　　　.  三、探究创新 17.(多选)传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现,于是留下遗言:他死后,墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱的体积与球的体积之比为m,圆柱的表面积与球的表面积之比为n,若f(x)=(x3-)8,则(　　) A.f(x)的展开式中的常数项是56 B.f(x)的展开式中的各项系数之和为0 C.f(x)的展开式中的二项式系数的最大值是70 D.f(i)=-16,其中i为虚数单位 考点规范练50　二项式定理 1.ABD　由二项式系数的性质知+…+=210=1 024,故A正确;依题意,展开式中有11项,故二项式系数最大的项为中间项,即为第6项,故B正确,C错误;由展开式的通项Tr+1=a10-r(-b)r=(-1)ra10-rbr知,第6项的系数最小,为-,故D正确. 2.B　因为的展开式的通项公式为Tk+1=x2n-k(-1)k,令=0,得k=,所以n可取10. 3.D　(1+)4=1+()2+()3+()4=28+16,由题设可得a=28,b=16,故a+b=44. 4.B　由题意知an=(n=1,2,3,…,11). 因为(1+x)10的展开式中二项式系数最大的项是第6项, 所以a6=最大,所以k的最大值为6. 5.D　令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243, 即|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=243. 6.A　a1+a2+a3+…+a10=+…++…++…++…+=…==220. 7.4　-64的展开式的通项为Tr+1=(2)6-r26-r 由Z,得r=0,2,4,6,故有理项共4项. 若项的系数最小,则r为奇数,即r=1或3或5. 当r=1时,系数为-64;当r=3时,系数为-; 当r=5时,系数为-故系数最小的项为T2=-64 8.5　依题意,3n+3n-1+3n-2+…+3+=(3+1)n=4n=1 024,解得n=5. 9.5　10　因为a1为展开式中x3的系数, 所以a1=(-1)0+=5. 令x=1,则有1+a1+a2+a3+a4=(1-1)3+(1+1)4=16, 所以a2+a3+a4=16-5-1=10. 10.60　∵(x+1)6=[(x-1)+2]6, ∴Tr+1=(x-1)6-r·2r,令6-r=4,则r=2, ∴T3=(x-1)4·22=60(x-1)4,即a4=60. 11.C　令x=1,可得(1+x)6的展开式中各项系数的和为(1+a)·26=256,解得a=3. 故(1+x)6的展开式中x3的系数为+3=38. 12.B　令x=1,得a0+a1+a2+…+a12=36,① 令x=-1,得a0-a1+a2-…+a12=1,② 由①+②,可得a0+a2+a4+…+a12= 令x=0,得a0=1, 故a2+a4+…+a12=-1=364. 13.D　依题意,令x=1,可得各项系数的和为2n=128,解得n=7. 故的展开式的通项公式为Tr+1= 由7-Z,得r=0,2,4,6,故展开式中有4项为有理项,有4项为无理项. 把展开式中各项重新排列,则有理项都互不相邻的排法有种,而所有的排法有种, 故有理项都互不相邻的概率为 14.AD　令x=-1,得a0=(-2+1)10=1,故A正确.由已知得(2x+1)10=[-1+2(x+1)]10,故ar=(-1)10-r2r,r=0,1,2,…,10,故B错误.令x=0,得a0+a1+a2+…+a10=1,又a0=1,则a1+a2+…+a10=0,故C错误.令x=-2,得a0-a1+a2-…+a10=310,则(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2=(a0+a2+…+a10+a1+a3+…+a9)(a0+a2+…+a10-a1-a3-…-a9)=1×310=310,故D正确. 15.81　因为9192=(90+1)92=9092+9091+…+902+90+9092+9091+…+902+8 200+81, 所以9192除以100的余数是81. 16.84　依题意,x2的系数为+…+=84. 17.BC　设内切球的半径为r,则圆柱的高为2r, 所以m=,n=,所以=1,所以f(x)= 对于A,f(x)的展开式的通项公式为Tr+1=x24-3r=(-1)rx24-4r, 令24-4r=0,解得r=6,所以f(x)的展开式中的常数项为(-1)6=28,故A错误. 对于B,f(1)=0,即f(x)的展开式中的各项系数之和为0,故B正确. 对于C,f(x)的展开式中的二项式系数的最大值为=70,故C正确. 对于D,f(i)==(-i+i)8=0,故D错误. 学科网（北京）股份有限公司 $$