精品解析：河南省洛阳市宜阳县2022-2023学年八年级上学期期中教学质量调研数学试卷

2022－2023学年度第一学期期中学业质量监测 八年级数学试题 时间：100分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在下列四个交通标志图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 形状相同的两个图形全等 B. 完全重合的两个图形全等 C. 面积相等的两个图形全等 D. 所有的等边三角形全等 3. 已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ） A. 13 B. 17 C. 13或17 D. 13或10 4. 如图，点D、E分别在AB、AC上，△ABE≌△ACD，AB=6，AE=2，则BD的长等于（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 下列长度的三根线段，能构成直角三角形的是（ ） A. 3cm，5cm，5cm B. 4cm，8cm，5cm C. 5cm，13cm，12cm D. 2cm，7cm，4cm 6. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 7. 如图，，，要使得，需要补充的条件不能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线正好经过点，与相交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 等腰三角形的底角是，则它的顶角是______． 10. 小红不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块（图中所标①、②、③、④），若要配一块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带第______块． 11. 如图中，，，则______． 12. 如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为____. 13. 如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数是_____． 14. 若一个直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的平方是__． 15. 如图，中，于D，E是的中点．若，，则的长等于_______． 16. 如图，已知在中，，，在直线上找点P，使是等腰三角形，则的度数为______． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 由16个相同的小正方形拼成正方形网格，现将其中的两个小正方形涂黑（如图），请你用两种不同的方法分别在下图中将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形． 18. 如图,AB、CD相交于点E,且,,求证：≌． 19. 如图，在和中，点A、E、F、C在同一直线上，，，．求证：． 20. 如图，，相交于点O，，，求证：． 21. 如图，已知．求证：F是的中点． 22. 如图，点B、C、D共线，，．求证：． 23. 如图，四边形中，，的垂直平分线交分别于点M、N，点M为中点．求证：． 24. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E． （1）求证：△AED≌△ACD； （2）当AC＝6，BC＝8，求CD的长． 25. 如图，在中，，，． 求证： （1） （2）． 26. 八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． （1）如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的；延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是：_____；中线的取值范围是 ． （2）如图2，在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若．试猜想线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论． （3）如图3，在中，点是的中点，，，其中，连接，探索与的关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022－2023学年度第一学期期中学业质量监测 八年级数学试题 时间：100分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在下列四个交通标志图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 形状相同的两个图形全等 B. 完全重合的两个图形全等 C. 面积相等的两个图形全等 D. 所有的等边三角形全等 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等图形、全等三角形的定义等知识点，掌握全等形的概念是解题的关键． 根据全等形的概念以及全等三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、形状相同的两个图形不一定全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意； B、完全重合的两个图形全等，说法正确，符合题意； C、面积相等的两个图形全等，说法错误，不符合题意； D、所有的等边三角形全等，说法错误，不符合题意． 故选：B． 3. 已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ） A. 13 B. 17 C. 13或17 D. 13或10 【答案】B 【解析】 【分析】等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论． 【详解】解：①当腰是3，底边是7时，3+3<7不满足三角形的三边关系，因此舍去． ②当底边是3，腰长是7时，7+7>3能构成三角形，则其周长=3+7+7=17． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键． 4. 如图，点D、E分别在AB、AC上，△ABE≌△ACD，AB=6，AE=2，则BD的长等于（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，可得AB=AC=6，AD=AE=2，因此可求得BD=AB-AD=4. 故选C. 点睛：此题主要考查了全等三角形的性质，解题时根据全等三角形的对应边相等，可求得对应相等的线段，然后再求差即可，比较简单，是中考常考题. 5. 下列长度的三根线段，能构成直角三角形的是（ ） A. 3cm，5cm，5cm B. 4cm，8cm，5cm C. 5cm，13cm，12cm D. 2cm，7cm，4cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】，不能构成直角三角形，故A错误； ，不能构成直角三角形，故B错误； ，能构成直角三角形，故C正确； ，不能构成直角三角形，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，三边满足的三角形是直角三角形，熟练掌握定理是解题的关键． 6. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点， 故选：C 7. 如图，，，要使得，需要补充的条件不能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 由，可以证明，故A不符合题意； 由可得，再由可以证明，故B不符合题意； 由可得，再由，可以证明，故C不符合题意； 由结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 8. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线正好经过点，与相交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，等边对等角，是解题的关键．连接，中垂线的性质结合外角的性质得到，等边对等角得到，再利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 等腰三角形的底角是，则它的顶角是______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，根据等腰三角形的定义可知，两个底角的度数都为，再根据三角形内角和定理求出顶角的度数即可． 【详解】解：∵等腰三角形的底角是， ∴它的顶角是， 故答案为；20． 10. 小红不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块（图中所标①、②、③、④），若要配一块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带第______块． 【答案】② 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定方法做出判断即可． 【详解】解：带②去，可以利用“角边角”配出一块与原来大小一样的三角形玻璃， 故答案为：②． 【点睛】本题考查了全等三角形判定定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 11. 如图中，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质可知，再结合已知条件求解即可． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，熟知含30度角的直角三角形中30度角所对的直角边的长是斜边长的一半是解题的关键． 12. 如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为____. 【答案】8 【解析】 【分析】本题利用等腰三角形的性质三线合一和勾股定理即可解决. 【详解】 AD是∠BAC的平分线 , 故答案为8. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质定理及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键. 13. 如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数是_____． 【答案】15︒ 【解析】 【详解】∵△ABC中，AB=AC，∠C=65°， ∴∠ABC=∠C=65°， ∴∠A=180°-65°-65°=50°， ∵DM垂直平分AB， ∴DB=DA， ∴∠ABD=∠A=50°， ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°. 故答案为15°. 14. 若一个直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的平方是__． 【答案】100或28##28或100 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．分两种情况：当两直角边的长分别为6和8时，当斜边长为，一条直角边长为时，分别计算即可得出答案． 【详解】解：∵一个直角三角形的两边长分别为6和8， ∴当两直角边的长分别为6和8时，第三边的平方是， 当斜边长为，一条直角边长为时，第三边的平方是， 故答案为：100或28． 15. 如图，中，于D，E是的中点．若，，则的长等于_______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得，然后根据勾股定理可求得． 【详解】解∶∵于D，E是的中点，， ∴， 又， ∴． 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，解题关键是利用性质，并把各边的对应关系对应好，直接利用定理解题即可． 16. 如图，已知在中，，，在直线上找点P，使是等腰三角形，则的度数为______． 【答案】或或或 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，分类讨论思想的运用是解题关键．分四种情况：①时，②当时，③当时，④当时，分别讨论，根据等腰三角形的性质求出答案即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴当时，； 当时， ∵， ∴； 当时，， 当时，， ∴， ∴的度数为：、、、． 故答案为：或或或． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 由16个相同的小正方形拼成正方形网格，现将其中的两个小正方形涂黑（如图），请你用两种不同的方法分别在下图中将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形． 【答案】 作图如下： 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念作图．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴，以16个相同的小正方形构成的大正方形的对称轴作出图形即可． 【详解】略 【点睛】此题考查了轴对称图形和轴对称的作图方法．轴对称图形要找对称轴，轴对称要找关于对称轴对应的点． 18. 如图,AB、CD相交于点E,且,,求证：≌． 【答案】见解析, 【解析】 【分析】利用对顶角相等，可以得出∠AEC=∠BED，再利用SAS即可证得≌. 【详解】证明：∵对顶角相等，∴∠AEC=∠BED 在和中， ≌． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定,关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 19. 如图，在和中，点A、E、F、C在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得到，再利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有等等． 20. 如图，，相交于点O，，，求证：． 【答案】 证明：如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，正确作出辅助线是解题的关键．连接，由，，为公共边，可证得，再根据全等三角形的性质可得结论． 【详解】略 21. 如图，已知．求证：F是的中点． 【答案】 证明：连接，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴F是的中点． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定与性质的综合应用，关键是熟记全等三角形的判定定理；连接、，由全等三角形的判定定理“”证得，则，然后证明，进而得到，据此可得结论． 【详解】略 22. 如图，点B、C、D共线，，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】只需要利用证明即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知一线三垂直模型是解题的关键． 23. 如图，四边形中，，的垂直平分线交分别于点M、N，点M为中点．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，即可证明． 【详解】证明：∵的垂直平分线交分别于点M、N， ∴， ∵，点M为中点， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 24. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E． （1）求证：△AED≌△ACD； （2）当AC＝6，BC＝8，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2）3 【解析】 【分析】（1）根据AD平分∠BAC得 ∠BAD＝∠CAD ，根据DE⊥AB得∠AED＝90°，用AAS即可得证明△AED≌△ACD； （2）设CD＝x，由（1）可知△AED≌△ACD ，则AC＝AE＝6，CD＝DE＝x，BD＝BC－CD＝8－x，根据勾股定理得AB=10，则BE=4，根据勾股定理得42＋x2 ＝ （8－x）2 ，即可得． 【详解】（1）∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵DE⊥AB， ∴∠AED＝90°， ∵在△AED与△ACD中， ∴△AED≌△ACD（AAS） （2）设CD＝x， 由（1）可知△AED≌△ACD ， ∴AC＝AE＝6，CD＝DE＝x，BD＝BC－CD＝8－x， ∵在△ABC中，∠C＝90°， ∴AB2＝AC2＋BC2＝62＋82＝100， 即AB=10或AB=-10（舍）， ∴BE＝AB－AE＝10－6＝4 ， ∵在△BED中，∠BED＝90°，根据勾股定理， BE2＋ED2=BD2 ， 即42＋x2 =（8－x）2 ， 解得x＝3， 即CD=3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点． 25. 如图，在中，，，． 求证： （1） （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）只需要利用证明即可证明； （2）利用全等三角形的性质得到，，再由三角形外角的性质结合已知条件证明，得到，再根据线段的和差关系即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，等腰三角形的性质与判定，证明是解题的关键． 26. 八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． （1）如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的；延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是：_____；中线的取值范围是 ． （2）如图2，在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若．试猜想线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论． （3）如图3，在中，点是的中点，，，其中，连接，探索与的关系，并说明理由． 【答案】（1）， （2） ；证明如下： 延长至点，使，连接、，如图2所示： 同（1）可证：， ，，， ∵ ∴ ∴，即 ∴ ，， 是线段的垂直平分线， ， ； （3） ，，理由如下： 延长至，使，连接，如图3所示： 同（1）得：， ，， ， ，即， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 延长交于点， ， ， ， ， ， 即，． 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是通过作辅助线证明三角形全等． （1）由证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论； （2）延长至点，使，连接、，同（1）得，由全等三角形的性质得出，，，求出，得到，由线段垂直平分线的性质得出，等量代换即可得出结论； （3）延长至，使，连接，由（1）得：，由全等三角形的性质得出，，证出，证明得出，则．延长交于点，根据同角的余角相等即可证明． 【小问1详解】 解：是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ，即， ， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $