精品解析：陕西省西安市部分学校2023-2024学年高二下学期阶段测试（二）数学试卷

阶段测试卷（二） 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列选项中，属于组合问题的是（ ） A. 从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B. 有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C. 从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D. 从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 2. 踢球时甲､乙､丙三人互相传递，由甲开始传球，经过3次传递后，球又被传回到甲，则不同的传递方式共有（ ） A. 6种 B. 8种 C. 2种 D. 4种 3. “数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相同，若中间空格已填数字4，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（ ） 4 A. 70 B. 120 C. 140 D. 144 4. 某科技小组有6名学生，其中男生4人，女生2人，现从中选出3人去参观展览，则至少有一名女生入选的不同选法种数为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 24 5. 若的展开式的二项式系数之和为，则的展开式中的系数为（ ） A. 8 B. 28 C. 56 D. 70 6. 据典籍《周礼·春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音．如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音节，“羽”不为首音节，可以排成不同音序的种数是（ ） A. 36 B. 60 C. 72 D. 78 7. 已知函数，为的导函数，则的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山､黄山､庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（ ） A. 564 B. 484 C. 386 D. 640 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 用种不同的颜色涂图中的矩形，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂色方法总种数记为，则（ ） A. B. C. D. 10. 某周周一到周六的夜间值班工作由甲、乙、丙三人负责，每人负责其中的两天，每天只需一人值班，则下列关于安排方法数的说法正确的有（ ） A. 共有90种安排方法 B. 甲连续两天值班的安排方法有30种 C. 甲连续两天值班且乙连续两天值班的安排方法有18种 D. 甲、乙、丙三人每人都连续两天值夜班的安排方法有6种 11. 函数及其导函数的定义均为，且是奇函数，设，，则以下结论一定正确的有（ ） A. 为偶函数 B. 函数的图象关于直线对称 C. 的图象关于对称 D. 设数列为等差数列，若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则 _________. 13. 名男生和名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法共有______种． 14. “莺啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼莺.”这是清代女诗人吴绛雪的一首回文诗，“回文”是汉语特有的一种使用语序回环往复的修辞手法，而数学上也有类似这样特征的一类“回文数”，如232，251152等，那么在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有__________个. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求的展开式中的系数； （2）求 除以的余数． 16. 已知二项式，且满足. （1）求的值； （2）求的值. 17. 中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． （1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数； （2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； （3）计划安排A、B、C、D、E五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师A不任教“围棋”课程，教师B只能任教一门课程，求所有课程安排的种数． 18. 已知函数（其中是自然对数的底数）. （1）求在上的最值； （2）若函数没有零点，求实数的取值范围. 19. 规定，其中，是正整数，且，这是组合数（、是正整数，且）的一种推广. （1）求的值； （2）组合数的两个性质：①；②是否都能推广到（，是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由； （3）已知组合数是正整数，证明：当，是正整数时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段测试卷（二） 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列选项中，属于组合问题的是（ ） A. 从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B. 有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C. 从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D. 从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列、组合的定义判断即可. 【详解】对于A：从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，因为学科不一样，且学生各不相同，所以为排列问题，故A错误； 对于B：有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，属于组合问题，故B正确； 对于C：从，，，中任取两个数进行指数运算，底数与指数有顺序，所以为排列问题，故C错误； 对于D：从，，，中任取两个数作为点的坐标，横、纵坐标与顺序有关，所以为排列问题，故D错误. 故选：B 2. 踢球时甲､乙､丙三人互相传递，由甲开始传球，经过3次传递后，球又被传回到甲，则不同的传递方式共有（ ） A. 6种 B. 8种 C. 2种 D. 4种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，经过2次传到乙有“甲一丙一乙”1种方式，经过2次传到丙有“甲一乙一丙”1种方式，进而得到3次传给甲的情况，得到答案. 【详解】经过3次传到甲，必定经过2次传到乙或丙，且经过2次传到乙或丙的方式种数相等， 经过2次传到乙有“甲一丙一乙”1种方式，经过2次传到丙有“甲一乙一丙”1种方式， 所以经过3次传到甲共有2种传递方式. 故选：C. 3. “数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相同，若中间空格已填数字4，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（ ） 4 A. 70 B. 120 C. 140 D. 144 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列的知识求得正确答案. 【详解】比小的有，共个，从中选出个排在的右边和下方，方法数有种， 比大的有，共个，从中选出个排在的左边和上方，方法数有种， 所以不同的填法种数为种. 故选：B 4. 某科技小组有6名学生，其中男生4人，女生2人，现从中选出3人去参观展览，则至少有一名女生入选的不同选法种数为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】至少有一名女生入选分为两类情况，利用组合相关知识即可求解. 【详解】分两类：一类是选1个女生，则有种；另一类是选2个女生，则有种. 所以不同选法种数共有. 故选:B . 5. 若的展开式的二项式系数之和为，则的展开式中的系数为（ ） A. 8 B. 28 C. 56 D. 70 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数和求得，根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】的展开式的二项式系数之和， 则展开式的通项公式为： ， 令， 所以的系数为. 故选：C 6. 据典籍《周礼·春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音．如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音节，“羽”不为首音节，可以排成不同音序的种数是（ ） A. 36 B. 60 C. 72 D. 78 【答案】D 【解析】 【分析】将“宫”看为特殊元素，分类讨论：“宫”为首音节、“宫”不为首音节，由此求解出总的排法数. 【详解】①若“宫”为首音节，可排成的音序有种， ②若“宫”不为首音节，从“宫”“羽”之外的三个音阶中选一个作为首音节有种选法， 再安排“宫”音阶有种排法，剩余三个音阶可以全排列有种排法， 所以②一共有种排法， 由分类加法计数原理可知，一共有种排法， 故选：D. 7. 已知函数，为的导函数，则的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出函数的导函数，再判断的奇偶性，以及由特殊值，利用排除法判断即可. 【详解】因为的定义域为，且，， 又， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、D； 又，故排除C. 故选：B 8. 某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山､黄山､庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（ ） A. 564 B. 484 C. 386 D. 640 【答案】A 【解析】 【分析】先将不平均分组问题分成两大类，然后由排列组合知识结合加法、乘法计数原理即可得解. 【详解】8人分三组可分为2人，2人，4人和2人，3人，3人，共两种情况. 第一种情况分成2人，2人，4人：女生去同一处景点，当成2人组时， 其他6人分成2人，4人两组且男生甲与女生不同组，有种方法； 当在4人组时，有种方法. 第二种情况分成2人，3人，3人：当成2人组时，有种方法； 当在3人组时，有种方法. 故这8名同学游玩行程的方法数为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 用种不同的颜色涂图中的矩形，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂色方法总种数记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用分类计数原理即可得解. 【详解】当时，分四步： 第一步，涂处，有3种涂色方案；第二步，涂处，有2种涂色方案； 第三步，涂处，有2种涂色方案；第四步，涂处，有1种涂色方案. 所以不同的涂色方法共种数为，所以，故A正确； 当时，分四步： 第一步，涂处，有4种涂色方案；第二步，涂处，有3种涂色方案； 第三步，涂处，有3种涂色方案；第四步，涂处，有2种涂色方案. 所以不同的涂色方法共种数为，所以，故B错误； 当时，分四步： 第一步，涂处，有5种涂色方案；第二步，涂处，有4种涂色方案； 第三步，涂处，有4种涂色方案；第四步，涂处，有3种涂色方案. 所以不同的涂色方法共种数为，所以，故C错误； 当时，分四步： 第一步，涂处，有6种涂色方案；第二步，涂处，有5种涂色方案； 第三步，涂处，有5种涂色方案；第四步，涂处，有4种涂色方案. 所以不同的涂色方法共种数为，所以，故D正确. 故选：AD. 10. 某周周一到周六的夜间值班工作由甲、乙、丙三人负责，每人负责其中的两天，每天只需一人值班，则下列关于安排方法数的说法正确的有（ ） A. 共有90种安排方法 B. 甲连续两天值班的安排方法有30种 C. 甲连续两天值班且乙连续两天值班的安排方法有18种 D. 甲、乙、丙三人每人都连续两天值夜班的安排方法有6种 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用排列组合相关知识逐项分析即可. 【详解】对于A，首先任选2天安排甲值班，共种方法，再从剩下的4天中选2天安排乙值班， 共种方法，最后安排丙，种方法，共计种方法，故A正确； 对于B，甲可以值周一周二、周二周三、…、周五周六，共有5种方法， 再从剩余4天中选2天安排乙，剩下两天安排丙，此步骤共种，共计种方法，故B正确； 对于C，首先确定甲在乙之前还是之后，有2种方法，再讨论丙值的两天班是否连续， 若连续，则从“□甲甲□乙乙□”或“□乙乙□甲甲□”对应的三个空档中选择一个， 安排“丙丙”即可，此时有种方法， 若不连续，则从“□甲甲□乙乙□”或“□乙乙□甲甲□”对应的三个空档中选择两个，各安排一个“丙”即可， 此时有种；综上，符合题意的方法数为种，故C错误； 对于D，只需将“甲甲”“乙乙”“丙丙”做全排列即可，共种方法，故D正确. 故选：ABD. 11. 函数及其导函数的定义均为，且是奇函数，设，，则以下结论一定正确的有（ ） A. 为偶函数 B. 函数的图象关于直线对称 C. 的图象关于对称 D. 设数列为等差数列，若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由奇函数的性质可得，两边求导，即可判断A；根据函数的变换规则判断B；令，则为奇函数，又，根据函数的变换规则判断C；结合C及等差数列下标和性质判断D. 【详解】对于A：因为函数及其导函数的定义均为，且是奇函数， 所以，则， 又，即，故为偶函数，故A正确； 对于B：因为的图象是由函数图象向右平移一个单位，再将横坐标缩短为原来的得到， 又因为是偶函数，函数图象关于对称， 所以函数的图象关于直线对称，故B错误； 对于C：因为，令，， 则， 由为奇函数，即，所以， 所以为奇函数，则图象关于对称， 而的图象可以看作由的图象向右平移个单位，再向上平移个单位而得， 所以的图象关于对称，故C正确； 对于D：由选项可知，当时，， 在等差数列中，又， 所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则 _________. 【答案】 【解析】 【分析】代入求解即可 【详解】代入有，即 故答案为： 13. 名男生和名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法共有______种． 【答案】 【解析】 【分析】首先将名男生排成一排，再把名女生插入到名男生中间的空中，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】依题意，首先把名男生排成一排，有种排法， 再把名女生插入到名男生中间的空中，有种排法， 利用乘法原理得不同排法种数有：种． 故答案为： 14. “莺啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼莺.”这是清代女诗人吴绛雪的一首回文诗，“回文”是汉语特有的一种使用语序回环往复的修辞手法，而数学上也有类似这样特征的一类“回文数”，如232，251152等，那么在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有__________个. 【答案】225 【解析】 【分析】根据给定的信息，确定五位正整数中的“回文数”特征，再分别求出各位上的种数，先用乘法原理求出各类种数，再由加法原理即得. 【详解】依题意，五位正整数中 “回文数”具有： 万位与个位数字相同，且不为0，千位与十位数字相同， 求有且仅有两位数字是偶数的“回文数”的个数有两类办法： 第一类：万位数字为偶数且不为0有4种，千位选一个奇数有5种， 百位选一个奇数有5种， 不同 “回文数”的个数为个， 第二类：万位数字为奇数有5种，千位选一个偶数有5种，百位选一个奇数有5种， 不同 “回文数”的个数为， 由分类加法原理得， 在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有：个. 故答案为：225 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求的展开式中的系数； （2）求 除以的余数． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用二项展开式的通项公式分别求出中的系数，然后相加即可求解； （2）利用二项式定理展开，可得展开式中除了最后一项外，其余都能被整除， 再利用二项式定理展开，可得最后两项不能被整除， 又因为，所以除以的余数为，即可求解. 【详解】（1）由题意，二项式的展开式的通项,其中，N， 即项的系数为，项的系数为，项的系数为， 所以的展开式中项的系数为． （2）解法一:展开式中前92项均能被100整除， 故只需求最后一项除以100的余数． ， 前91项均能被100整除，后两项的和为， 又因为， 所以除以的余数为， 故除以的余数为. 解法二： ， 前项均能被整除，后两项的和为， 显然除以的余数为 ， 故除以的余数为. 16. 已知二项式，且满足. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）； （2）6560. 【解析】 【分析】（1）应用排列数、组合数公式列方程求即可； （2）根据（1）有，应用赋值法求结果即可. 【小问1详解】 由得：，解得. 【小问2详解】 由（1）知，根据二项式展开式通项， 易知，，，为负值，其它系数为正值， 所以，， 于是，令则；令则； 所以. 17. 中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． （1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数； （2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； （3）计划安排A、B、C、D、E五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师A不任教“围棋”课程，教师B只能任教一门课程，求所有课程安排的种数． 【答案】（1）480 （2）360 （3）1140 【解析】 【分析】（1）采用插空法，先拍其余四科，再插空； （2）特殊的先排，再用分步乘法； （3）按甲所教科目的数量分类，然后由分类加法计数原理求解. 【小问1详解】 第一步，先将另外四门课排好，有种情况； 第二步，将“京剧”和“剪纸”课程分别插入5个空隙中，有种情况； 所以“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有种； 【小问2详解】 第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况； 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况； 第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法种情况； 因此，所有选课种数为. 【小问3详解】 ①当A只任教1科时：先排A任教科目，有种；再从剩下5科中排B的任教科目，有种；接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种；所以当A只任教1科时，共有种； ②当A任教2科时：先选A任教的2科有中，这样6科分为4组共有种， 所以，当A任教2科时，共有种， 综上，A不任教“围棋”的课程安排方案有1140种． 18. 已知函数（其中是自然对数的底数）. （1）求在上的最值； （2）若函数没有零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）最小值为，最大值为. （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数直接求解函数最值即可； （2）由题知方程没有实数根，进而构造函数，研究其值域得，进而转化为解即可得答案. 【小问1详解】 解：， 所以，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 因为，，，， 所以，函数在上的最小值为，最大值为. 【小问2详解】 解：因为函数没有零点， 所以方程无实数根，即方程没有实数根， 令，则， 所以，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，函数在处取得最大值 因为当时，当时， 所以，函数的值域为， 所以，当方程没有实数根，，即， 所以，实数的取值范围为. 19. 规定，其中，是正整数，且，这是组合数（、是正整数，且）的一种推广. （1）求的值； （2）组合数的两个性质：①；②是否都能推广到（，是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由； （3）已知组合数是正整数，证明：当，是正整数时，. 【答案】（1） （2）性质①不能推广，例如当时，有定义，但无意义； 性质②能推广，它的推广形式是：，，是正整数， 证明：当时，有， 当时， （3）证明：当时，组合数； 当时，； 当时，由可知， 所以 因为组合数是正整数，所以. 【解析】 【分析】（1）按题中定义计算即可； （2）由定义可知m是正整数，所以只需要判断①；②中的、、是否只能是整数即可； （3）分类讨论、、三种情况，其中当时可将的分子转换为正数进行计算证明. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $