2.3.1 抛物线及其标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2.3.1 抛物线及其标准方程 北师大A版（2019）选择性必修一 学习目标 1.理解抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程. 3.明确p的几何意义,并能解决简单的求抛物线标准方程问题,提升逻辑推理和数学运算素养. 学习重点 学习难点 抛物线的定义、标准方程 抛物线标准方程的推导 新课导入 新课学习 用铅笔尖 (记作点P) 扣紧绳子, 并靠住三角板, 然后将三角板沿着直尺上下滑动, 可以发现铅笔尖就在画板上描出了一段曲线, 即点P的轨迹. 抛物线的定义 抛物线定义的集合表示 思考交流 结论 抛物线的标准方程 问题：类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程, 你认为应如何建立平面直角坐标系, 使所建立的抛物线的方程简单？ K M 特别提醒： 抛物线的焦半径 用坐标表示焦半径 M(x0,y0) H 总结 例题来了 解： 解： 思考交流 在建立椭圆和双曲线的标准方程时, 由于焦点在平面直角坐标系中的位置不同, 它们各有两种形式的标准方程, 你认为披物线的标准方程一共有几种形式？ 请分别指出抛物线的焦点位置,并写出相应的标准方程和准线方程. 结论 4种 求抛物线的标准方程的两种方法 （1）直接法．先定位，即由焦点坐标或准线方程确定抛物线的标准方程的形式，再进行定量计算，即求出焦点到准线的距离p，即可直接写出抛物线的标准方程． 与抛物线定义有关的最值问题的解题思路 课堂巩固 C AD BD D D D D 3 总结一下 1.抛物线的定义 2.抛物线的标准方程 谢谢大家 Thanks 我们在初中学过， 一元二次函数 的图象是一条抛物线， 而且知道， 斜抛物体在没有空气阻力的情况下， 其轨迹是拋物线， 如铅球的运行轨迹等， 有些拱桥、雷达的天线也是利用抛物线的原理制成的. 那么，具有怎样几何特征的曲线是抛物线呢? 如图2-27， 先将一把直尺固定在画板上，再把一个直角三角板的一条直角边紧靠在直尺的边缘 (记作直线 l )，然后取一根细绳，它的长度与另一条直角边AB相等， 细绳的一端固定在三角板顶点A处， 另一端固定在画板上的点 F处. 观察铅笔尖随着三角板的移动过程，可以发现，点P始终满足 (三角板的直角顶点记作B )， 即点 P到定点 F的距离和点P到定直线 l的距离相等. 于是， 我们把具有这样特征的曲线作如下定义: 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F的距离相等的点的集合 (或轨迹) 叫作抛物线. 这个定点F叫作抛物线的焦点, 这条定直线l叫作抛物线的准线. 设点M是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，F为抛物线的焦点，由抛物线的定义可知，抛物线可以视为动点的集合，即点集 . 观察图中，点 分别是四个圆的圆心， 试用数学语言来描述这些点. A，B，C，D是与定点O和定直线l (l不经过点O）的距离相等的集合（或轨迹）. 取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴， x轴与准线l相交于点K， 以线段KF 的垂直平分线为y 轴，建立如图的平面直角坐标系 设抛物线的焦点到准线的距离为 ， 则 ， 焦点 ，准线l的方程为 . 设点 是拖物线上的任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义可知，抛物线上的点M满足 因为 ， 所以 将上式两边平方并化简， 得 .（1） 这说明抛物线上的任意一点的坐标都满足方程（1）；反之，可以证明，以方程（1）的解为坐标的点都在抛物线上.于是，把方程（1）叫作抛物线的标准方程.这条抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是 ，它的准线方程是 ， 其中p是抛物线的焦点到准线的距离. 参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离即焦准距，这就是抛物线的标准方程中参数p的几何意义，所以p的值大于0. 焦点的非零坐标是标准方程中一次项系数的 . 准线与坐标轴的交点和焦点关于原点对称 标准方程右边一次项的变量决定焦点所在坐标轴，一次项系数的符号决定开口方向. 若点M是抛物线上的一点，抛物线的焦点为F，准线为l，则线段MF叫作抛物线的焦半径. 设 是抛物线 上一点，如图所示，过点M作l的垂线段MH，由抛物线的定义可知 由抛物线的焦半径公式可知，抛物线上的点到其焦点 的距离的最小值为 ，此时该点为坐标原点. 同理可得到其他形式标准方程下的焦半径公式 抛物线 焦半径公式 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) (p>0) x2=-2py (p>0) 例1 根据下列条件，求抛物线的标准方程 焦点坐标为 准线方程为 （1）设抛物线的标准方程为 其焦点坐标为 ，根据题意有 ，故 .所以所求抛物线的标准方程为 . 例2 已知抛物线的焦点在x轴正半轴上， 焦点到准线的距离为 ，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程. 因为抛物线的焦点到准线的距离 ， 所以所求抛物线的标准方程为 ， 其焦点坐标为 ， 准线方程是 . 当焦点在x轴正半轴上时，标准方程为 ，准线方程为 ；当焦点在x轴负半轴上时，标准方程为 ，准线方程为 ；当焦点在y轴正半轴上时，标准方程为 ，准线方程为 ；当焦点在y轴负半轴上时，标准方程为 ，准线方程为 . （2）待定系数法．根据题设条件，设出抛物线的标准方程，并求出p值．对于焦点在x轴上的抛物线，为避免分类讨论，可将抛物线方程设成 (m≠0) 的形式，求出m的值即可．类似地，对于焦点在y轴上的抛物线，可设其方程为 (n≠0). 由抛物线的定义实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化，再利用平面几何的性质确定取得最值时的点的位置，即得最值．特别地，已知F为抛物线C的焦点，P为C上的点，A为定点，则有下列结论成立： （1） 的最小值＝ （2） 的最大值＝ . （3） 的最小值= 1.已知F是抛物线 的焦点,点 在C上,则 ( ) A. B. C. D. 解析：由已知 , ,所以 . 2.(多选题）．已知 , ,则下列命题中正确的是( ) A.平面内满足 的动点P的轨迹为椭圆 B.平面内满足 的动点P的轨迹为双曲线的一支 C.平面内满足 的动点P的轨迹为抛物线 D.平面内满足 的动点P的轨迹为圆 解析：对于选项A,有 , ,且 ,由椭圆定义可知选项A正确; 对于选项B,有 , ,且,轨迹为射线,不符合双曲线的定义可知选项B错误; 对于选项C,有,,且,轨迹为线段AB的垂直平分线,不符合抛物线的定义可知选项C错误; 对于选项D,有,,且,设点,则,化简可得 ,可知选项D正确; 故选:AD 3.(多选题）．以直线 与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为( ) A. B. C. D. 解析：直线 与坐标轴的交点为 ， ，故以 和 为焦点的抛物线标准方程分别为 和 . 4.以坐标轴为对称轴，焦点在直线 上的抛物线的标准方程为( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 解析：直线 与坐标轴的交点为 ， ， 当抛物线的焦点为 时，其标准方程为 ； 当抛物线的焦点为 时，其标准方程为 . 5.图中是抛物线形拱桥,当水面在m时,拱顶距离水面2米,水面宽度为8米,则当水面宽度为10米时,拱顶与水面之间的距离为( ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 解析：以拱顶为坐标原点,建立直角坐标系, 可设拱桥所在抛物线的方程为 ,又抛物线过点 ,则 ,解得 ,则抛物线的方程为 ,当 时, ,故当水面宽度为10米时,拱顶与水面之间的距离为 米. 6.已知 是抛物线 上一点，过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，则 的最小值为( ) A.24 B.28 C.30 D.32 解析：因为 是抛物线上一点，所以 ，故 ，则抛物线C的方程为 ， .设 ， ，不妨设 ， 设直线l的方程为 ，联立 消去x得 ，所以 ， ， ， 则 ，当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，故 的最小值为32. 7.顶点在原点，且过点 的抛物线的标准方程是( ) A. B. C.或 D.或 解析：点 在第二象限.当焦点在y轴上时，可设抛物线的标准方程为 ， 把 的坐标代入解得 ，所以抛物线的标准方程为 . 当焦点在x轴上时，可设抛物线的标准方程为 ， 把 的坐标代入解得 ，所以抛物线的标准方程为 .故选D. 8.已知点 为抛物线 EMBED Equation.DSMT4 上一点，则点P到抛物线C的焦点的距离为________. 解析：由题意得： ，解得 ，所以抛物线 ，即焦点F坐标是 ，即 . 9.已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点 到焦点的距离是6，则其标准方程为__________. 解析：设焦点 ， ，即 ，解得 或 .当焦点为 时，抛物线开口方向向左，其方程为 ；当焦点为 时，抛物线开口方向向左，其方程为 . $$