2.1.2椭圆的简单几何性质课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2.1.2 椭圆的简单几何意义 北师大版（2019）选择性必修一 学习目标 1.掌握椭圆的简单几何性质 2.根据几何条件求出椭圆方程，利用椭圆的方程研究它的性质 3.利用椭圆的知识解决简单的实际问题 学习重点 学习难点 掌握椭圆的简单几何性质 利用椭圆的知识解决简单的实际问题 新课导入 我们利用椭圆的定义及图象认识了椭圆并且得到椭圆的标准方程，接下来，与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们也可以利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等． 新课学习 1．范围 2．对称性 3．顶点 4.离心率 椭圆的焦半径 椭圆的通径 F1 F2 x O y A1 A2 B1 B2 M N 椭圆上的到中心距离最远和最近的点 思考一下 怎样利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程？ 求椭圆方程（或其他轨迹方程）其他方法 解决和椭圆有关的实际问题的思路： （1）通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题 （2）确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解. （3）用解得的结果说明原来的实际问题. 例题来了 解： 解： 解： 解决和椭圆有关的实际问题的思路： （1）通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题； （2）确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解； （3）用解得的结果说明原来的实际问题． 解： 相关点代入法求轨迹方程的一般步骤: （1）建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0)； （2）找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0； （3）将x0，y0代入其所在的曲线方程； （4）化简方程得所求方程． 解决与椭圆有关的最值或取值范围问题的常用方法与椭圆有关的最值问题具有较强的综合性，涉及多个知识点，思维能力要求比较高． 解决这类问题常用的方法有如下三种． 解决与椭圆有关的最值或取值范围问题的常用方法 （1）构建变量的不等关系，通过解不等式（组）求变量的最值（或取值范围）; （2）构建变量与其他变量的等量关系，利用基本不等式或利用其他变量的取值范围，求得该变量的取值范围，即得最值； （3）构建变量的目标函数，化归为求函数的最值，要重视函数定义域的确定. 课堂巩固 C A B C A AC BCD 总结一下 椭圆的简单几何性质: 1.范围 2.对称性 3.顶点 4.离心率 感谢您的聆听 由方程①可得椭圆C上的任意一点 总满足 ， 即 ， ． 这说明椭圆C位于四条直线： ， ， ， 所围成的矩形区域内． 由椭圆C的标准方程 ①和图象，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊? 根据椭圆方程的结构特点，可以发现：若 是椭圆方程的一组解，即 ，则 ， ， 也是方程的解，这说明：若点P 在椭圆上，则点P分别关于x轴、y轴和原点O对称的点 ， ， 也在椭圆上．这说明椭圆 既是关于x轴和y轴的轴对称图形，也是关于原点的中心对称图形．这个中心称为椭圆的中心． 在椭圆C的标准方程①中，当 ， ．这说明 是椭圆C与y轴的两个交点．同理，当 时， ，即 是椭圆C与x轴的两个交点． 因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点．这四个交点叫作椭圆的顶点． 椭圆 的四个顶点分别为： ， ， ， ． 线段 ， 分别叫作椭圆的长轴和短轴， 且 ． a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长．它反映了a，b的几何意义. 由于 ，a，b，c就是图中 的三边长，它们从另一个角度反映了参数a，b，c的几何意义. 我们规定椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的离心率，用e表示，即 ． 显然 ．如图（1），e越接近于l，椭圆就越扁．反之，如图（2），e越接近于0，椭圆就越接近于圆．当 时，椭圆的方程为 ．这时 ，两个焦点重合，图形变为圆． 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图象 标准方程 范围 且 且 顶点 ， ， ， ， 轴长 长轴长为2a，短轴长为2b 焦点 焦距 2c 对称性 对称轴：x轴、y轴．对称中心：坐标原点 离心率 椭圆 上的点 相对于左、右焦点（ 为左焦点， 为右焦点）的焦半径分别为 ， 椭圆 上的点 相对于下、上焦点（ 为下焦点， 为上焦点）的焦半径分别为 ， 过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线被椭圆截得的弦叫做椭圆的通径，如图所示， ，即椭圆的通径为 设点O为坐标原点，点 为椭圆 上任意一点，则 又 ，则当 时， 有最小值b，这时点P在短轴的端点处；当 ， 有最大值a，这时点P在长轴的端点处，即椭圆上的点到其中心的最大距离为长半轴长a，最小距离为短半轴长b. 1.直接法，由已知条件分别找出椭圆中a,b或c等对应的值直接求出椭圆标准方程. 2．采用待定系数法，其步骤是： （1）确定焦点位置； （2）设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； （3）根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有 ， 等． 已知方程化为椭圆的标准方程 则 因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是 离心率是 ． 例1 求椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形． 两个焦点分别是 椭圆的四个顶点分别是 将方程变形为 ，由 ，在 的范围内计算出一些点的坐标 ，如下表(y的值精确到0.1)． x 0 1 2 3 4 5 y 30 29 27 24 18 0 先用描点法画出椭圆在第一象限内的图形，再利用对称性画出整个椭圆(如图)． （1）由已知 ， ，得 ， 从而 ． 所以椭圆的标准方程为 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为 ； （2）经过点 和 ． （2）由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点P，Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，于是有 ， ， 又因为短轴、长轴分别在x轴和y轴上，所以椭圆的标准方程为 ． 例3 2022年10月31日15时37分，搭载空间站梦天实验舱的长征五号B遥四运载火箭，在我国文昌航天发射场准时发射，约8min后,梦天实验舱与火箭成功分离并准确进入预定椭圆轨道，该轨道的近地点(离地面最近的点)高度约为388 km，远地点(离地面最远的点)高度约为398 km，求该椭圆轨道的标准方程.(注：将地球看作一个球，其半径约为6 371 km，地球中心位于椭圆轨道的一个焦点，且近地点、远地点与地球中心共线) 如图，设地心为椭圆轨道右焦点 ，近地点、远地点分别为 ， ，以直线 为x轴，线段 的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则 ， ， 三点都在x轴上， ， ， 所以 从而 ． 所以椭圆轨道的标准方程为 ． 设点M的坐标为(x，y) ，则点P的坐标为(x ，2y)． 因为点P在圆O上，所以 ，即 ． 所以点M的轨迹是长轴长为4，短轴长为2，焦点在x轴上的椭圆． 例4 如图，点P是圆O： 上的动点，作PH⊥x轴于点H，求线段PH的中点M的轨迹方程，并指出该轨迹是什么图形． 1.已知椭圆 ,则下列关于椭圆C的说法正确的是( ) A.离心率为 B.焦点为 C.长轴长为4 D.椭圆C上的点的横坐标取值范围为 解析：由椭圆方程 ,可知 , ,所以 , 所以 ,故A错误； 由方程可知,焦点在x轴上,故焦点坐标为 ,故B错误； 长轴长为 ，故C正确； 因焦点在x轴上,所以椭圆C上的点的横坐标的取值范围是 ，即为 ,故D错误.故选：C. 2.已知 是椭圆M的两个焦点，过点 且垂直于x轴的直线交椭圆 M于A，B两点，且 ，则椭圆M的离心率为( ) A. B. C. D. 解析：依题意，设椭圆方程为 ，则 ， 直线 ，由 ，解得 ，则 ，于是 ， 所以椭圆M的离心率为 . 3.椭圆 的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m的值为( ) A.2 B. C.4 D.6 解析：依题意,方程 ，表示焦点在y轴上的椭圆，所以， ，故， ，只有B选项符合.， ，由于长轴长是短轴长的2倍，即 ， , ，即 ，解得 .故选：B. 4.若椭圆 比椭圆 更扁，则C的长轴长的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析：椭圆 的离心率 ，椭圆 离心率 因为椭圆 比椭圆 更扁，所以 ，即 ，解之得 则 ，所以椭圆C的长轴长的取值范围是 .故选：C. 5.已知 , 分别是椭圆 的左､右两个焦点，若该椭圆上存在点P满足 ，则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析： 由 ， 分别是椭圆 的左、右两个焦点，则 ，当点P位于短轴端点时， 取最大值，要使C上存在点P满足 ，则 的最大值大于或等于 ，即点P位于短轴端点时， 大于或等于 ，则 ，解得 . 6.(多选题）设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线与C交于A，B两点，若，且的周长为8，则( ) A. B.C的离心率为 C.可以为 D. 可以为直角 解析：由 ，如下图 周长为 ，故 ， 所以，椭圆离心率为，A对，B错；当轴，即AB为通径时，且，所以，故可以为，C对； 由椭圆性质知：当A为椭圆上下顶点时最大，此时，且，故，即不可能为直角，D错. 故选：AC 7.(多选题）．已知椭圆 上存在点P，使得 ，其中 ， 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为( ) A. B. C. D. 解析：因为 ，又 ，所以 ， ， 又 ，即 ， 所以 ，则 ，又 ，所以 ，故符合题意的有BCD. 故选：BCD 8.一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为______. 解析：由 及圆心位置知:圆经过椭圆上顶点坐标为 ,左右顶点坐标为 ,设圆的圆心 ,半径为 ,则 ,解得 , , 故圆的方程为 . 9.设椭圆的左、右焦点分别为 ，，P是C上的点， ，，则C的离心率为________. 解析：在 中，设 ，因为 ，所以 ， . 故 .故答案为： $$