精品解析：江苏省盐城市初级中学（南北校区）2022-2023学年上学期九年级数学期末

南北盐中（盐初中、康居路）2022-2023学年度第一学期期末考试 初三年级数学试卷 （2023.02） （卷面总分：150分考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 3. 若，相似比为，已知的周长是3，则的周长是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 4. 小明根据演讲比赛中9位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.0 8.2 8.3 0.2 如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠BOC＝64°，则∠BAC的度数为（ ） A. 64° B. 32° C. 26° D. 23° 6. 如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA、OB．若∠ABC=70°，则∠A等于（） A. 15° B. 20° C. 30° D. 70° 7. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 8. 如图，在△ABC中，若EF∥BC，，EF＝4，则BC的长为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上） 9. 已知2a－3b＝0，b≠0，则a∶b＝______． 10. 将抛物线向上平移2个单位所得抛物线表达式为__________. 11. 若圆锥的底面半径为3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积为__________cm2． 12. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆内接正多边形来确定圆周率，南朝的祖冲之又进一步求得π的值在和之间，是第一个将圆周率的计算精确到小数点后7位的人，一个不知道π小数点后8位的人，能猜出小数点后第8位的数字的概率为 _____． 13. 科学家发现，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是，则蝴蝶身体的长度为__________.（结果保留根号） 14. 在阳光下，身高1.6米的小明在地面上的影长为0.4米，同一时刻旗杆的影长为3米，则旗杆的高度为_________米． 15. 如图，正六边形边长为1，若连接对角线，则的长为_________． 16. 如图，线段，点为平面上一动点，且，将线段的中点绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最大值为 ______． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 已知二次函数的图像经过点. （1）求的值； （2）点在该函数的图像上，求的值. 18. 如图，是的直径，是的弦，，求的度数． 19. 如图，在中，D为AC边上一点，，求证：． 20. 如图，在直角坐标系中，边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点），在给定的网格中，解答下列问题： （1）以A为位似中心，将△ABC按相似比2：1放大，得到△AB1C1，画出△AB1C1． （2）以C1为旋转中心，将△AB1C1顺时针旋转90°，得到△A1B2C1． ①画出△A1B2C1； ②求点A的运动路径长． 21. 根据市教育局有关文件的要求，我校初一、初二年级学生从月日开始进行居家线上学习，为了了解居家学习的状况，学校随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行线上问卷调查．设计的问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正；答案选项为：A.很少；B.有时；C.常常；D.总是．将调查结果的数据进行了整理，绘制成如图两幅不完整的统计图． AI 请根据图中信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_________； （2）请你补全条形统计图； （3）若我校初一、初二年级共有名学生，请你估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生共有多少名？ 22. 为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，我市某社区开展了“文明新风进社区”系列志愿服务活动，参加活动的每位志愿者必须从.“垃圾分类入户宣传”、.“消防安全知识宣传”、.“走访慰问孤寡老人”三个活动主题中随机选取一个主题． （1）志愿者小李选取，“垃圾分类入户宣传”这个主题的概率是_______． （2）志愿者小张和小李从、、三个主题中分别随机选取一个主题，请用列表或画树状图的方法，求他们选取相同主题的概率． 23. 如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为． （1）求这个二次函数的表达式； （2）直接写出该二次函数的图象怎样经过上下平移恰好与x轴只有一个公共点； （3）当时，y的取值范围为______． 24. 如图，在中，，平分，与交于点D，，垂足为D，与交于点E，经过B，D，E三点的与交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 25. 某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量W（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为y（元）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 26. 已知点P是二次函数图象的顶点． （1）小明发现，对m取不同的值时，点P的位置也不同，但是这些点都在某一个函数的图象上，请协助小明完成对这个函数的表达式的探究： ①将下表填写完整： m 0 1 2 3 P点坐标 _______ _______ ______ ②描出表格中的五个点，猜想这些点在哪个函数的图象上？求出这个图象对应的函数表达式，并加以验证； （2）若关于x的方程始终有解，则k的取值范围是_________； （3）已知点，点，连接，若二次函数图象与线段有一个公共点，求m的取值范围． 27. 【新知阅读】 定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”． 【新知理解】 （1）①若，，则____“准直角三角形”；（填“是”或“不是”） ②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为_________. 【新知运用】 （2）如图①，在中，，是的角平分线．求证：是“准直角三角形”； （3）如图②，在中，，，，点在边上，若是“准直角三角形”，求的长； 【新知拓展】 （4）如图③，在四边形中，，，，，且是“准直角三角形”，求的长，请直接写出答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南北盐中（盐初中、康居路）2022-2023学年度第一学期期末考试 初三年级数学试卷 （2023.02） （卷面总分：150分考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似图形的定义，即可求解． 【详解】解：A．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； B．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； C．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； D．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似形的定义，熟练掌握图形的形状相同，但大小不一定相同的两个图形是相似图形是解题的关键． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解. 【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故选：D． 3. 若，相似比为，已知的周长是3，则的周长是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形周长的比等于相似比求出两个三角形的周长比，最后根据题意计算即可． 【详解】解：∵，相似比为， ∴与的周长之比为， ∵的周长是3， ∴的周长是， 故选：B． 4. 小明根据演讲比赛中9位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.0 8.2 8.3 0.2 如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的定义解答即可． 【详解】解：七个分数，去掉一个最高分和一个最低分，对中位数没有影响． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了统计量的选择，掌握中位数的定义是解答本题的关键． 5. 如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠BOC＝64°，则∠BAC的度数为（ ） A. 64° B. 32° C. 26° D. 23° 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意直接利用圆周角定理即同弧（弦）或等弧（弦）所对的圆周角是圆心角的一半进行求解即可． 【详解】解：∵∠BAC＝∠BOC，∠BOC＝64°， ∴∠BAC＝32°， 故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是理解圆周角定理即同弧（弦）或等弧（弦）所对的圆周角是圆心角的一半． 6. 如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA、OB．若∠ABC=70°，则∠A等于（） A. 15° B. 20° C. 30° D. 70° 【答案】B 【解析】 【详解】∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC．∴∠OBC=90°． ∵∠ABC=70°，∴∠OBA=∠OBC﹣∠ABC=90°﹣70°=20°． ∵OA=OB，∴∠A=∠OBA=20°．故选B． 7. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】三角形三条中线的交点，叫做它的重心，据此解答即可． 【详解】根据题意可知，直线经过的边上的中点，直线经过的边上的中点，∴点是重心．故选A． 【点睛】本题考查三角形的重心的定义，解题的关键是熟记三角形的重心是三角形中线的交点． 8. 如图，在△ABC中，若EF∥BC，，EF＝4，则BC的长为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由EF∥BC得到△AEF∽△ABC，再由对应边成比例得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴，代入EF＝4， ∴BC＝EF＝×4＝10， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，属于基础题，计算过程中细心即可． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上） 9. 已知2a－3b＝0，b≠0，则a∶b＝______． 【答案】3∶2． 【解析】 【分析】由已知条件变形得到2a=3b，然后利用比例性质求解． 【详解】∵2a-3b=0， ∴2a=3b， ∴a∶b＝3:2． 故答案为3:2． 【点睛】本题考查了比例性质：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质． 10. 将抛物线向上平移2个单位所得抛物线表达式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键．根据二次函数图象的平移规律即可进行求解． 【详解】由题意得：抛物线向上平移2个单位所得抛物线表达式为 故答案为：． 11. 若圆锥的底面半径为3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积为__________cm2． 【答案】15π 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积计算公式计算即可． 【详解】解：底面半径为3cm，则底面周长=6πcm，侧面面积=×6π×5=15πcm2． 故答案为：15π． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算，解题的关键是掌握圆锥的侧面积公式． 12. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆内接正多边形来确定圆周率，南朝的祖冲之又进一步求得π的值在和之间，是第一个将圆周率的计算精确到小数点后7位的人，一个不知道π小数点后8位的人，能猜出小数点后第8位的数字的概率为 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了概率，近似数．解题的关键在于列举事件．由题意知四舍五入近似时可知第8位数字可能为到9，共10种情况，只有1种正确结果，进而可求概率． 【详解】解：∵π的值在和之间， ∴四舍五入近似时可知第8位数字可能为到9，共10种情况，只有1种正确结果， ∴能猜出小数点后第8位的数字的概率为， 故答案为：． 13. 科学家发现，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是，则蝴蝶身体的长度为__________.（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金比，根据黄金比列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，蝴蝶展开的双翅的长度是， ∴蝴蝶的身体长度为： 故答案为：． 14. 在阳光下，身高1.6米的小明在地面上的影长为0.4米，同一时刻旗杆的影长为3米，则旗杆的高度为_________米． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查平行投影，根据同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，进行求解即可． 【详解】解：设旗杆的高度为米，由题意，得：， 解得：； 故答案为：12． 15. 如图，正六边形边长为1，若连接对角线，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查正多边形及等腰三角形的性质，解三角形的计算，过点B作，垂足为G，然后利用多边形的性质得出，，再由等腰三角形的性质确定，，利用余弦求解即可． 【详解】解：过点B作，垂足为G， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 如图，线段，点为平面上一动点，且，将线段的中点绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最大值为 ______． 【答案】1## 【解析】 【分析】由，则点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接，取的中点，连接，过点作，且，连接，，通过性质证明，然后由勾股定理和即可求解． 【详解】解：∵， ∴点在以为直径的圆上运动， 如图，取的中点，连接， ∴， 取的中点，连接， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， 如图所示，过点作，且，连接，， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴线段的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，中位线性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 已知二次函数的图像经过点. （1）求的值； （2）点在该函数的图像上，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，求函数的值，熟练掌握二次函数的相关知识是解答本题的关键． （1）把点代入即可求出的值； （2）令，求出函数的值即为所求的值． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：二次函数解析式为， ∵点在这个图像上， ∴ 18. 如图，是的直径，是的弦，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，直角三角形两锐角互余等知识．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 由，可得，由是的直径，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，在中，D为AC边上一点，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据题意证明，结合即可证明； 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴ 20. 如图，在直角坐标系中，边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点），在给定的网格中，解答下列问题： （1）以A为位似中心，将△ABC按相似比2：1放大，得到△AB1C1，画出△AB1C1． （2）以C1为旋转中心，将△AB1C1顺时针旋转90°，得到△A1B2C1． ①画出△A1B2C1； ②求点A的运动路径长． 【答案】（1） △AB1C1即为所求． （2） ①△A1B2C1即为所求 ② 【解析】 【分析】（1）延长AC到C1，使得AC1=2AC，延长AB到B1，使得AB1=2AB，连接B1C1即可． （2）利用旋转变换的性质分别作出A，B1的对应点A1，B2即可．△AC1A1是等腰直角三角形，求出直角边，利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②AC1=， 点A的运动路径长＝． 【点睛】本题考查作图﹣位似变换，旋转变换，弧长等知识，解题的关键是掌握位似变换，旋转变换的性质，记住弧长公式． 21. 根据市教育局有关文件的要求，我校初一、初二年级学生从月日开始进行居家线上学习，为了了解居家学习的状况，学校随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行线上问卷调查．设计的问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正；答案选项为：A.很少；B.有时；C.常常；D.总是．将调查结果的数据进行了整理，绘制成如图两幅不完整的统计图． AI 请根据图中信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_________； （2）请你补全条形统计图； （3）若我校初一、初二年级共有名学生，请你估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生共有多少名？ 【答案】（1）， （2） 完整的条形统计图如下： （3）估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生共有名 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，用样本估计总体等知识点，学会从各种统计图中得到所需的信息并充分利用是解题的关键． （1）选择“有时”的有人，占调查人数的，据此可求出调查人数，进而求出值；选择“总是”的有人，除以调查人数，即可得出其占调查人数的百分比； （2）选择“常常”的人占调查人数的，用该比例乘以调查人数，即可求出“常常”对应的人数，据此即可补全条形统计图； （3）根据选择“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生人数所占的百分比，求出相应的人数即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，选择“有时”的有人，占调查人数的， 调查人数（人）， 选择“很少”的有人， ， 选择“总是”的有人， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意可知，选择“常常”的人占调查人数的， 又调查人数（人）， “常常”对应的人数（人）； 【小问3详解】 解：由题意可知，选择“常常”和“总是”的人数所占的百分比分别为和， 对应的人数（人）， 答：估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生共有名． 22. 为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，我市某社区开展了“文明新风进社区”系列志愿服务活动，参加活动的每位志愿者必须从.“垃圾分类入户宣传”、.“消防安全知识宣传”、.“走访慰问孤寡老人”三个活动主题中随机选取一个主题． （1）志愿者小李选取，“垃圾分类入户宣传”这个主题的概率是_______． （2）志愿者小张和小李从、、三个主题中分别随机选取一个主题，请用列表或画树状图的方法，求他们选取相同主题的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查用列表法或画树状图法求概率，用到的知识点：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）画树状图，共有种等可能的结果，小张和小李选择相同主题的结果有种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：志愿者小李选取，“垃圾分类入户宣传”这个主题的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如图： 共有种等可能结果，小张和小李选取相同主题的结果有种， 小张和小李选择相同主题的概率为． 23. 如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为． （1）求这个二次函数的表达式； （2）直接写出该二次函数的图象怎样经过上下平移恰好与x轴只有一个公共点； （3）当时，y的取值范围为______． 【答案】（1）或 （2）向上平移4个单位长度 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题， 待定系数法求二次函数解析式， 二次函数的平移，二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． 设二次函数的解析式为：，将点代入即可得出a的值． （2）根据二次函数的图像以及平移的性质求解即可． （3）根据二次函数的图像和性质可得出当时，y随x的增大而增大，分别求出当时y的值，当时，y的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为：， 将点代入， 得出：， 解得：， ∴或 【小问2详解】 当二次函数的图象与x轴只有一个公共点时，只需将抛物线向上平移4个单位即可． 【小问3详解】 根据函数图像可知：当时，y随x的增大而增大， ∴当时，， 当时，， ∴当时，． 24. 如图，在中，，平分，与交于点D，，垂足为D，与交于点E，经过B，D，E三点的与交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∴是直径，点O是的中点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵经过的外端点， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题为圆的综合题，考查了切线的判定、三角形的相似等知识，掌握切线的判定法，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）连接，根据垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）解根据平行线的性质得到，根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设的半径为r，则，， ∴， ∴， ∴的半径为． 25. 某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量W（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为y（元）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润为200元 【解析】 【分析】（1）根据数量乘以单位的利润，等于总利润，可得答案． （2）根据二次函数的性质解决问题即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，y有最大值200． 故当销售价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润为200元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，理解题意列出函数关系式是解题关键． 26. 已知点P是二次函数图象的顶点． （1）小明发现，对m取不同的值时，点P的位置也不同，但是这些点都在某一个函数的图象上，请协助小明完成对这个函数的表达式的探究： ①将下表填写完整： m 0 1 2 3 P点坐标 _______ _______ ______ ②描出表格中的五个点，猜想这些点在哪个函数的图象上？求出这个图象对应的函数表达式，并加以验证； （2）若关于x的方程始终有解，则k的取值范围是_________； （3）已知点，点，连接，若二次函数图象与线段有一个公共点，求m的取值范围． 【答案】（1）①，，；②见解析 （2） （3）或或或． 【解析】 【分析】（1）①先求出抛物线的顶点坐标为，再代入m的值求解即可； ②根据①所求描点，再根据顶点坐标即可得到顶点所在的函数解析式； （2）根据题意可得抛物线与直线一定有交点，则，再由，可得； （3）先求出顶点在直线时m的值，再分别求出抛物线经过点A和点B时m的值，结合函数图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； ②描点如下所示： 猜想这些点在抛物线的图象上， 验证：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点再抛物线的图象上； 【小问2详解】 解：∵关于x的方程始终有解， ∴抛物线与直线一定有交点， ∵，抛物线顶点坐标为， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵，点， ∴点A和点B都在直线上， 当抛物线的顶点恰好在直线上时，则，解得或， ∵， ∴此时点或都在线段上，符合题意； 当抛物线恰好经过时，则，解得； 当抛物线恰好经过时，则，解得； ∵抛物线的二次项系数为是个定值， ∴抛物线的形状一定， 由下图函数图象可知，当或时，都满足抛物线与线段只有一个交点； 综上所述，或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 27. 【新知阅读】 定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”． 【新知理解】 （1）①若，，则____“准直角三角形”；（填“是”或“不是”） ②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为_________. 【新知运用】 （2）如图①，在中，，是的角平分线．求证：是“准直角三角形”； （3）如图②，在中，，，，点在边上，若是“准直角三角形”，求的长； 【新知拓展】 （4）如图③，在四边形中，，，，，且是“准直角三角形”，求的长，请直接写出答案. 【答案】（1）①是，②或； （2）在中，，是的角平分线， ， ， 是“准直角三角形” （3）或； （4）或 【解析】 【分析】（1）①根据三角形内角和定理求解即可；②根据三角形内角和定理求解即可； （2）根据三角形角平分线的性质，得到，通过三角想外角性质和三角形和差关系即可求解； （3）根据题意可分为两种情况；当时，过点作于，结合勾股定理求解；当时，利用三角函数、结合相似三角形的判定和性质求解即可； （4）过点作于，，交的延长线于，设，根据和可得，证明，可得，进而分情况讨论求解；当时和时，分别求出的长即可； 【详解】解：（1）①若，， 则， 是“准直角三角形” ②已知是“准直角三角形”， 且， 若， 则 则； 若, ， 则 故的度数为或 （2）略 （3）当时，如图，过点作于， 在中，，，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 当时， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，或 （4）过点作于，，交的延长线于， 设， ，， ， ， ，， ， ， ， 当， ， ， 由（3）得：， 设，，则， ，则 则； 当时， ， ， ， ， ， 故的长为或 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理和三角形内角和定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $