精品解析：江苏省镇江市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

2023~2024学年度下学期高二期中试卷 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某医疗研究机构为了解打鼾与患心脏病的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算，则所得到的统计学结论是认为打鼾与患心脏病有关系的把握约为（ ） 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10828 A B. C. D. 2. 已知，的取值如下表所示，从散点图分析可知与线性相关，如果线性回归方程为，则实数的值为（ ） 2 3 4 5 6 6.5 10 115 18.5 A. 13 B. 13.5 C. 14 D. 14.5 3. 的展开式中含项的系数为（ ） A. 10 B. 40 C. 80 D. 120 4. 以下运算结果为的是（ ） A. 3封不同的信投入4个不同的邮筒的投法 B. 4个运动员争夺3个项目的冠军（每个项目只有一个冠军） C. 3块地种植4种不同的蔬菜（每块地只种一种蔬菜）的种法 D. 4个同学购买3种不同的书籍，每人购买1本的种数 5. 某单位计划安排“五一”假期间值班人员，若安排甲、乙、丙，丁四人值班5天，每天均有一人值班，每人至少值班一天，则不同值班的方法数为（ ） A 60 B. 180 C. 240 D. 300 6. 的个位数是（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 7. 某单位开展联欢活动，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、鼓励奖共五种奖项.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同.甲说：“我不是鼓励奖”；乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖项介于丁和戊之间”.根据以上信息，这5人的奖项的所有可能的种数是（ ） A. 15 B. 18 C. 22 D. 26 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知一组数据如下：2，3，4，4，4，5，5，6，6，7，则下列说法中正确的是（ ） A. 这组数据的极差为5 B. 这组数据的平均数为4.5 C. 这组数据的众数为4 D. 这组数据的第70百分位数是5 9. 已知，下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 定义“圆排列”：从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为.圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以.现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则（ ） A. 共有种排法 B. 若两名女生相邻，则有种排法 C. 若两名女生不相邻，共有种排法 D. 若男生甲位置固定，则有种排法 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 计算_______. 12. 某项比赛的主办方为提高观众参与积极性，分别邀请了10名观众做场内评委和10名观众做场外评委，比赛按10分制打分.某个选手的得分情况是：场内评委打出的均分为8分，场外每个评委打分和场内每个评委的打分正好满足.最终比赛得分为所有评委打分的均分，则此选手最终得分为_______. 13. 为研究方程正整数解的不同组数，我们可以用“挡板法”：取8个相同的小球排成一排，这8个小球间有7个“空挡”，在这7个“空挡”中选择2个“空挡”，在每个“空挡”插入1块挡板，2块挡板将这8个小球分成“三段”，每段小球的个数分别对应，，的一个正整数解，由此可以得出此方程正整数解的不同组数为．据此原理，则方程的正整数解的不同组数为 __（用数字作答）；该方程自然数解的不同组数为 __（用数字作答）． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 小吴同学计划利用“五一小长假”深度游玩镇江的五处名山：金山、焦山、北固山、茅山、宝华山，每天游玩一山，每山游玩一天． （1）若计划前两天其中一天游玩金山，另外一天游玩焦山，总共有多少种安排方案； （2）金山、焦山、北固山位于市区，茅山、宝华山位于句容，若考虑交通因素，计划市区的三山连续三天游玩，句容的两山连续两天游玩，共有多少种安排方案； （3）金山、焦山、宝华山均属于佛教名地，若计划第一天与最后一天均游览佛教名地，共有多少种安排方案． 15. 某电商为了解第一季度用户的网购次数，统计发现在第一季度内网购次数在间的有2千万用户，在这2千万户中随机抽取2000户统计分析他们的网购次数，将数据整理后，分为6组，画出频率分布直方图（如图所示），由于人员失误，导致第一组和第二组的数据丢失，只知道第二组频率是第一组的2倍. （1）试估计在抽取的2000户中第一季度网购次数不超过100次的户数； （2）估计这2千万户在第一季度的网购次数的平均数和中位数（结果精确到小数点后1位）； （3）该电商已经用分层抽样的方法在和这两组用户中共选择了9户.现从这9户中随机抽取6户，求在这抽取的6户中至多有2户来自这组的抽法数. 16. 已知展开式中，二项式系数最大的项为第6项，且展开式中第二项系数为20. （1）求实数的值； （2）求展开式中的常数项； （3）求展开式中系数最大的项. 17. 在人体生长发育过程中，人体的各部分与身高都有一定的比例关系，根据脚长推测身高具有重要的意义．为研究根据脚长推测身高的方法，某班级数学兴趣小组对本班50名同学进行了随机抽样调查，用简单随机抽样的办法抽取10名同学，测量每个人的脚长和身高，记录相关数据并进行统计分析，现将相关数据整理如下：（单位：厘米） 脚长 18.9 20.2 21.1 21.9 22.8 23.6 23.9 25.3 25.8 265 身高 159 161 163 165 167 172 173 177 179 184 （1）根据上表数据，请计算脚长与身高的相关系数，并说明线性相关性的强弱；（相关系数精确到小数点后2位） （2）根据此小组研究的数据，若某同学的脚印长，试推测该同学的身高．（计算过程中结果精确到小数点后1位） （注：当，则认为与的线性相关性较弱；当，则认为与的线性相关性很强）． 附：本题可能涉及到数据和公式：；；；； 回归方程：，其中，． 相关系数：． 18. （1）请在以下两个组合恒等式中选择一个证明（如果两个都选，则按第①个计分）； ①，②. （2）某同学在研究组合问题时解决了如下问题：从全班50名同学中选取8人组成班委团队，并选举1人担任班长，共有多少种不同的选举方法?一方面，可以首先从50名同学中选取8人组成班委团队，再从8人中选取1人做班长，则共有种选举方法；另一方面，也可以首先从50名同学中选取1人做班长，再在余下的49名同学中选取7人做其余的班委，则共有.所以：.据此请你提出一个较一般的结论，并证明你的结论； （3）化简：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年度下学期高二期中试卷 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某医疗研究机构为了解打鼾与患心脏病的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算，则所得到的统计学结论是认为打鼾与患心脏病有关系的把握约为（ ） 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的值与临界值比较即可得出结论． 【详解】因为， 所以有的把握认为打鼾与患心脏病有关系． 故选：B． 2. 已知，的取值如下表所示，从散点图分析可知与线性相关，如果线性回归方程为，则实数的值为（ ） 2 3 4 5 6 6.5 10 115 18.5 A. 13 B. 13.5 C. 14 D. 14.5 【答案】B 【解析】 【分析】利用线性回归方程一定过样本中心点，求解即可． 【详解】由题意可知，， 因为线性回归方程一定过样本中心点，， 所以， 所以， 解得． 故选：B． 3. 的展开式中含项的系数为（ ） A. 10 B. 40 C. 80 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】直接由二项式定理即可求解. 【详解】由二项式定理可知，的展开式中含项的系数为. 故选：C. 4. 以下运算结果为的是（ ） A. 3封不同的信投入4个不同的邮筒的投法 B. 4个运动员争夺3个项目的冠军（每个项目只有一个冠军） C. 3块地种植4种不同的蔬菜（每块地只种一种蔬菜）的种法 D. 4个同学购买3种不同的书籍，每人购买1本的种数 【答案】D 【解析】 【分析】由分步乘法运算逐一验证即可求解. 【详解】对于A，3封不同的信投入4个不同的邮筒的投法有种，故A错误； 对于B，4个运动员争夺3个项目的冠军（每个项目只有一个冠军），共有种可能，故B错误； 对于C，3块地种植4种不同的蔬菜的种法有种，故C错误； 对于D，4个同学购买3种不同的书籍，每人购买1本的种数有种，故D正确. 故选：D. 5. 某单位计划安排“五一”假期间值班人员，若安排甲、乙、丙，丁四人值班5天，每天均有一人值班，每人至少值班一天，则不同值班的方法数为（ ） A. 60 B. 180 C. 240 D. 300 【答案】C 【解析】 【分析】由不平均分组法或者直接由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】方法一（不平均分组）：由题意这五天中有一人值了两天班，即四人的值班天数为， 故所求为， 方法二：从五天中选两天分配给其中一人，再将剩下三人、三天进行全排列， 故所求为. 故选：C. 6. 的个位数是（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】由二项式定理即可求解. 【详解】因为， 而是10的倍数， 所以的个位数是. 故选：A. 7. 某单位开展联欢活动，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、鼓励奖共五种奖项.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同.甲说：“我不是鼓励奖”；乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖项介于丁和戊之间”.根据以上信息，这5人的奖项的所有可能的种数是（ ） A. 15 B. 18 C. 22 D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，按甲是否是特等奖分类，再结合丙的情况利用倍分法列式计算即得. 【详解】甲是特等奖，不考虑丙的位置有种；甲不是特等奖，不考虑丙的位置有种； 而丙在丁和戊之间占，所以5人的奖项的所有可能的种数是. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知一组数据如下：2，3，4，4，4，5，5，6，6，7，则下列说法中正确的是（ ） A. 这组数据的极差为5 B. 这组数据的平均数为4.5 C. 这组数据的众数为4 D. 这组数据的第70百分位数是5 【答案】AC 【解析】 【分析】由数据的数字特征逐一判断各个选项即可求解. 【详解】对于A，这组数据的极差为，故A正确； 对于B，这组数据的平均数为，故B错误； 对于C，这组数据中出现次数最多的数是4，所以这组数据的众数为4，故C正确； 对于D，因为，所以这组数据的第70百分位数是第7个数和第8个数的平均数：5.5，故D错误. 故选：AC. 9. 已知，下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合复合函数求导法则逐项计算即得. 【详解】对于A，取，得，A正确； 对于B，取，得，则，B错误； 对于C，对给定等式两边求导得， 取，得，C错误； 对于D，取，得，则， 于是，D正确. 故选：AD 10. 定义“圆排列”：从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为.圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以.现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则（ ） A. 共有种排法 B. 若两名女生相邻，则有种排法 C. 若两名女生不相邻，共有种排法 D. 若男生甲位置固定，则有种排法 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合圆排列的定义结合捆绑法，插空法及特殊值法分别判断各个选项即可. 【详解】对于A：现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，共有种排法，A选项正确； 对于B：若两名女生相邻，则有种排法，B选项正确； 对于C：若两名女生不相邻，共有种排法，C选项错误； 对于D：若男生甲位置固定，考虑以甲为基准的顺逆时针排列，则有种排法，D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 计算_______. 【答案】21 【解析】 【分析】利用排列数公式、组合数公式计算即得. 【详解】. 故答案为：21 12. 某项比赛的主办方为提高观众参与积极性，分别邀请了10名观众做场内评委和10名观众做场外评委，比赛按10分制打分.某个选手的得分情况是：场内评委打出的均分为8分，场外每个评委打分和场内每个评委的打分正好满足.最终比赛得分为所有评委打分的均分，则此选手最终得分为_______. 【答案】8.3 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平均数的性质列式计算即得. 【详解】依题意，，， 所以此选手最终得分为. 故答案：8.3 13. 为研究方程正整数解的不同组数，我们可以用“挡板法”：取8个相同的小球排成一排，这8个小球间有7个“空挡”，在这7个“空挡”中选择2个“空挡”，在每个“空挡”插入1块挡板，2块挡板将这8个小球分成“三段”，每段小球的个数分别对应，，的一个正整数解，由此可以得出此方程正整数解的不同组数为．据此原理，则方程的正整数解的不同组数为 __（用数字作答）；该方程自然数解的不同组数为 __（用数字作答）． 【答案】 ①. 84 ②. 286 【解析】 【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合相同元素分组问题隔板法求解． 【详解】由题意，则方程的正整数解的不同组数为， 若中没有，则有种， 若中有个为，则有种， 若中有个为，则有种， 若中有个为，则有种， 该方程自然数解的不同组数为． 故答案：84；286． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 小吴同学计划利用“五一小长假”深度游玩镇江的五处名山：金山、焦山、北固山、茅山、宝华山，每天游玩一山，每山游玩一天． （1）若计划前两天其中一天游玩金山，另外一天游玩焦山，总共有多少种安排方案； （2）金山、焦山、北固山位于市区，茅山、宝华山位于句容，若考虑交通因素，计划市区的三山连续三天游玩，句容的两山连续两天游玩，共有多少种安排方案； （3）金山、焦山、宝华山均属于佛教名地，若计划第一天与最后一天均游览佛教名地，共有多少种安排方案． 【答案】（1）种 （2）种 （3）种 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合排列问题及分步乘法计数原理求解； （2）根据题意，结合排列问题捆绑法求解； （3）根据题意，结合排列问题及分步乘法计数原理求解． 【小问1详解】 解：若计划前两天其中一天游玩金山，另外一天游玩焦山，总共有种安排方案. 【小问2详解】 解：金山、焦山、北固山位于市区，茅山、宝华山位于句容， 若考虑交通因素，计划市区的三山连续三天游玩，句容的两山连续两天游玩， 共有种安排方案 【小问3详解】 解：金山、焦山、宝华山均属于佛教名地，若计划第一天与最后一天均游览佛教名地， 共有种安排方案． 15. 某电商为了解第一季度用户的网购次数，统计发现在第一季度内网购次数在间的有2千万用户，在这2千万户中随机抽取2000户统计分析他们的网购次数，将数据整理后，分为6组，画出频率分布直方图（如图所示），由于人员失误，导致第一组和第二组的数据丢失，只知道第二组频率是第一组的2倍. （1）试估计在抽取的2000户中第一季度网购次数不超过100次的户数； （2）估计这2千万户在第一季度的网购次数的平均数和中位数（结果精确到小数点后1位）； （3）该电商已经用分层抽样的方法在和这两组用户中共选择了9户.现从这9户中随机抽取6户，求在这抽取的6户中至多有2户来自这组的抽法数. 【答案】（1）80； （2）平均数和中位数分别为121.8次和121.3次； （3）64. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1，求出，再求出指定范围的频数. （2）利用频率分布直方图估计平均数和中位数. （3）利用分层抽样求出第一、二组中抽取的户数，再利用组合计数问题列式计算即得. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得，解得， 由第二组频率是第一组的2倍，得，解得， 因此第一季度网购次数不超过100次的频率为，户数为. 【小问2详解】 由（1）知，从第一组到第六组的频率依次是， 样本平均数， 第一组到第三组的频率和为，第一组到第四组的频率和为， 因此样本数据的中位数，则，解得， 由此估计2千万户在第一季度的网购次数的平均数和中位数分别为121.8次和121.3次. 【小问3详解】 抽取的9户中，在的户数为，在的户数为6， 从9户中随机抽取6户，有种抽法，其中在的户数为3的抽法数为， 所以抽取的6户中至多有2户来自这组的抽法数为. 16. 已知展开式中，二项式系数最大的项为第6项，且展开式中第二项系数为20. （1）求实数的值； （2）求展开式中的常数项； （3）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1）2 （2）13440 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意依次列方程求得即可； （2）写出展开式通项，令，解得，回代即可； （3）利用不等式法求最大项即可. 【小问1详解】 因为二项式系数最大的项为第6项，所以，解得， 所以展开式为， 而展开式中第二项系数为20，从而，解得； 【小问2详解】 由（1）可知，展开式为， 令，解得，故所求为； 【小问3详解】 设展开式中系数最大的项为第项，则， 即，即， 解得，所以， 所以展开式中系数最大的项为，经检验符合题意. 17. 在人体生长发育过程中，人体的各部分与身高都有一定的比例关系，根据脚长推测身高具有重要的意义．为研究根据脚长推测身高的方法，某班级数学兴趣小组对本班50名同学进行了随机抽样调查，用简单随机抽样的办法抽取10名同学，测量每个人的脚长和身高，记录相关数据并进行统计分析，现将相关数据整理如下：（单位：厘米） 脚长 18.9 20.2 21.1 21.9 22.8 23.6 23.9 25.3 25.8 26.5 身高 159 161 163 165 167 172 173 177 179 184 （1）根据上表数据，请计算脚长与身高的相关系数，并说明线性相关性的强弱；（相关系数精确到小数点后2位） （2）根据此小组研究的数据，若某同学的脚印长，试推测该同学的身高．（计算过程中结果精确到小数点后1位） （注：当，则认为与的线性相关性较弱；当，则认为与的线性相关性很强）． 附：本题可能涉及到数据和公式：；；；； 回归方程：，其中，． 相关系数：． 【答案】（1），脚长与身高相关性很强 （2） 【解析】 【分析】（1）利用相关系数的定义即可判断； （2）先求出线性回归方程，再估计脚长时，该同学的身高． 【小问1详解】 由题意可得， 所以脚长与身高线性相关性很强； 【小问2详解】 ， ， ，所以， 线性回归方程为， 当时，， 所以当某同学的脚印长，该同学身高的估计值为． 18. （1）请在以下两个组合恒等式中选择一个证明（如果两个都选，则按第①个计分）； ①，②. （2）某同学在研究组合问题时解决了如下问题：从全班50名同学中选取8人组成班委团队，并选举1人担任班长，共有多少种不同的选举方法?一方面，可以首先从50名同学中选取8人组成班委团队，再从8人中选取1人做班长，则共有种选举方法；另一方面，也可以首先从50名同学中选取1人做班长，再在余下的49名同学中选取7人做其余的班委，则共有.所以：.据此请你提出一个较一般的结论，并证明你的结论； （3）化简：. 【答案】（1）证明见解析； （2），证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）①将和的计算公式分别列出来，通分即可； ②根据二项式定理即可得到； （2）令为，为，代入即可； （3）先根据变形，再根据（2）中得到的变形即可. 【详解】（1）①证明： ； ②证明： . （2）令为，为， 由，可得. 证明：. （3） 由（2）得，即， 原式 . 【点睛】方法点睛：排列组合数相关的化简计算，主要在于将其计算式写出来，然后通过分式的性质对其进行变形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$