精品解析：湖北省武汉市5G联合体2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

2023-2024学年度下学期武汉市重点中学联合体期中考试 高一数学试卷 考试时间：2024年4月28日 试卷满分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知角终边上点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 5. 若在三角形中，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 函数的解析式可以为 B. 函数的图像关于直线对称 C. 函数在上单调递减 D. 函数的图像关于点对称 7. 已知为棱长为正四面体各面所围成的区域内部（不在表面上）一动点，记到面，面，面，面的距离分别为，若，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，设且为单位向量，满足，，则下列结论正确的有（ ） A B. 在上的投影向量为 C. 向量与夹角正切值最大为 D. 若向量与垂直，则 11. 如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（ ） A. 最大值为1 B. 最大值为1 C. 最大值是2 D. 最大值是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为1公里，母线长为4公里，是母线一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路，则这段铁路的长度为__________公里. 13. 若，则__________. 14. 英国数学家泰勒发现了如下公式： ， ， 其中， （1）__________. （2）已知在中，，边，则面积的最大值为__________. （以上两空均用小数作答，且精确到0.001） 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 知复数，复数在复平面内对应的点为 （1）若复数是关于的方程的一个根，，求的值： （2）若复数满足，求复数的共轭复数. 16. 用斜二测画法画一个水平放置平面图形的直观图，如图所示.已知，且. （1）在平面直角坐标系中作出原平面图形并求面积； （2）将原平面图形绕旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积. 17. 已知向量，函数，函数图像相邻对称轴之间的距离为. （1）求的单调递减区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围. 18. 已知的内角的对边为，且. （1）求； （2）若的面积为； ①为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值. 19. 如图，设中角所对的边分别为为边上的中线， （1）求边的长度； （2）求面积； （3）设点分别为边上的动点（含端点），线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度下学期武汉市重点中学联合体期中考试 高一数学试卷 考试时间：2024年4月28日 试卷满分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于AB，举例判断，对于C，根据向量的运算性质分析判断，对于D，根据单位向量的定义判断. 【详解】对于A， 是两个单位向量，而，所以A错误， 对于B， 是两个单位向量，而， 对于C，因为是两个单位向量，所以，所以C正确， 对于D，因为是两个单位向量，所以，所以D错误. 故选：C 2. 复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将复数化为一般形式，利用复数的几何意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】复数， 由此复数在复平面内对应的点在第四象限，有，解得. 故选：A. 3. 已知，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将两边同时平方，再结合平面向量的数量积运算，即可求解 【详解】设与的夹角为，,， 由题意可知，， ， 则，即，故，结合,，解得． 故选：A． 4. 已知角终边上点坐标，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定角的终边所在的位置，再根据诱导公式及商数关系即可得解. 【详解】， 即的终边在第二象限， 又，且， 所以. 故选：D 5. 若在三角形中，，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由线性运算表示，，最后再表示. 【详解】因为，所以点是中点， ， 所以. 故选：B 6. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 函数的解析式可以为 B. 函数的图像关于直线对称 C. 函数在上单调递减 D. 函数的图像关于点对称 【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合最值求A，结合周期求出，由特殊点求，进而可求，然后结合正弦函数的对称性及单调性即可判断． 【详解】由题意得，，，所以，故， 因为，， 因为，所以，，A正确； 因为，此时取得最小值，B正确； 当时，，此时不单调，C错误； 因为，D正确． 故选：C． 7. 已知为棱长为的正四面体各面所围成的区域内部（不在表面上）一动点，记到面，面，面，面的距离分别为，若，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等体积法求出，又，得，然后借助于1的代换及基本不等式求最值． 【详解】正四面体的棱长为，底面等边三角形一边上的高为， 底面外接圆的半径为，则正四面体的高． 正四面体的体积， 则，得， 又，， 可得． 当且仅当取等号． 故选：C． 8. 在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求值域的问题. 【详解】， ， ∴，即，为锐角， ∴，又， 由正弦定理可得， 所以 ，其中，， 因为为锐角三角形， 所以，则， 即：， 所以，又， ∴，即， 故的周长的取值范围是. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用和差角公式及二倍角的余弦公式化简判断ACD；由诱导公式及特殊角的三角函数值判断B. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC 10. 在平面直角坐标系中，设且为单位向量，满足，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 在上的投影向量为 C. 向量与的夹角正切值最大为 D. 若向量与垂直，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A中，根据单位向量的定义判断即可；选项B中，根据投影向量的定义，判断即可；选项C中，根据题意，判断与夹角的取值范围，即可判断是否正确； 选项D中，设，，，根据题意得出，利用基本不等式求解即可. 详解】对于A，因为是单位向量，所以，选项A正确； 对于B，，且，所以，选项B正确； 对于C，因为， ， 设与的夹角为，则， 由,,，所以， 所以，没有最大值，即无最大值，选项C错误； 对于D，设，，，则，，则,， 又因为，,，由与垂直，则，即，所以,， 所以，当且仅当时取“”， 所以，选项D正确． 故选：ABD． 11. 如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（ ） A. 最大值1 B. 最大值为1 C. 最大值是2 D. 最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，由向量的坐标运算可得，且，,，再逐一分析各选项即可． 【详解】以中点为原点，建立平面直角坐标系， 则，，， 设，则，,， 所以，，， 由，得，且，,， 对于A，当时，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：ACD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为1公里，母线长为4公里，是母线一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路，则这段铁路的长度为__________公里. 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意，设该圆锥展开图的圆心角为，由圆锥的结构特征求出的值，作出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理计算可得答案． 【详解】根据题意，设该圆锥展开图的圆心角为， 该圆锥中，底面半径为1公里，母线长为4公里，则有，变形可得， 如图为该圆锥的展开图， 有，，则， 故， 即符合题意最短的铁路的长度为5． 故答案为：5． 13. 若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】令，结合诱导公式代入，利用三角公式变形计算即可. 【详解】令，则， 所以 . 故答案为：. 14. 英国数学家泰勒发现了如下公式： ， ， 其中， （1）__________. （2）已知在中，，边，则面积的最大值为__________. （以上两空均用小数作答，且精确到0.001） 【答案】 ①. 0.540 ②. 0.642 【解析】 【分析】利用泰勒公式，令可求出和；已知条件结合余弦定理和基本不等式，可知当时，面积的最大值为，代入数据计算即可. 【详解】泰勒公式，令可知：， 三角形中，由余弦定理得： （当且仅当时取等号）， 则（当且仅当时取等号），则， 即当时，面积的最大值为， 泰勒公式，令可知：， ，则面积的最大值为. 故答案为：0.540；0.642. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 知复数，复数在复平面内对应的点为 （1）若复数是关于的方程的一个根，，求的值： （2）若复数满足，求复数的共轭复数. 【答案】（1）20 （2） 【解析】 【分析】（1）将代入一元二次方程即可得到方程组，解出即可； （2）根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案. 【小问1详解】 由题意得， 因为复数是关于的方程的一个根， 所以， ， ， 解得，所以. 【小问2详解】 ， . 16. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示.已知，且. （1）在平面直角坐标系中作出原平面图形并求面积； （2）将原平面图形绕旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积. 【答案】（1）图形见解析，面积为18 （2）表面积为，体积为 【解析】 【分析】（1）把直观图还原出原平面图形，由此计算四边形的面积； （2）将原平面图形绕旋转一周，所得几何体是圆柱，挖去一个圆锥，由此求解即可． 【小问1详解】 如图所示：梯形为还原的平面图形， 作交于点， 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 将原平面图形绕旋转一周，所得几何体是一个以为底面半径的圆柱挖去一个以为底面半径的圆锥， 所以所形成的几何体的表面积为， ， 所形成的几何体的体积为. 17. 已知向量，函数，函数图像相邻对称轴之间的距离为. （1）求的单调递减区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合平面向量数量积的坐标运算法则和三角恒等变换知识化简可得，再由，求得的值后，根据正弦函数的单调性，得解； （2）由函数图象的伸缩平移法则可得，采用换元法，令，原问题转化为在，上只有一个解，作出的图象后，即可得解． 【小问1详解】 ， ， 因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以， 令，则， 所以的单调递减区间为 【小问2详解】 由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数， 再向左平移个单位得， 令，则，所以， 因为在上只有一个解， 由的图象可得，或， 所以的取值范围是 18. 已知的内角的对边为，且. （1）求； （2）若的面积为； ①为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由题意及正弦定理和余弦定理可得的值，进而可得角的正切值； （2）①由中线向量表示，两边平方，可得中线的最小值； ②由等面积法可得角平分线的表达式，再由基本不等式可得的最大值． 【小问1详解】 由正弦定理，得，即， 故，因为，所以， 所以，所以 【小问2详解】 ①由（1）知， 因为的面积为，所以，解得， 由于，所以 ， 当且仅当时，等号取得到，所以， 故的最小值为； ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 所以， 由于，所以， 由于， 又，所以 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故， 故的最大值为. 19. 如图，设中角所对的边分别为为边上的中线， （1）求边的长度； （2）求的面积； （3）设点分别为边上的动点（含端点），线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围. 【答案】（1）8 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，利用正弦定理和余弦定理，转化求解，即可求出的值． （2）设，利用中线的向量表示，计算以及，利用求出，再计算的面积． （3）设，，，其中，，,，根据，得出，由、、三点共线得，计算的取值范围即可． 【小问1详解】 由已知条件可知：， 在中，由正弦定理， 得， 在中，由余弦定理，得， ，又. 【小问2详解】 设为边上中线,， 则 ①， ， 或 由①，得， . 【小问3详解】 设， ， 根据三点共线，得， （，为） . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$