精品解析：福建省南平市浦城县2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

2023—2024学年第二学期期中考试 高二数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分 命题人：毛慧婷 审核人：陈福民 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 展开式中的第3项为（ ） A. B. C. 216 D. 3. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 4. 不等式的解集为（ ） A B. C D. 5. 某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频．一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取3个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（ ） A. 192种 B. 168种 C. 72种 D. 144种 6. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. 和 C. D. 和 7. 抛掷三枚质地均匀的硬币一次，在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，以下结论正确的（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数没有最大值 D. 若方程有两个解，则 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选锴的得0分． 9. 函数f(x)＝b（x-a）2（x-b）的图象可以是（ ） A. B. C. D. 10. 下列选项中关于以下4幅散点图的说法正确的有（ ） A. 图①中的和相关程度很强 B. 图②中的和成正相关关系 C. 图③中的和成负相关关系 D. 图④中的和成非线性相关关系 11. 在数字通信中，信号是由数字“”和“”组成的序列．现连续发射信号次，每次发射信号“”的概率均为．记发射信号“1”的次数为，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（ ） A. 当，时， B. 时，有 C. 当，时，当且仅当时概率最大 D. 时，随着的增大而增大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是______． 13. （，且）的展开式中的系数为______． 14. 近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线.他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单.某外卖小哥每天来往于10个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，…，10），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余9个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推.假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的9个外卖店取单，设事件{第次取单恰好是从1号店取单}，是事件发生的概率，显然，，则______，______（第二空精确到0.01）. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知幂函数（）定义域上不单调． （1）试问：函数是否具有奇偶性？请说明理由； （2）若，求实数的取值范围． 16. 某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了50名男生和50名女生，通过调查得到如下数据：50名女生中有10人课间经常进行体育活动，50名男生中有20人课间经常进行体育活动． （1）请补全列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联； 性别 体育活动 合计 课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 男 女 合计 （2）以样本的频率作为概率的值，在全校的男生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为，求的分布列、数学期望和方差． 附表： 0.1 005 0.01 0005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，其中． 17. 若正数满足． （1）当时，求的最小值； （2）当时，求的取值范围． 18. 设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示： 第天 1 4 9 16 25 36 49 高度 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现：与（天）之间近似满足关系式，其中为大于0的常数． （1）试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程； （2）在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的4个点，记这4个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望． 附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 19. 某人从地到地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有个路口，第二条路线上有个路口. （1）若，，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为；第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为，第二个路口遇到红灯的概率为，从“遇到红灯次数的期望”考虑，哪条路线更好？请说明理由. （2）已知；随机变量服从两点分布，且，.则，且.若第一条路线的第个路口遇到红灯的概率为，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年第二学期期中考试 高二数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分 命题人：毛慧婷 审核人：陈福民 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合A，根据集合B中元素的性质求出集合B. 【详解】，， , 故选：C 2. 展开式中的第3项为（ ） A. B. C. 216 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项展开式通项直接运算即可. 【详解】由题意可知：展开式中的第3项为. 故选：D. 3. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合正态分布的对称性分析求解. 【详解】因为，则，且， 又因为，所以. 故选：C. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合分式不等式的解法分析求解. 【详解】因，等价于，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：B. 5. 某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频．一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取3个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（ ） A. 192种 B. 168种 C. 72种 D. 144种 【答案】A 【解析】 【分析】相邻问题用“捆绑法”，结合排列组合的知识求解即可. 【详解】根据题意，分两步进行分析： 第一步，先从4个视频中选3个，有种方法；2篇文章全选，有种方法； 第二步，2篇文章要相邻，则可以先“捆绑”看成一个元素，内部排列，有种方法； 第三步，将“捆绑”元素与3个视频进行全排列，有种方法. 故满足题意的学法有种. 故选：A. 6. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. 和 C. D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】作出的图象，结合图象可得单调区间. 【详解】因为， 作出的图象，如图所示， 由图象可知：函数的单调递增区间是和. 故选：D. 7. 抛掷三枚质地均匀的硬币一次，在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知，抛掷三枚硬币，则基本事件共有8个，其中有一枚正面朝上的基本事件有7个，分别求出“有一枚正面朝上”和“三枚都正面朝上”的概率，最后根据条件概率的计算公式，即可求出结果. 【详解】解：根据题意，可知抛掷三枚硬币，则基本事件共有8个， 其中有一枚正面朝上的基本事件有7个， 记事件为“有一枚正面朝上”，则， 记事件为“另外两枚也正面朝上”， 则为“三枚都正面朝上”，故， 故. 即在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是. 故选：C. 【点睛】本题考查条件概率的计算公式的应用，考查分析和计算能力． 8. 已知函数，，以下结论正确的（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数没有最大值 D. 若方程有两个解，则 【答案】B 【解析】 【分析】(1)根据是否为偶函数判断;(2)根据是否为奇函数判断;(3)利用分式函数讨论值域即可;(4)将转化为一元二次方程利用判别式与根个数的关系确定的取值范围. 【详解】因为不是偶函数， 所以的图象不关于直线对称，故A错误; 因为 是奇函数，即函数关于原点对称， 则原函数关于点中心对称，故B正确; 当时，， 当时， 因为，所以， 所以， 所以函数有最大值为4,故C错误； 因为, 所以由可得, 即, 若则方程有唯一解为，不满足题意， 若要使方程有两个解，则， 解得且故D错误. 故选:B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选锴的得0分． 9. 函数f(x)＝b（x-a）2（x-b）的图象可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】首先根据解析式确定零点类型，再结合图象，判断选项. 【详解】由函数解析式可知，是不变号零点，是变号零点， A.由图可知，变号零点是0，则，则，不成立，故A错误； B.由图可知，变号零点小于0，不变号零点为0，则，此时，当，，当，，当时，，满足图象，故B正确； C.由图可知，，，当时，，当时，，当时，，满足图象，故C正确； D.由图可知，，，当时，，与图象不符，所以D错误. 故选：BC 10. 下列选项中关于以下4幅散点图的说法正确的有（ ） A. 图①中的和相关程度很强 B. 图②中的和成正相关关系 C. 图③中的和成负相关关系 D. 图④中的和成非线性相关关系 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据散点图的分布逐个分析判断即可 【详解】对于图①中的散点杂乱，无规律，所以和相关程度极弱，所以A错误， 对于图②中，散点分布在某条直线的附近，且呈上升趋势，所以和成正相关关系，所以正确， 对于图③中，散点分布在某条直线的附近，且呈下降趋势，所以和成负相关关系，所以正确， 对于图④中，散点分布在某条曲线附近，所以和成非线性相关关系，所以正确， 故选：BCD 11. 在数字通信中，信号是由数字“”和“”组成的序列．现连续发射信号次，每次发射信号“”的概率均为．记发射信号“1”的次数为，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（ ） A. 当，时， B. 时，有 C. 当，时，当且仅当时概率最大 D. 时，随着的增大而增大 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意知发射信号“”的次数为和概率符合二项分布，然后对各项分别求解即可判断. 【详解】由题意得发射信号“”的次数为和概率符合二项分布， 对于A：当，可取， 所以， 取，此时，故A项错误； 对于B：当时，即每次发射信号“”和发射信号“”的概率相等，所以为奇数的概率和为偶数的概率相等，即，故B正确； 对于C：当，，此时，， 当取得概率最大时，即，即，解得，故C项正确； 对于D：由题知当，发射信号“”的次数为和概率符合二项分布， 由二项式的均值公式，当概率一定时，越大则的值越大，所以能够出现奇数的概率也增大，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求解不等式，再根据题意列出不等式求解即可. 【详解】的解集为或， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以. 故答案为：. 13. （，且）的展开式中的系数为______． 【答案】220 【解析】 【分析】根据二项展开式的公式可知其系数为，结合组合数性质计算即可. 【详解】根据二项展开式知：的展开式中的系数为 故的系数是， 又因为， 所以 ， 故答案为：220. 14. 近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线.他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单.某外卖小哥每天来往于10个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，…，10），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余9个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推.假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的9个外卖店取单，设事件{第次取单恰好是从1号店取单}，是事件发生的概率，显然，，则______，______（第二空精确到0.01）. 【答案】 ①. ②. 0.10 【解析】 【分析】由可求出，可得，依次推导即可求出. 【详解】， 因为 ， 所以， 以此类推，可得 …… . 故答案为：；0.10. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知幂函数（）在定义域上不单调． （1）试问：函数是否具有奇偶性？请说明理由； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）奇函数，理由见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性排除增根，结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性； （2）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解. 【小问1详解】 因为为幂函数，则，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 综上所述：，. 函数为奇函数，理由如下： 因为的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数. 【小问2详解】 由及为奇函数， 可得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或，解得或， 所以实数的取值范围. 16. 某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了50名男生和50名女生，通过调查得到如下数据：50名女生中有10人课间经常进行体育活动，50名男生中有20人课间经常进行体育活动． （1）请补全列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联； 性别 体育活动 合计 课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 男 女 合计 （2）以样本的频率作为概率的值，在全校的男生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为，求的分布列、数学期望和方差． 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10828 附：，其中． 【答案】（1）可以认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联 （2）分布列见详解，， 【解析】 【分析】（1）计算卡方，根据独立性检验方法求解即可； （2）根据二项分布的分布列与数学期望和方差公式求解即可 小问1详解】 依题意，列出列联表如下： 课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 合计 男 30 20 50 女 40 10 50 合计 70 30 100 零假设为：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关， 因为， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于. 【小问2详解】 由题意得，经常进行体育活动者的频率为， 所以在本校中随机抽取1人为经常进行体育活动者的概率为， 由题意得，则， 可得， ， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望为， 的方差为. 17. 若正数满足． （1）当时，求的最小值； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1）25 （2） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式“1”的巧用求解最值即可； （2）根据等式，结合基本不等式即可得，解不等式即可得的取值范围． 【小问1详解】 当时，有， 即 所以 当且仅当，即时取等号． 则的最小值为； 【小问2详解】 当时，有，则 因为 所以， 即，解得或（舍） 当时，即时，等号成立 所以． 18. 设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示： 第天 1 4 9 16 25 36 49 高度 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现：与（天）之间近似满足关系式，其中为大于0的常数． （1）试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程； （2）在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的4个点，记这4个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望． 附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】（1） （2）分布列见详解； 【解析】 【分析】（1）令，则，变为线型回归问题，先根据已知数据得到的对应数据表，计算样本中心，然后利用最小二乘估计公式依次计算b和a的估计值，求得关于的线性回归方程，进而得到y关于x的回归方程； （2）利用超几何分布概率公式计算，求得随机变量的分布列，并根据分布列，利用数学期望计算求得期望值． 【小问1详解】 令，则，根据已知数据表得到如下表： x y 则，， 可得， ， 通过上表计算可得：， 因为回归直线过点，则， 所以y关于的回归方程. 【小问2详解】 由题意可知：7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天， 从散点图中任取4个点，即从这7天中任取4天， 所以这4个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为1，2，3，4，则有： ；； ；； 所以随机变量的分布列为： 1 2 3 4 随机变量的期望值. 19. 某人从地到地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有个路口，第二条路线上有个路口. （1）若，，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为；第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为，第二个路口遇到红灯的概率为，从“遇到红灯次数的期望”考虑，哪条路线更好？请说明理由. （2）已知；随机变量服从两点分布，且，.则，且.若第一条路线的第个路口遇到红灯的概率为，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差. 【答案】（1）应选择第一条路线，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，，分别求出相应的概率然后，结合期望公式即可比较，得出结论. （2）结合所给的均值方差性质，以及等比数列前项和公式即可求解. 【小问1详解】 应选择第一条路线， 理由如下：设走第一、第二条路线遇到的红灯次数分别为随机变量、， 则，， ，，， 所以； 又，，， 所以； 因为，所以应选择第一条路线. 【小问2详解】 设选择第一条路线时遇到的红灯次数为， 所以；， 设随机变量，取值为，其概率分别为，且， 所以 ， 又因为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$