2023年贵州省六盘水市六枝特区中考数学一模试卷

2023年贵州省六盘水市六枝特区中考数学一模试卷 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分。 1．（3分）下列各数是负数的是（　　） A．0 B． C．﹣（﹣5） D． 2．（3分）如图是某几何体的俯视图和左视图，这个几何体是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥﹣3 B．x≥3 C．x≤﹣3 D．x＞﹣3 4．（3分）在一个不透明的盒子中，装有质地、大小完全相同的白色乒乓球2个，黄色乒乓球3个．随机摸出1个球，摸到黄色乒乓球的概率是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）计算的结果为（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 6．（3分）在课外活动中，有10名同学进行了投篮比赛，限每人投10次，投中次数与人数如表，则这10人投中次数的平均数和中位数分别是（　　） 投中次数 6 7 8 9 10 人数 3 3 2 1 1 A．5.7，7 B．6.4，7.5 C．7.4，7 D．7.4，7.5 7．（3分）如图，反比例函数y＝的图象与直线y＝mx相交于A，B两点，点B的坐标为（﹣2，﹣3），则点A的坐标为（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3） 8．（3分）一元二次方程x2﹣（a﹣2）x+a﹣1＝0（a为实数）的实数根的情况是（　　） A．有两个不同实数根 B．有两个相同实数根 C．没有实数根 D．不能确定 9．（3分）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC，连接AB、OC交于点D．若AB＝4cm，四边形OACB的面积为16cm2．点E为CB的中点，连接DE，则线段DE的长为（　　） A． B． C．8 D． 10．（3分）晚饭后彤彤和妈妈散步到小区旁边的公园，在公园中央的休息区聊了会天，然后一起跑步回家，下面能反映彤彤和妈妈离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 11．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠BAD的平分线交CD于点E，∠ABC的平分线交CD于F，且BF＝4，则线段AE的长为（　　） A．8 B．9 C．2 D．4 12．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+2交y轴于点A，交x轴正半轴于点C，顶点为B．有下面结论： ①一元二次方程﹣x2+2x+2﹣3＝0有两个相等的实数根； ②若点M（﹣2，y1），N（1，y2），P（2，y3）均在该抛物线上，则y1＜y3＜y2； ③将该抛物线先向左平移1个单位长度，再沿x轴翻折，得到的新抛物线表达式是y＝x2﹣3； ④在y轴上找一点D，使△ABD的面积为1，则点D的坐标为（0，4）． 以上四个结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：每小题4分，共16分。 13．（4分）二次函数y＝x2﹣4x﹣6的图象的对称轴为直线　 　． 14．（4分）如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＜kx+4的解集是 　 　． 15．（4分）如图，等边△ABC边长为4，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，分别以D、E、F为圆心，DE长为半径画弧，围成一个曲边三角形，则曲边三角形的周长为 　 　． 16．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积的最大值为 　 　． 三、解答题：本大题9小题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）（1）请从下面三个不等式中选择你喜欢的两个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解． ①2x+1≥3； ②2（2﹣x）＞0； ③； （2）解方程组：． 18．（10分）为了解学生的每周自主复习情况，某校从八、九年级学生中各随机抽取了20名学生进行一周自习时长情况的调查，并对调查结果进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息（时长为整数）． A．八年级20名学生的一周自主学习时长（单位：h）条形统计图统计如图1： B．九年级20名学生的一周阅读时长折线统计图如图2： C．八、九年级抽取学生的一周阅读时长的统计量如下表所示： 统计量/年级 平均数 众数 中位数 八年级 3.9 a 3.5 九年级 3.65 3 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的a＝　 　，b＝　 　． （2）请判断该校八、九年级中哪个年级学生的一周自主复习情况较好，并说明理由． （3）若该校八年级有600名学生，九年级有800名学生，请估计该校八年级和九年级学生一周自主复习时长在5h及以上的总人数． 19．（10分）某体育用品商店计划购进一些篮球和排球．已知1个篮球和2个排球的进价的和为280元，2个篮球和1个排球的进价的和为320元． （1）求每个篮球和每个排球的进价各是多少元； （2）若该体育用品商店计划购进篮球和排球共40个，且购进的总费用不超过3600元，则该体育用品商店最多可以购进篮球多少个？ 20．（10分）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF、AC． （1）求证：△ABE≌△FCE； （2）若AD＝AF，AB＝3，BC＝5，求四边形ABFC的面积． 21．（10分）校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝12米，AE＝24米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：，≈1.73，sin53°≈， （1）求点B距水平地面AE的高度； （2）求广告牌CD的高度． 22．（10分）已知直线l：y＝﹣x+5与双曲线y＝的图象交于A，B两点，且AB＝3． （1）求双曲线的解析式； （2）将直线l平移得y＝﹣x+b，当平移后的直线与双曲线没有公共点时，直接写出b的取值范围． （3）直线x＝t（t＞0）交双曲线于M，交线段AB于N，求△OMN面积的最大值． 23．（12分）如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A，且∠CAD＝∠ABD． （1）求证：AE＝AF； （2）若AB＝4，BF＝5，求cos∠BAC的值． 24．（12分）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为12m，宽为4m，按照如图所示建立平面直角坐标系，抛物线可以表示为y＝﹣+c． （1）求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶E到地面BC的距离； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后，高6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？ （3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 25．（12分）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图①，在等边三角形ABC中，P是边BC上任意一点（不与点B，C重合），连接AP，以AP为边作等边三角形APQ，连接CQ，求证：BP＝CQ； （2）变式探究：如图②，在等腰三角形ABC中，BA＝BC，P是边BC上任意一点（不与点B，C重合），以AP为腰作等腰三角形APQ，使PA＝PQ，∠APQ＝∠ABC，连接CQ．判断∠ABC和∠ACQ之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，在正方形ADBC中，P是边BC上一点（不与点B，C重合），以AP为边作正方形APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为6，，求正方形ADBC的边长． 2023年贵州省六盘水市六枝特区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分。 1．（3分）下列各数是负数的是（　　） A．0 B． C．﹣（﹣5） D． 【分析】先化简各式，然后再进行判断即可． 【解答】解：A．0既不是正数也不是负数，故A不符合题意； B．＞0，故B不符合题意； C．﹣（﹣5）＝5＞0，故C不符合题意； D．﹣＜0，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了负数的定义．解题的关键是掌握负数的定义，要注意0既不是正数，也不是负数． 2．（3分）如图是某几何体的俯视图和左视图，这个几何体是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据几何体的左视图、俯视图分别是三角形、圆，符合这个条件的几何体应该是圆锥． 【解答】解：∵左视图都是三角形， ∴此几何体为锥体， ∵俯视图是一个圆， ∴此几何体为圆锥， 故选：A． 【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认识． 3．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥﹣3 B．x≥3 C．x≤﹣3 D．x＞﹣3 【分析】根据二次根式的概念，形如（a≥0）的式子叫做二次根式，进而得出答案． 【解答】解：若二次根式在实数范围内有意义， 则x+3≥0， 解得：x≥﹣3． 故选：A． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键． 4．（3分）在一个不透明的盒子中，装有质地、大小完全相同的白色乒乓球2个，黄色乒乓球3个．随机摸出1个球，摸到黄色乒乓球的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】随机摸出一个球共有5种等可能结果，其中摸到黄色乒乓球的有3种，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：随机摸出一个球共有5种等可能结果，其中摸到黄色乒乓球的有3种， ∴随机摸出一个球，摸到黄色乒乓球的概率为． 故选：B． 【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 5．（3分）计算的结果为（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 【分析】直接利用分式的加减运算法则化简得出答案． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝1． 故选：A． 【点评】此题主要考查了分式的加减，正确化简分式是解题关键． 6．（3分）在课外活动中，有10名同学进行了投篮比赛，限每人投10次，投中次数与人数如表，则这10人投中次数的平均数和中位数分别是（　　） 投中次数 6 7 8 9 10 人数 3 3 2 1 1 A．5.7，7 B．6.4，7.5 C．7.4，7 D．7.4，7.5 【分析】直接根据加权平均数和中位数的定义求解即可得． 【解答】解：这10人投中次数的平均数为＝7.4， 中位数为＝7， 故选：C． 【点评】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数和加权平均数的定义． 7．（3分）如图，反比例函数y＝的图象与直线y＝mx相交于A，B两点，点B的坐标为（﹣2，﹣3），则点A的坐标为（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3） 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线y＝mx的两个交点一定关于原点对称． 【解答】解：∵点A（﹣2，﹣3）与B关于原点对称， ∴B点的坐标为（2，3）． 故选：B． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，熟练掌握反比例函数图象的中心对称性是解题的关键． 8．（3分）一元二次方程x2﹣（a﹣2）x+a﹣1＝0（a为实数）的实数根的情况是（　　） A．有两个不同实数根 B．有两个相同实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【分析】先计算出Δ＝[﹣（a﹣2）]2﹣4×1×（a﹣1）的值，判断出Δ的符号，进而可得出结论． 【解答】解：∵Δ＝[﹣（a﹣2）]2﹣4×1×（a﹣1）＝a2﹣8a+8＝（a﹣4）2﹣8， ∴方程根的情况不能确定． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac，正确记忆当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根是解题关键． 9．（3分）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC，连接AB、OC交于点D．若AB＝4cm，四边形OACB的面积为16cm2．点E为CB的中点，连接DE，则线段DE的长为（　　） A． B． C．8 D． 【分析】利用基本作图得到OA＝OB＝CA＝CB，则可判断四边形OACB为菱形，根据菱形的性质得到AB⊥OC，AD＝BD＝2cm，OD＝CD，再根据菱形的面积公式可计算出OC＝8cm，则OD＝4cm，接着利用勾股定理计算出OB，然后根据三角形中位线定理得到DE的长． 【解答】解：由作法得OA＝OB＝CA＝CB， ∴四边形OACB为菱形， ∴AB⊥OC，AD＝BD＝2cm，OD＝CD， ∵四边形OACB的面积为16cm2， ∴AB•OC＝16， ∴OC＝＝8（cm）， ∴OD＝4cm， 在Rt△OBD中，OB＝＝＝2（cm）， ∵点E为CB的中点，D点为OC的中点， ∴DE为△OBC的中位线， ∴DE＝OB＝（cm）． 故选：B． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了菱形的判定与性质． 10．（3分）晚饭后彤彤和妈妈散步到小区旁边的公园，在公园中央的休息区聊了会天，然后一起跑步回家，下面能反映彤彤和妈妈离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据在每段中，离家的距离随时间的变化情况即可进行判断． 【解答】解：图象应分三个阶段，第一阶段：散步到离家较远的公园，在这个阶段，离家的距离随时间的增大而增大； 第二阶段：在公园中央的休息区聊了会天，这一阶段离家的距离不随时间的变化而改变．故D错误； 第三阶段：跑步回家，这一阶段，离家的距离随时间的增大而减小，故A错误，并且这段的速度大于第一阶段的速度，则B错误． 故选：C． 【点评】本题考查了函数的图象，解题的关键是理解路程y的含义，理解直线的倾斜程度与速度的关系，属于中考常考题型． 11．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠BAD的平分线交CD于点E，∠ABC的平分线交CD于F，且BF＝4，则线段AE的长为（　　） A．8 B．9 C．2 D．4 【分析】过点C作CH∥AE，交BF于N，可证四边形AECH是平行四边形，可得AE＝CH，AH＝EC＝3，由等腰三角形的性质可得CN＝HN＝CH，BN＝FN＝BF＝2，由勾股定理可求解． 【解答】解：如图，过点C作CH∥AE，交BF于N， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， 又∵AD∥CB， ∴∠EAB＝∠DEA， ∴∠DAE＝∠AED， 则AD＝DE＝5， 同理可得FC＝BC＝5， ∴EC＝3， ∵AE∥CH，CD∥AB， ∴四边形AECH是平行四边形， ∴AE＝CH，AH＝EC＝3， ∴BH＝BC＝5， ∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC＝180°， ∴∠EAB+∠ABF＝90°， ∴AE⊥BF， ∵AE∥CH， ∴BF⊥HC， 又∵BC＝BH，BC＝CF， ∴CN＝HN＝CH，BN＝FN＝BF＝2， ∴CN＝＝＝， ∴CH＝2CN＝2＝AE， 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键． 12．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+2交y轴于点A，交x轴正半轴于点C，顶点为B．有下面结论： ①一元二次方程﹣x2+2x+2﹣3＝0有两个相等的实数根； ②若点M（﹣2，y1），N（1，y2），P（2，y3）均在该抛物线上，则y1＜y3＜y2； ③将该抛物线先向左平移1个单位长度，再沿x轴翻折，得到的新抛物线表达式是y＝x2﹣3； ④在y轴上找一点D，使△ABD的面积为1，则点D的坐标为（0，4）． 以上四个结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】①解出方程解即可进行判断； ②利用图象开口向下，点离对称轴越近，y值越大即可进行判断； ③先写出平移之后的解析式，根据x轴翻折，即为关于x轴对称，即可写出翻折之后的解析式； ④设出点D的坐标，即可表示出AD＝|m﹣2|，然后利用△ABD的面积为1，即可求出m的值，即可进行判断． 【解答】解：①方程整理得：x2﹣2x+1＝0，解得：x1＝x2＝1， ∴一元二次方程﹣x2+2x+2﹣3＝0有两个相等的实数根，故①正确； ②由图可得，对称轴x＝1， 则1﹣（﹣2）＝3，1﹣1＝0，2﹣1＝1， ∵图象开口向下，且3＞1＞0， ∴y1＜y3＜y2，故②正确； ③由题意可得，y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3， 则平移后的解析式为：y＝﹣x2+3， ∵平移后的图象再沿x轴翻折， ∴翻折之后的解析式为：y＝x2﹣3，故③正确； ④∵y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3， ∴点B的坐标为（1，3）， 当x＝0时，y＝2， ∴点A坐标为（0，2）， 设点D的坐标为（0，m），则AD＝|m﹣2|， ∵△ABD的面积为1， AD•xB＝1，即|m﹣2|＝2， 解得：m＝0或4， ∴D（0，4）或（0，0），故④错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数的图象以及基本性质，解题关键：理解并掌握二次函数的基本性质． 二、填空题：每小题4分，共16分。 13．（4分）二次函数y＝x2﹣4x﹣6的图象的对称轴为直线　x＝2　． 【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣10， ∴该函数的对称轴是直线x＝2， 故答案为：x＝2． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 14．（4分）如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＜kx+4的解集是 　x＜1　． 【分析】根据一次函数图象即可确定不等式的解集． 【解答】解：∵一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3）， 根据图象可知，不等式x+b＜kx+4的解集是x＜1， 故答案为：x＜1． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数图象是解题的关键． 15．（4分）如图，等边△ABC边长为4，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，分别以D、E、F为圆心，DE长为半径画弧，围成一个曲边三角形，则曲边三角形的周长为 　2π　． 【分析】连接DF，DE，EF，根据三角形的中位线求出DE＝EF＝DF＝2，得出△DEF是等边三角形，求出∠EDF＝DFE＝∠DEF＝60°，根据弧长公式求出每段弧的长度即可． 【解答】解：连接DF，DE，EF， ∵△ABC是等边三角形，三角形的边长为4， ∴AB＝AC＝BC＝4， ∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点， ∴DF＝BC＝2，DE＝AC＝2，EF＝AB＝2， ∴DF＝DE＝EF， ∴△DEF是等边三角形， ∴∠EDF＝DFE＝∠DEF＝60°， ∴的长度＝的长度＝的长度＝＝， ∴曲边三角形的周长为++＝2π， 故答案为：2π． 【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，弧长公式和三角形的中位线等知识点，能求出△DEF是等边三角形是解此题的关键． 16．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积的最大值为 　16　． 【分析】作PM⊥AD于M，根据正方形的性质易得PM＝DM，设PM＝DM＝x，则AM＝8﹣x，根据等腰三角形的性质即可得出AF＝2（8﹣x），由三角形面积公式得出S△APF＝×2×（8﹣x）•x＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，根据二次函数的性质即可求得结果． 【解答】提示，如图，过点P作PM⊥AD于点M． ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠ADB＝45°， ∴△PDM是等腰直角三角形， ∴PM＝DM． 设PM＝DM＝x，则AM＝8﹣x． ∵AP＝PF， ∴AM＝FM＝8﹣x， ∴AF＝2（8﹣x）． ∵S△APF＝AF•PM， ∴S△APF＝×2×（8﹣x）•x＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16， ∴当x＝4时，S△APF有最大值，且最大值为16． 故答案为：16． 【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 三、解答题：本大题9小题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）（1）请从下面三个不等式中选择你喜欢的两个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解． ①2x+1≥3； ②2（2﹣x）＞0； ③； （2）解方程组：． 【分析】（1）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答； （2）利用加减消元法进行计算是解题的关键． 【解答】解：（1）若选择①和②， ， 解不等式①得：x≥1， 解不等式②得：x＜2， ∴原不等式组的解集为：1≤x＜2； 若选择①和③， ， 解不等式①得：x≥1， 解不等式②得：x≤﹣1.5， ∴原不等式组无解； 若选择②和③， ， 解不等式①得：x＜2， 解不等式②得：x≤﹣1.5， ∴原不等式组的解集为：x≤﹣1.5； （2）， ②×2得：2x+2y＝10③， ①+②得：5x＝16， 解得：x＝3.2， 把x＝3.2代入②得：3.2+y＝5， 解得：y＝1.8， ∴原方程组的解为：． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 18．（10分）为了解学生的每周自主复习情况，某校从八、九年级学生中各随机抽取了20名学生进行一周自习时长情况的调查，并对调查结果进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息（时长为整数）． A．八年级20名学生的一周自主学习时长（单位：h）条形统计图统计如图1： B．九年级20名学生的一周阅读时长折线统计图如图2： C．八、九年级抽取学生的一周阅读时长的统计量如下表所示： 统计量/年级 平均数 众数 中位数 八年级 3.9 a 3.5 九年级 3.65 3 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的a＝　3　，b＝　3.5　． （2）请判断该校八、九年级中哪个年级学生的一周自主复习情况较好，并说明理由． （3）若该校八年级有600名学生，九年级有800名学生，请估计该校八年级和九年级学生一周自主复习时长在5h及以上的总人数． 【分析】（1）根据众数和中位数的概念求解可得； （2）在众数和中位数相等的前提下，可从平均数比较得出答案； （3）用总人数乘以样本中八、九年级学生一周自主复习时长在5h及以上的学生人数所占比例即可得． 【解答】解：（1）八年级学生一周阅读时长出现次数最多的是3小时，共出现7次，因此众数是3小时，即a＝3， 将九年级20名学生的一周阅读时长从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝3.5，因此中位数是3.5，即b＝3.5， 故答案为：3，3.5； （2）八年级的自主复习情况更好，理由如下： 八年级学生一周自主学习时长平均数3.9＞九年级学生一周自主复习时长平均数3.65； （3）八年级学生一周自主复习时长在5h以上的学生人数为：600×＝240（人）， 九年级学生一周自主复习时长在5h及以上的学生人数为：800×＝240（人）， 240+240＝480（人）， 答：复习时长在5h及以上的总人数大约有480人． 【点评】本题考查条形统计图、中位数、众数、平均数，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的关键． 19．（10分）某体育用品商店计划购进一些篮球和排球．已知1个篮球和2个排球的进价的和为280元，2个篮球和1个排球的进价的和为320元． （1）求每个篮球和每个排球的进价各是多少元； （2）若该体育用品商店计划购进篮球和排球共40个，且购进的总费用不超过3600元，则该体育用品商店最多可以购进篮球多少个？ 【分析】（1）设每个篮球的进价是x元，每个排球的进价是y元，根据“1个篮球和2个排球的进价的和为280元，2个篮球和1个排球的进价的和为320元”得到方程组，解方程组即可解得结果； （2）设该体育用品商店可以购进篮球a个，则购进排球（40﹣a）个，根据题意得不等式组即可得到结果． 【解答】解：（1）设每个篮球的进价是x元，每个排球的进价是y元， 依题意有：， 解得． 故每个篮球的进价是120元，每个排球的进价是80元； （2）设该体育用品商店可以购进篮球a个，则购进排球（40﹣a）个， 根据题意得：120a+80（40﹣a）≤3600． 解得a≤10． 答：该体育用品商店最多可以购进篮球10个． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，找准数量关系是解题的关键． 20．（10分）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF、AC． （1）求证：△ABE≌△FCE； （2）若AD＝AF，AB＝3，BC＝5，求四边形ABFC的面积． 【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB∥DF，从而证得∠ABC＝∠BCF，利用ASA可证明结论； （2）由△ABE≌△FCE得到AE＝FE，利用对角线相等可证得四边形ABFC为平行四边形，得到AB＝FC＝CD，利用等腰三角形三线合一证得AC⊥DF，从而得到四边形ABFC是矩形，再利用勾股定理求出AC的长度，即可求出四边形ABFC的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DF， ∴∠ABC＝∠BCF， ∵E为BC中点， ∴BE＝CE， 在△ABE和△FCE中， ， ∴△ABE≌△FCE． （2）解：∵△ABE≌△FCE， ∴AE＝FE， ∵BE＝FC， ∴四边形ABFC是平行四边形， ∴AB＝CF＝CD， ∵AD＝AF， ∴AC⊥FD， ∴四边形ABFC是矩形， ∴∠BAC＝90°， ∵AB＝3，BC＝5， 根据勾股定理得 AC＝＝＝4， ∴矩形ABFC的面积为AB•AC＝3×4＝12． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定及勾股定理等知识点的应用，本题主要考查学生运用定理进行推理的能力． 21．（10分）校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝12米，AE＝24米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：，≈1.73，sin53°≈， （1）求点B距水平地面AE的高度； （2）求广告牌CD的高度． 【分析】（1）根据坡度的意义，求出∠BAM＝30°，再利用直角三角形的边角关系求出答案； （2）在Rt△ABM中求出AM，进而求出ME，即BN，再在Rt△BCN中，得出CN＝BN，在Rt△ADE中由边角关系求出DE，最终求出CD，取近似值得出答案． 【解答】解：（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N， 由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝12米，AE＝24米， ∵i＝1：＝＝tan∠BAM， ∴∠BAM＝30°， ∴BM＝AB＝6（米）， 即点B距水平地面AE的高度为6米； （2）在Rt△ABM中， ∴NE＝BM＝AB＝6（米）， AM＝AB＝6（米）， ∴ME＝AM+AE＝（6+24）米， ∵∠CBN＝45°， ∴CN＝BN＝ME＝（6+24）米， ∴CE＝CN+NE＝（6+30）米， 在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝24米， ∴DE＝AE•tan53°≈24×＝32（米）， ∴CD＝CE﹣DE ＝6+30﹣32 ＝6﹣2 ≈8.4（米） 答：广告牌CD的高约8.4米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解坡度的意义是解决问题的关键． 22．（10分）已知直线l：y＝﹣x+5与双曲线y＝的图象交于A，B两点，且AB＝3． （1）求双曲线的解析式； （2）将直线l平移得y＝﹣x+b，当平移后的直线与双曲线没有公共点时，直接写出b的取值范围． （3）直线x＝t（t＞0）交双曲线于M，交线段AB于N，求△OMN面积的最大值． 【分析】（1）化简方程组，得到x2﹣5x+k＝0，于是得到xA+xB＝5，xA•xB＝k，根据AB的长度列方程即可得到结论； （2）根据题意列方程即可得到结论； （3）根据题意设M（t，），N（t，﹣t+5），根据二次函数的性质即可得到结论； 【解答】解：（1）解， ∴k＝﹣x2+5x， ∴x2﹣5x+k＝0， ∴xA+xB＝5，xA•xB＝k，（xB﹣xA）2＝（xB+xA）2﹣4xAxB＝25﹣4k， AB2＝（xA﹣xB）2+（yA﹣yB）2＝（xA﹣xB）2+（5﹣xA+xB﹣5）2＝2（xB﹣xA）2＝2（25﹣4k）＝（3）2＝18， ∴k＝4， ∴y＝； （2）由题意得直线l向下平移，﹣x+b＝，化简为：﹣x2+bx﹣4＝0， ∵平移后的直线与双曲线没有公共点， ∴Δ＝b2﹣4×4＜0， ∴|b|＜4； （3）∵直线x＝t（t＞0）交双曲线于M，交线段AB于N， ∴MN∥y轴， 设M（t，），N（t，﹣t+5）， ∴S△OMN＝×（﹣t+5﹣）•t＝﹣（t﹣）2+， ∴△OMN面积的最大值是． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，正确的理解题意是解题的关键． 23．（12分）如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A，且∠CAD＝∠ABD． （1）求证：AE＝AF； （2）若AB＝4，BF＝5，求cos∠BAC的值． 【分析】（1）由于∠CBD＝∠ABD，根据AB为⊙O的直径，有∠AEF＝∠BEC＝90°﹣∠CBD，又AF是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，有∠F＝90°﹣∠ABD，即得∠AEF＝∠F，AE＝AF； （2）首先由勾股定理求得AF，由三角形面积公式求得AD，进而求得DE，BE，再证明△BEC∽△AED，得BC，进而求得cos∠BAC的值． 【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠AEF＝∠BEC＝90°﹣∠CBD， ∵AF是⊙O的切线，AB为⊙O的直径， ∴∠BAF＝90°， ∴∠F＝90°﹣∠ABD， ∵∠CBD＝∠ABD， ∴∠AEF＝∠F， ∴AE＝AF； （2）解：在Rt△ADE中，AB＝4，BF＝5， ∴AF＝3， ∴AE＝AF＝3， ∵S△ABF＝AB•AF＝ BF•AD， ∴AD＝， ∴DE＝＝， ∴BE＝BF﹣2DE＝， ∵∠AED＝∠BEC，∠ADE＝∠BCE＝90°， ∴△BEC∽△AED， ∴， ∴EC＝， ∴AC＝AE+CE＝， ∴COS∠BAC＝＝． 【点评】本题主要考查了圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形的应用，勾股定理，关键是证明三角形全等与相似． 24．（12分）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为12m，宽为4m，按照如图所示建立平面直角坐标系，抛物线可以表示为y＝﹣+c． （1）求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶E到地面BC的距离； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后，高6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？ （3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 【分析】（1）根据题意确定点A坐标，再把点A坐标代入函数解析式求出c即可； （2）令y＝6，解方程求出x的值与4比较即可； （3）由于抛物线开口向下，可知函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为8时所对应的自变量的值，即可得到两排灯的水平距离最小值． 【解答】解：（1）根据题意得A（﹣6，4），B（﹣4，0），C（4，0）， 把点A坐标代入y＝﹣+c得，4＝﹣×36+c， 解得c＝10， ∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+10； ∵c＝10， ∴E（0，10）， ∴OE＝10m， ∴拱顶E到地面BC的距离为10m； （2）当y＝6时，﹣x2+10＝6， 解得x＝±2， ∵2＞4， ∴这辆货车能安全通过； （3）令y＝8，则﹣x2+10＝8， 解得x1＝﹣2x2＝2， 于是有x1﹣x2＝4 即两排灯的水平距离最小是4m． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是得出函数的表达式． 25．（12分）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图①，在等边三角形ABC中，P是边BC上任意一点（不与点B，C重合），连接AP，以AP为边作等边三角形APQ，连接CQ，求证：BP＝CQ； （2）变式探究：如图②，在等腰三角形ABC中，BA＝BC，P是边BC上任意一点（不与点B，C重合），以AP为腰作等腰三角形APQ，使PA＝PQ，∠APQ＝∠ABC，连接CQ．判断∠ABC和∠ACQ之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，在正方形ADBC中，P是边BC上一点（不与点B，C重合），以AP为边作正方形APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为6，，求正方形ADBC的边长． 【分析】（1）利用等边三角形的性质证明△BAP≌△CAQ（SAS），即可得证； （2）利用等腰三角形的性质证明△BAC∽△PAQ，△BAP∽△CAQ，即可解答； （3）连接AB，AQ，利用正方形的性质证明△ABP∽△ACQ，设PC＝x，则BC＝AC＝4+x，利用勾股定理即可解答． 【解答】（1）证明：∵△ABC与△APQ都是等边三角形， ∴AB＝AC，AP＝AQ，∠BAC＝∠PAQ＝60°， ∴∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ， ∴∠BAP＝∠CAQ， 在△BAP和△CAQ中， ， ∴△BAP≌△CAQ（SAS）， ∴BP＝CQ； （2）解：∠ABC＝∠ACQ，理由如下： ∵在等腰三角形ABC中，AB＝BC， ∴， 在等腰三角形APQ中，AP＝PQ， ∴， ∵∠APQ＝∠ABC， ∴∠BAC＝∠PAQ， ∴△BAC∽△PAQ， ∴， ∵∠BAP+∠PAC＝∠CAQ+∠PAC， ∴∠BAP＝∠CAQ， ∴△BAP∽△CAQ， ∴∠ABC＝∠ACQ； （3）解：连接AB，AQ，如图， ∵四边形ADBC是正方形， ∴， ∴∠BAC＝45°， ∵Q是正方形APEF的中心， ∴， ∴∠PAQ＝45°， ∴∠BAP+∠PAC＝∠CAQ+∠PAC， ∴∠BAP＝∠CAQ， ∴， ∴△ABP∽△ACQ， ∴． ∵， ∴， 设PC＝x，则BC＝AC＝4+x， 在Rt△APC中，AP2＝AC2+PC2， 即62＝（4+x）2+x2， 解得， ∵x＞0， ∴， ∴正方形ADBC的边长为＝． 【点评】本题考查四边形的综合应用，主要考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握这些性质定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$