精品解析：广西2024届高三下学期桂柳信息冲刺金卷（四）数学试卷

2024学年新教材新高考桂柳信息冲刺金卷（四） 数学 注意事项： 1.本卷共150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束，将本试题和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分．共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 为了得到函数的图象，只需将正弦函数图象上各点（ ） A. 横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 B. 横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 C. 横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 D. 横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 2. 如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 某高中科技课上，老师组织学生设计一个圆台状的器皿材料，其厚度忽略不计，该器皿下底面半径为3cm，上底面半径为10cm，容积为，则该器皿的高为（ ） A. 5cm B. 12cm C. 15cm D. 20cm 4. 抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，得到的图象正好对应抛物线，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知有限集X，Y，定义集合，且，表示集合X中的元素个数.若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. “”是“的二项展开式中存在常数项”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 7. 在某电路上有C，D两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换C元件的概率为0.3，需要更换D元件的概率为0.2，则在某次通电后C，D有且只有一个需要更换的条件下，C需要更换的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 定义：设二元函数在点的附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数，记作．若在区域D内每一个点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y的二元函数，它就被称为二元函数对自变量的偏导函数，记作．已知，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（ ） A. 自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积． B. 在b克盐水中含有a克盐（），再加入n克盐，全部溶解，则盐水变咸了． C. 某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率等于． D. 购买同一种物品，可以用两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．用第一种方式购买一定更实惠. 10. 复数（，i为虚数单位）在复平面内内对应点，则下列为真命题的是（ ） A. 若，则点Z在圆上 B. 若，则点Z在椭圆上 C. 若，则点Z在双曲线上 D. 若，则点Z在抛物线上 11. 若数列满足，，且，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 若为等比数列，则 三、填空题：本大题共3 小题，每小题5 分，共15 分．把答案填在答题卡的相应位置． 12. 已知函数，则曲线在处的切线方程为______. 13. 点为圆上一点，点，，记到两点的距离分别为与．则的最大值为______． 14. 已知双曲线C的方程为，其左右焦点分别为，，已知点P坐标为，双曲线C上的点（，）满足，设的内切圆半径为r，则______，______. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 16. 在长方体中，点E，F分别在，上，且，． （1）求证：平面平面AEF； （2）当，，求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量X，定义其累积分布函数为．已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成（如图），在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立． （1）已知电源电压X（单位：V）服从正态分布，且X的积累分布函数为，求； （2）在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量T（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累计分布函数为．设，证明：； 附：若随机变量Y服从正态分布，则，，． 18. 已知椭圆的离心率为，分别为椭圆C的左，右顶点和坐标原点，点为椭圆上异于的一动点，面积的最大值为. （1）求椭圆C的方程； （2）过右焦点F的直线交椭圆C于两点，直线交轴于，过分别作的垂线，交于两点，为上除点的任一点. （ⅰ）证明：； （ⅱ）设直线、、的斜率分别为、、，求的值. 19. 英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题． （1）证明：； （2）设，证明：； （3）设，若是的极小值点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年新教材新高考桂柳信息冲刺金卷（四） 数学 注意事项： 1.本卷共150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束，将本试题和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分．共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 为了得到函数的图象，只需将正弦函数图象上各点（ ） A. 横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 B. 横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 C. 横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 D. 横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 【答案】B 【解析】 【分析】直接由函数平移变换法则即可求解. 【详解】把上的所有点向左平移个单位长度， 得到函数的图象． 故选：B． 2. 如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的坐标表示即可得解. 【详解】由题意得， ． 故选：A． 3. 某高中科技课上，老师组织学生设计一个圆台状的器皿材料，其厚度忽略不计，该器皿下底面半径为3cm，上底面半径为10cm，容积为，则该器皿的高为（ ） A. 5cm B. 12cm C. 15cm D. 20cm 【答案】B 【解析】 【分析】由圆台的体积公式计算求解即可. 【详解】由题意得： ， 解得． 故选：B． 4. 抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，得到的图象正好对应抛物线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转关系确定原抛物线所在位置，及旋转过程中图形形状不变得出原解析式，从而得结论． 【详解】抛物线的焦点在轴上，顶点为坐标原点， 其图象绕其顶点顺时针旋转之后，焦点在轴上， 因为形状不变，因此新图象解析式为， 变形为，所以， 故选：C． 5. 已知有限集X，Y，定义集合，且，表示集合X中的元素个数.若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用新定义及并集运算，即可得到结果. 【详解】∵ ∴，， ∴， ∴， 故选：A 6. “”是“的二项展开式中存在常数项”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项展开式通项依次判断充分性和必要性即可. 【详解】展开式的通项为：； 当时，取，则，故充分性成立； 当时，展开式中存在常数项，如，故必要性不成立； 所以“”是“的二项展开式中存在常数项”的充分非必要条件. 故选：A. 7. 在某电路上有C，D两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换C元件的概率为0.3，需要更换D元件的概率为0.2，则在某次通电后C，D有且只有一个需要更换的条件下，C需要更换的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】记事件E：在某次通电后C，D有且只有一个需要更换，事件F：C需要更换，由条件概率的计算公式求解即可. 【详解】记事件E：在某次通电后C，D有且只有一个需要更换， 事件F：C需要更换， 则， 由条件概率公式可得． 故选：C． 8. 定义：设二元函数在点的附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数，记作．若在区域D内每一个点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y的二元函数，它就被称为二元函数对自变量的偏导函数，记作．已知，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“偏导函数”的知识求得，进而利用判别式法求得正确答案. 【详解】依题意， ， 同理可求得，所以，设， 则，由， 得， ，此方程有解，所以， . 故选：B 【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（ ） A. 自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积． B. 在b克盐水中含有a克盐（），再加入n克盐，全部溶解，则盐水变咸了． C. 某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率等于． D. 购买同一种物品，可以用两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．用第一种方式购买一定更实惠. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意利用不等式的性质以及作差法、基本不等式逐项分析判断. 【详解】对于选项A：设周长为，则圆的面积为， 正方形的面积为，因为，，可得，即，故A正确； 对于选项B：原盐水的浓度为，加入克盐，盐水的浓度为，则， 因为，，可得，， 所以，即，故B正确； 对于选项C：设这两年的平均增长率为， 则，可得， 因为，即， 当且仅当，即时，等号成立，即这两年的平均增长率不大于，故C错误； 对于选项D：按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为元/kg，购n kg， 第二次购物时的价格为元/kg，购n kg，两次购物的平均价格为； 若按第二种策略购物，第一次花元钱，能购kg物品， 第二次仍花元钱，能购物品，两次购物的平均价格为． 比较两次购的平均价格：， 当且仅当时，等号成立，所以第一种策略的平均价格不低于第二种策略的平均价格， 因而用第二种策略比较经济，故D错误. 故选：AB． 10. 复数（，i为虚数单位）在复平面内内对应点，则下列为真命题的是（ ） A. 若，则点Z在圆上 B. 若，则点Z在椭圆上 C. 若，则点Z在双曲线上 D. 若，则点Z在抛物线上 【答案】BD 【解析】 【分析】利用复数对应到点的坐标，再利用动点轨迹或轨迹方程来确定答案. 【详解】表示点与之间的距离， 表示点与之间的距离，记，， 对于A，，表示点到、距离相等，则点在线段的中垂线上，故A错误； 或由，整理得，所以点在，故A错误； 对于B，由得，这符合椭圆定义，故B正确； 对于C，若，，这不符合双曲线定义，故C错误； 对于D，若，则，整理得，点在抛物线，故D正确． 故选：BD． 11. 若数列满足，，且，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 若为等比数列，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两式相加减可得，，即可求解ABC，根据前3项以及等比中项可得或，代入验证即可求解D. 【详解】对于B，依题意，，则， 而，因此数列是首项为1，公比为3的等比数列，，B错误． 又，因此，结合可得 ，， 对于A，，A正确； 对于C，，C正确； 对于D，，，， 由为等比数列，得，解得或， 当时，，显然数列是等比数列， 当时，，显然数列是等比数列， 因此当数列是等比数列时，或，D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本大题共3 小题，每小题5 分，共15 分．把答案填在答题卡的相应位置． 12. 已知函数，则曲线在处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】求导，求出，，根据斜率和切点即可写出切线方程. 【详解】由已知， 则，又，即切点为， 所以曲线在处的切线方程为. 故答案为：. 13. 点为圆上一点，点，，记到两点的距离分别为与．则的最大值为______． 【答案】850 【解析】 【分析】设出点，利用两点的距离公式求出，然后求解最值即可. 【详解】 ，，设， 则 ， 故当，时，取最大值，最大值为850， 此时点的坐标为 故答案为：850 14. 已知双曲线C的方程为，其左右焦点分别为，，已知点P坐标为，双曲线C上的点（，）满足，设的内切圆半径为r，则______，______. 【答案】 ①. 2 ②. 18 【解析】 【分析】根据双曲线的定义式和三角形内切圆的性质推得，结合，求出，得内切圆的圆心横坐标为，再由条件推出为的角平分线，从而得到的内心即点，即得结论. 【详解】 设的内切圆与三边的切点分别为D，E，G，如图， 则， 在双曲线右支上，由双曲线定义得，展开即得， ， 又，故，因，则得， 即内切圆的圆心横坐标为， 由，得， 可得，即为的角平分线， 由于点坐标为，内切圆的圆心横坐标为， 则即为内切圆的圆心，为切点，则内切圆半径为； . 故答案为：2；18. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用双曲线的定义和三角形内切圆性质推出，结合，从而确定内切圆的圆心横坐标为，为后续求内切圆半径打下基础. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据正余弦定理边角互化即可求解， （2）由余弦定理可得，即可利用等面积法得，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 由题设及正弦边角关系可得：，则， 而，且，则． 【小问2详解】 因为，所以由余弦定理得，即， 所以，即（当且仅当时，等号成立）， 因为，所以， 解得，因为（当且仅当时，等号成立）， 所以（当且仅当时，等号成立），所以长度的最大值为． 16. 在长方体中，点E，F分别在，上，且，． （1）求证：平面平面AEF； （2）当，，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） 为长方体 平面 平面∴ 又，且，平面， 平面 平面AEF 平面平面 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可； （2）应用空间向量法求二面角余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，建立以D为原点，以DA，DC，分别为x，y，z轴的空直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为．则，即 令，则．． 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为 17. 正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量X，定义其累积分布函数为．已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成（如图），在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立． （1）已知电源电压X（单位：V）服从正态分布，且X的积累分布函数为，求； （2）在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量T（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累计分布函数为．设，证明：； 附：若随机变量Y服从正态分布，则，，． 【答案】（1）0.8186 （2） 由题设得： ， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据正态分布的对称性即可结合的定义求解； （2）根据条件概率的计算公式结合的定义以及的定义域即可求解. 【小问1详解】 由题设得， 所以 . 【小问2详解】 略 18. 已知椭圆的离心率为，分别为椭圆C的左，右顶点和坐标原点，点为椭圆上异于的一动点，面积的最大值为. （1）求椭圆C的方程； （2）过右焦点F的直线交椭圆C于两点，直线交轴于，过分别作的垂线，交于两点，为上除点的任一点. （ⅰ）证明：； （ⅱ）设直线、、的斜率分别为、、，求的值. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）由题可知点、， 若直线与x轴重合，则M、P、N重合，则不存在，不合乎题意； 设直线的方程为，设点、， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以 ， 所以. （ⅱ）2 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得出关于的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）（ⅰ）分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程，设点，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式即可证明；（ⅱ）设点，其中，利用斜率公式结合韦达定理可求得的值. 【小问1详解】 由题意知，解得，， 所以的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）设点，其中，则 . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题． （1）证明：； （2）设，证明：； （3）设，若是的极小值点，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：设，则． 当时，：当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 因此，，即． （2）证明：由泰勒公式知，① 于是，② 由①②得， ， 所以 ． 即． （3）． 【解析】 【分析】（1）设，利用导数求出该函数的最小值后可得不等式恒成立； （2）利用泰勒展式可证不等式成立； （3）就和分类讨论，前面可利用导数证明为极小值点，后者可判断为极大值点，故可得参数的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 则，设． 设，则，当时， 故在上为增函数. 由基本不等式知，，当且仅当时等号成立． 所以当时，，所以在R上单调递增． 又因为是奇函数，且， 所以当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 因此，是的极小值点． 下面证明：当时，不是的极小值点． 当时，， 又因为是R上的偶函数，且在上单调递增， 所以当时，． 因此，在上单调递减． 又因为是奇函数，且， 所以当时，；当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减． 因此，是的极大值点，不是的极小值点． 综上，实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $